小學數學合情推理的教學實踐研究

羅妍

摘要：數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。在教學素材梳理的基礎上，通過教學實踐發展學生合情推理能力，借助激勵評價讓學生的合情推理能力在“合情合理”中發展;使教師樹立培養學生合情推理能力的意識和相應的教學策略;學生運用合情推理解決相應的數學問題，進行有條理的思考，比較清楚地表達自己的思考過程與結果。

關鍵詞：核心素養;推理能力;合情推理

一、問題緣起——推理能力應當作為學生數學核心素養的培養目標

一次區級教研活動中，聽了《思考的力量——費馬點》一課，教師的設計和引導都很到位，但是學生的回答不盡如人意。原因是課中有很多推理，而學生不會用語言來表達推理過程。

我們知道，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。“推理能力”是數學學習內容中的八大核心概念之一，正如課標所說的“推理能力的發展應該貫穿在整個數學學習過程中。”

推理能力的形成和提高作為學生數學核心素養的培養目標需要一個長期的循序漸進的過程。在“數學思考”板塊，課標對于三個學段“推理能力”也有不同要求：第一學段中只提到“能提出一些簡單的猜想”，第二學段提出“發展合情推理能力”，第三學段提出“發展合情推理與演繹推理能力”。可見，小學階段著重培養的推理能力應該是合情推理能力，課標把發展學生合情推理能力的主要任務落實在了第二學段。于是，便有了本課題的研究。

二、問題的思考——尋找第二學段教材中適合發展合情推理的教學素材

能力培養立足課堂，素材尋找立足教材。在教材中，涉及“四大領域”的教學，我們都可以找到適合發展合情推理的教學素材。

1.在“數與代數”中培養合情推理能力

在“數與代數”的教學中，計算要依據一定的“規則”——公式、法則、定律等。因而計算中有推理，現實世界中的數量關系往往有其自身的規律。對于代數運算不僅要求會運算，而且要求明白算理，能說出運算中每一步依據所涉及的概念運算律和法則，代數不能只重視會熟練地正確地運算和解題，而應充分挖掘其推理的素材，以促進思維的發展和提高。

2.在“圖形與幾何”中培養合情推理能力

在“空間與圖形”的教學中，既要重視演繹推理，又要重視合情推理。課標指出：降低空間與圖形的知識內在要求，力求遵循學生的心理發展和學習規律，著眼于直觀感知與操作確認，多從學生熟悉的實際出發，讓學生動手做一做，試一試，想一想，認別圖形的主要特征與圖形變換的基本性質，學會識別不同圖形;同時又輔以適當的教學說明，培養學生一定的合情推理能力。并為學生利用直觀進行思考提供了較多的機會。學生在實際的操作過程中，要不斷地觀察、比較、分析、推理，才能得到正確的答案。

3.在“統計與概率”中培養合情推理能力

統計中的推理是合情推理，是一種可能性的推理，與其它推理不同的是，由統計推理得到的結論無法用邏輯推理的方法去檢驗，只有靠實踐來證實。因此，“統計與概率”的教學要重視學生經歷收集數據、整理數據、分析數據、做出推斷和決策的全過程。如：為籌備新年聯歡晚會，準備什么樣的水果才能最受歡迎？首先應由學生對全班同學喜歡什么樣的水果進行調查，然后把調查所得到的結果整理成數據，并進行比較，再根據處理后的數據做出決策，確定應該準備什么水果。這個過程是合情推理，其結果只能使絕大多數同學滿意。

概率是研究隨機現象規律的學科，在教學中學生將結合具體實例，通過擲硬幣、轉動轉盤、摸球、計算器（機）模擬等大量的實驗學習概率的某些基本性質和簡單的概率模型，加深對其合理性的理解。

三、問題的實踐——教學中并重發展學生合情推理能力的三種基本形式

歸納、類比、猜想是合情推理能力的主要形式，在教學中我們要并重發展這三種基本的合情推理能力，當然某些時候解決問題時這三種基本形式并不是獨立運用，而是綜合運用的。

1.從特殊到一般，發展學生的歸納推理能力

把某類事物中個別事物所具有的規律作為該類事物的普遍規律，這種思維過程中由特殊到一般的推理稱為歸納推理或稱歸納法。這是一種從個別到一般、從實驗事實到理論的一種尋找真理和發現真理的手段。波利亞盛贊歐拉“是數學研究中善于用歸納法的大師，使用歸納法，也就是說，他憑觀察、大膽猜測和巧妙證明得出了許多重要的發現。”高斯也曾說他的許多定理都是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續。

在教學法則、定律、公式、結語及解題時經常要進行歸納推理，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結論不一定正確，還有待嚴格的證明。但是，不完全歸納法比較適合小學生的年齡特點，易于接受。

