因式分解方法的再探索

宋愛(ài)華

七年級(jí)3班的綜合實(shí)踐課上，小先生宋明哲要與同學(xué)們分享因式分解的第三種方法.

小先生：大家都會(huì)計(jì)算（ax + b）（cx + d） = acx2 + （ad + bc）x + bd.如果把這個(gè)式子反過(guò)來(lái)，就得到二次三項(xiàng)式acx2 + （ad + bc）x + bd的因式分解形式，即acx2 + （ad + bc）x + bd? = （ax + b）（cx + d）. 運(yùn)用這個(gè)式子就可以把某些二次三項(xiàng)式分解因式.

學(xué)生1：我還不太明白，你能講講具體應(yīng)該怎么操作嗎？

小先生：可利用畫十字交叉線分解（如圖1）.將二次項(xiàng)系數(shù)分解為兩因數(shù)a，c，寫在第一列，常數(shù)項(xiàng)分解為兩因數(shù)b，d，寫在第二列，交叉相乘所得結(jié)果相加應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù)ad + bc. 這種分解因式的方法稱為十字相乘法.

學(xué)生2：我現(xiàn)在有些懂了，對(duì)于多項(xiàng)式x2 + 5x + 6， 把二次項(xiàng)系數(shù)1分解為1×1，常數(shù)項(xiàng)6可分解為1×6，我來(lái)畫圖驗(yàn)證下（如圖2），不對(duì)?。?（x + 1）（x + 6） ≠ x2 + 5x + 6.

小先生：常數(shù)項(xiàng)6可分解為兩個(gè)同號(hào)整數(shù)的積（如圖3），即：6=1×6，6=（-1）×（-6），6=2×3，6=（-2）×（-3）.

顯然，由圖3知：x2 + 5x + 6 = （x + 2）（x + 3）. 注意：在借助畫十字交叉分解系數(shù)后寫分解結(jié)論時(shí)不能對(duì)角寫，應(yīng)橫向?qū)?

學(xué)生3：我懂了，我來(lái)試試分解多項(xiàng)式2x2-5x-3. 先將二次項(xiàng)系數(shù)分解為1×2，常數(shù)項(xiàng)-3<0可分解成異號(hào)兩數(shù)的積，即（-1）×3或1×（-3）.如圖4，則2x2-5x-3分解為（x - 3）（2x + 1）.

小先生：太棒了！十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式a x2 + bx + c（a ≠ 0）分解因式.其關(guān)鍵在于把二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積，并使a1c2 + a2c1正好是一次項(xiàng)系數(shù)b，那么可以直接寫成：ax2 + bx + c = （a1x + c1）（a2x + c2）. 在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，多次嘗試，并體會(huì)它的實(shí)質(zhì)就是整式乘法的逆運(yùn)算，還可以用整式乘法公式驗(yàn)證因式分解結(jié)果的正確性.