夯實平行四邊形的基礎

陳妹

學習了平行四邊形，我們應該知道：

（1）研究平行四邊形的性質就是研究它的邊、角、對角線、對稱性等方面的特性;

（2）矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，一般平行四邊形具有的性質，矩形、菱形、正方形都有;

（3）矩形、菱形、正方形的判定都是建立在平行四邊形的基礎之上，再固有自己的本質屬性;

（4）有關平行四邊形的問題通常都與全等三角形息息相關.

【典型例題】 如圖1，在？荀ABCD中，點E，F在BD上，BE = DF. 求證：四邊形AECF是平行四邊形.

證法1：如圖1，易得△ABE ≌ △CDF，所以AE = CF;

同理△ADF ≌ △CBE，所以AF = CE，

所以四邊形AECF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

證法2：如圖1，易得△ABF ≌ △CDE，得∠AFB = ∠CED，所以AF∥CE;

同理△ADE ≌ △CBF，得∠AED = ∠CFB，則AE∥CF.

所以四邊形AECF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.

證法3：如圖1，由前兩種證法得AE = CF，AE∥CF，

所以四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

證法4：如圖1，由前兩種證法得∠EAF = ∠FCE，∠AEC = ∠CFA，

所以四邊形AECF是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

證法5：如圖2，連接AC，交BD于O，易得OA = OC，OE = OF，

所以四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

變式練1：將“BE = DF ”變為“E，F是BD的兩個三等分點”，如圖3，證法類同原題的證法5.

變式練2：將“BE = DF ”變為“AE⊥BD，CF⊥BD”，如圖4，利用Rt△ABE≌Rt△CDF，由垂直可得直角，相比原題條件，更易得到結論.

變式練3：將“BE = DF”變為“AE平分∠BAD，CF平分∠DCB”，如圖5，解析方法類同原題.

變式練4：如圖6，在菱形ABCD中，點E，F在對角線BD上，BE = DF，求證：四邊形AECF是菱形.

解析：如圖6，由典例解析知，四邊形AECF是平行四邊形，再由菱形ABCD可證△ABE≌△CBE，所以AE = CE，則四邊形AECF是菱形. 也可連接AC，由菱形ABCD得AC⊥BD，即AC⊥EF，所以四邊形AECF是菱形.

變式練5：如圖7，在？荀ABCD中，E，F在BD上，BE = DF，分別延長AE，CF，分別交DC，BA的延長線于點H，G. 連接AC，GH. 求證：AC，GH互相平分.

解析：由典型例題解析知，AE∥CF，即AH∥CG，又因為BA∥DC，即AG∥CH，所以四邊形AGCH是平行四邊形，因此AC，GH互相平分.

反思：判別平行四邊形的方法有多種，我們在解決此類問題時，不能僅僅滿足于會做，還應考慮有沒有其他解法，哪種解法更好. 其次，若題目的條件（結論）適當變化，問題如何解決？一個所謂難題，實際上就是在一些基礎問題上延伸或拓展. 只要我們打好基礎，多角度地分析問題，多渠道地嘗試解決問題的方法，就一定能點石成金.

【能力提升】

1. （2019·山東·臨沂）如圖8，在？荀ABCD中，M，N是BD上兩點，BM = DN，連接AM，MC，CN，NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（ ）.

A. 2OM = AC? B. MB = MO? C. BD⊥AC? D. ∠AMB = ∠CND

2.（2019·湖南·懷化）如圖9，在？荀ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分別為垂足.（1）求證：△ABE ≌ △CDF;（2）求證：四邊形AECF是矩形.

3. （2019·浙江·嘉興）如圖10，在矩形ABCD中，點E，F在對角線BD上. 請添加一個條件，使得結論“AE = CF ”成立，并加以證明.

4.（2019·浙江·寧波）如圖11，矩形EFGH的頂點E，G分別在菱形ABCD的邊AD，BC上，F，H在菱形ABCD的對角線BD上. （1）求證：BG = DE;（2）若E為AD的中點，FH = 2，求菱形ABCD的周長.

答案：

1.A

2.（1）由“AAS”證明△ABE≌△CDF即可;（2）證出∠EAF = ∠AEC = ∠AFC = 90°，即可得出結論.

3.答案不唯一，如添加BE = DF，根據“SAS”即可證明△ABE≌△CDF，從而AE = CF.

4.（1）證明過程略;（2）連接EG，菱形ABCD的周長為8.