順理成章真的就“順”嗎？

一、緣起：研討課的“順”，常態課的 “惑”

最近學校開展了研討課的活動，六年級一位老師選擇了《圓的面積》一課，所使用教材是人教版：先讓學生通過剪拼法把圓轉化成長方形，再推導出圓的面積公式，最后運用公式解決實際問題。這節研討課顯得很成功，特別在公式的運用、練習鞏固環節，學生的作答情況也很不錯，知道套用公式，計算出正確答案，出現的問題主要是個別學生沒有先求出半徑。由此看來，運用圓的面積公式解決實際問題學生是比較容易掌握的，在圓的面積公式推導后，運用公式把數字套入進去算出答案就是順利成章的了！

然而，當帶著這樣 “理想”的期望回到自己班級時，卻發現在圓的面積公式運用時，除了碰到忘記先求半徑這樣的錯誤之外，學生困惑的地方更多的則是在計算上面。其中，出現了這樣的解答過程讓學生在課堂的后半段展開了一場“大討論”，如圖1、圖2：

二、發現：“惑”之所在，“不順”之因

實際上對于這個題目的解答，理想的情況是能直接寫出102，也就是100，再用3.14乘100。對于以上兩種解答，反映的是學生對一個數的平方，特別是常用數字的平方數值的知識缺失或者不熟練。然而，面對這兩種解法，有學生認為第二種分步的方法是錯誤的，理由如以下：“通過剛剛圓的面積公式的推導，我們知道圓的面積就是由長方形的長（πr）乘長方形的寬（r）得到的，現在先算出來的r×r表示什么呢？ 100的單位是米還是平方米呢？”

面對學生這樣看似 “有理”的解釋，怎么倒回來也顯得圖1里面把102拆成10×10來計算也好像顯得不正確了，那么由長方形的長（πr）乘長方形的寬（r）得到的圓的面積公式是不是也得寫成πr×r，而不能寫成πr2了呢？答案顯然不是，到底教學時圓的面積公式的推導到底哪里出問題，導致學生認識不清、理解不透，遇到原本可以簡單帶過、把數字套入公式直接計算這樣順理成章的過程竟然碰到了困惑，不“順”了呢？

三、行動：平方不是“累贅”，是真的“好使”

1.對比教材，找準“順應點”

縱觀幾個版本教材，發現在圓的面積公式推導和運用圓的面積公式進行計算、解決實際問題上有所差異，各有側重，具體如以下：

教材版本?圓的面積公式推導?運用圓的面積公式計算、解決實際問題

人教版?轉化：長方形

例題：已知直徑，求圓的面積

例題：圓環的面積

例題：圓中方、方中圓

北師大版?估算：

數方格（圓內正方形和圓外正方形）?例題：已知半徑求圓的面積

轉化：平行四邊形或長方形?例題：已知圓的周長求圓面積

蘇教版?估算：

數方格（以半徑為邊長的小正方形）?例題：已知直徑求圓的面積（遞等式）

轉化：長方形?例題：已知圓的周長求圓面積

例題：圓環的面積

冀教版?轉化：小三角形?例題2個：已知直徑求圓的面積（遞等式）

例題2個：已知周長求圓的面積（遞等式）

轉化：長方形?例題：選臺布方中圓

例題：圓環的面積

浙教版?估算：圓中方和方中圓?例題：已知半徑、直徑求面積

轉化：長方形、梯形、三角形?例題：圓和正方形

比較各版本對圓的面積的知識編排，發現：

1. 如果學生把半徑的平方 “拋諸腦后”，一直沿用“把半徑的平方拆開計算”這樣的方法，一方面會讓計算變得較為繁瑣;另一方面在后面學習圓環的時候就會碰到比較大的“麻煩”！因為在后面的教學中，需要運用圓的面積公式推導出很多的新公式，如：圓環面積公式π（R2-r2）、方中圓兩個圖形之間的面積公式0.86r2等;

2. 學生不理解“在圓的面積公式中r2表示什么？”主要是因為人教版教材把圓中方、方中圓的知識安排在后面，教師教學時又沒有把“數格子”的思路或者方中圓的知識進行滲透，所以學生缺失了方中圓這個思維的“順應點”，最終導致對圓的面積公式理解不透徹，認識不清。

2. 順應“思維”，尋找錯因

回顧本文前面所提到的圖1、圖2的解答過程，再分析這種解答方法（如圖），它們都是把一個數的平方拆開成一個算式。從中，可分析發現：

（1）一個數的平方本身就代表了一種運算，具有一定的抽象性和概括性，對學生來說具有一定的難度，把這個知識和符號π結合，難度更大，對學生的符號意識是一個不少的 “挑戰”;

（2）學生是在五年級的時候學習和運用過平方和立方，六年級再來運用，存在銜接上的“斷層”;

（3）學生之前面對平方和立方時，習慣是把它們拆開進行計算，如計算正方體的體積，學生一般的做法是：V正=a3=43=4×4×4=16×4=64。按照這樣的計算習慣，在碰到圓的面積公式計算時，就出現了上面看似“不簡便”的計算方法。

3.“順勢”而上，改進教學

（1）課前復習平方，做好鋪墊準備

在教學圓的面積公式前讓學生回顧平方的概念，如在課前讓學生熟練1-9的平方，為公式的變形和簡化推導做好鋪墊，在公式應用時，也能讓學生避免繁雜的計算，幫助學生進行公式的正向強化和遷移。

（2）對比優化，感受平方所帶來的計算上的簡潔和符號之美

在應用公式時，除了要關注學生是否能正確列式，教師也應重視學生的計算，防止“重結果，輕過程”現象的發生，使得公式的應用教學“走過場”！例如：可以把學生的典型計算過程進行對比，讓學生通過比較，真正感受平方存在的必要性和公式的簡潔性。

（3）教師發揮引領示范作用，幫助中下生跨越知識“鴻溝”

相比人教版教材（圖4），蘇教版教材（圖5）和冀教版教材（圖6）在教學公式運用時，例題呈現的是遞等式的形式，給出了詳細的計算過程。教學時，教師也應該發揮引領示范的作用，給學生示范“先計算出半徑的平方，再用半徑的平方乘π”這樣一個完整的過程，讓中下生進一步明確平方的作用和計算方法，避免在練習時平方變成了學生眼中的障礙和累贅，最終被厭棄，被“拋棄”！

為了讓學生更好地感受公式的簡潔，體會數學的符號之“美”，教學時我們得進行一定的引導！而對于圓的面積公式教學，相比于前面的圖形，我們應更注重計算的教學，把公式的應用教學落實到實處！

【參考文獻】

[1]義務教育教科書 數學六年級上冊教師教學用書[M].人民教育出版社?2014年10月出版

[2]王永春.小學數學與數學思想方法[M]. 華東師范大學出版社，2014年10月出版

[3] 安奈特·布魯肖，托德·威特克爾.改變學生課堂表現的50個方法：小技巧獲得大改變[M] .中國青年出版社，2011.

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