2.從特殊到特殊，發展學生的類比推理能力

類比推理是根據兩個不同的對象的某些方面（如特性、屬性、關系等）相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，它是思維進程中由特殊到特殊的推理。這也是一種尋找真理和發現真理的基本而重要的手段。

在數學思維活動中，類比的表現形式是多種多樣的。通常可分為簡單的類比與復雜的類比兩類。簡單的類比即形式的類比。如由“在除法算式中，除數不能為零”，類比推出“分數的分母不能為零”和“比的后項不能為零”。復雜的類比即實質的類比，這種類比能拓寬學生的知識面，引導他們挖掘數量間隱藏著的內在聯系，掌握數量間可能引起的變化規律。

3.從聯想到驗證，發展學生的數學猜想能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現。”猜想又是合理推理最普遍、最重要的一種，歸納也好、類比也好都包含猜想的成分。為了發展學生的核心素養，教師應該教給學生思維方法，鼓勵學生對具體問題和具體教材進行分析，通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學生掌握數學知識，滿足學生的求知欲望，而且學會探求知識的方法。

數學猜想是運用非邏輯手段得到的一種數學假設，它是人在探索數學規律時的一種策略。數學猜想不是胡思亂想，而是合理猜想，著名的歌德巴赫猜想就是經過合理猜想而獲得的。既是猜想，不可能都是正確的，但是畢竟向真理逼近了一步。

四、問題的再思考——讓學生的合情推理能力在“合情合理”中發展

順應學生的認知發展規律，讓他們知曉合情推理能力的重要性，進而可以有效激發合情推理的熱情，促進合情推理能力的形成。

1.讓學生知曉合情推理能力的重要性

（1）故事講述生活中運用合情推理的好處

合情推理和論證推理一樣在數學和生活中都有廣泛的應用。在社會生活中，醫生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰爭，人際交往等都應用合情推理。一些科學發現的思維，也主要是合情推理：量子力學方程是猜出來的;球體公式是阿基米德“稱”出來的;而現代仿生學則是類比推理在科技中應用的杰出成果。

（2）運用實例讓學生感受合情推理的優勢

根據小學生年齡特征和認識規律（動作感知——建立表象——形成概念），我們應積極創造條件，要求學生“做出來看一看”，這也是數學課在對猜想進行推理證明前所進行的必要步驟。

如學習“商不變性質”時，當學生提出“被除數變大后，除數不變，商也變大”等猜想，可以引導學生驗證“你們發現的規律是不是在除法運算中真的成立呢？”學生通過舉例、驗證，有些表示贊同，有些甚至會毫無疑問，但當有一個學生發現9÷3=3? 10÷3=3……1商并沒有變時，引起了激烈爭論：當場就有一名學生提出反駁，“有了余數，就說明結果變大了”。學生在爭論操作感知時，對商不變性質有了更深刻的體驗，合情推理能力也得到了培養。

2.為學生創設合情推理的民主氛圍

（1）建立融洽民主的師生關系

無論是概念教學、規則教學、還是技能教學、問題解決的教學都應該堅持“學生為中心”的教學設計理念。一個教師主宰的課堂是難以形成合情推理的氛圍。師生感情融洽也是參與教學的感情保證，而“知識情感”則是學生參與教學的“認知內驅力”，教師要把學生的情感調整到樂于研究、探索問題上，讓學生在“尋找回來的世界中”動腦、動手、動口去探索猜測（要積極鼓勵各種猜測，不能只限定在教師的猜想中），在親身經歷知識的產生過程中，提高應用合情推理的技能。

（2）運用激勵表揚的言語誘導

教學中經常結合教學內容采用“你們覺得”“膽子大一點，猜猜看”等提問語以及“很不錯，有自己的觀點”等鼓勵語往往可以激發學生合情推理并采用“我覺得”、“我認為”等語言表述自己的觀點。這些有意識的言語誘導可能促進學生自覺形成合情推理的意識。

3.引導學生在反思評價中培養合情推理能力

對學生合情推理的能力的培養與提高離不開學生對其“提出猜想——檢驗”;“修正猜想——驗證、證明”這一學習過程的反思。無論是提出猜想的過程、修正猜想還是驗證猜想的過程都必須進行適當的反思，通過反思可以讓學生更好地認識猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創造性，感受驗證和證明的必要。反思也是提高學生提出猜想的質量，修正猜想的能力和驗證猜想的能力必不可少的重要一環，同時也是學生學會數學思考的必要條件。

總之，在學生進行合情推理的過程中教師作為學生學習的合作者和指導者，必須對學生的合情推理進行積極地評價，尤其對學生的認識體會教師要進行及時的、有效的分析和概括，幫助學生對解決問題的方法進行提煉和哲學思考。

四川師范大學