建立數(shù)學(xué)模型，提高解決問題的能力

郝彩霞

摘要：在小學(xué)課堂教學(xué)活動中，有關(guān)于百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題為數(shù)眾多。在此類課程的教學(xué)活動中，一個較好的教學(xué)方式便在于引導(dǎo)學(xué)生采取“建立數(shù)學(xué)模型”這一辦法來幫助學(xué)生充分理解應(yīng)用題中的各種條件，并在最終有效地找出各種問題解決辦法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;解決問題;百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)過程中，經(jīng)常有教師使用苦心引導(dǎo)學(xué)生畫和題目有關(guān)的線段圖這一方式來幫助學(xué)生理解題意，并在線段圖中找出解決問題的方法，然而這樣的教學(xué)辦法卻一直都沒有太好的收效。如某次教學(xué)中，便有如下的教學(xué)片斷：

一、復(fù)習(xí)鋪墊

教師展示題目：某人家里買了一整袋總重量為重40公斤的大米，過了一段時間后總共吃了62.5%，請問這袋大米還剩下多少公斤？

教師：請（某學(xué)生）對這道題的題意做出分析，找出其中的問題和其中給出的條件。

學(xué)生：問題是求這袋大米中剩余大米的重量，給出的條件有兩個——一個是沒有吃之前的大米大米總重量使40公斤，另一個是其中的62.5%已經(jīng)被吃掉。

教師：那你可以畫出和這個內(nèi)容有關(guān)的線段圖嗎？

…………（學(xué)生基本上都能夠畫出和題目內(nèi)容有關(guān)的線段圖，教師則在黑板上做出相應(yīng)的示范，也告知學(xué)生2.5%是10%的四分之一）。

教師：從這樣的數(shù)軸上可以看出：他們家總共吃了多少？最后大米還剩多少？

學(xué)生：他們家總共吃了40×62.5%=25（公斤）。最后大米還有40-25=15（公斤）。

教師：除了這么個算法之外，還能用什么辦法算？

學(xué)生：40×（100%-62.5%）=15（公斤）

二、新課學(xué)習(xí)

教師在完成題目本身的聯(lián)系之后，出示變式題目：還是那個人，他家又買了一袋大米，一段時間之后吃了62.5%之后，到現(xiàn)在還剩15公斤，請問他們家這一次總共買了多少公斤大米？

教師：題目之中“吃了62.5%”這句話有什么意義？其中應(yīng)該將什么內(nèi)容算作單位“1"？

學(xué)生：因為其中提出吃掉了整袋大米之中的62.5%，這樣就應(yīng)該將這袋大米算作單位“1”。

教師：那也請畫一下有關(guān)的線段圖。

…………（學(xué)生畫出線段圖，隨后教師展示引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)問題予以解答）。

解：設(shè)這袋大米的總重量是x公斤，由此可知（100%-62.5%）x=15或x-62.5%x=15，但不管如何，最終得數(shù)都是x=40。

到這個時候，本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)已經(jīng)結(jié)束。然而在此后的練習(xí)活動中，學(xué)生卻實際上并未真正意義上掌握用百分?jǐn)?shù)除法解決應(yīng)用題之中“己知一個數(shù)的百分之多少，求這個數(shù)本身”這一類型的應(yīng)用題。是何種原因?qū)е逻@種看上去課堂很順利，但教學(xué)效果卻大打折扣呢？我認(rèn)為：這一狀況是是因為教師在教學(xué)活動中單純仰仗經(jīng)驗、認(rèn)識等，覺得例題、復(fù)習(xí)題之類實際上僅僅是改了條件和問題而已，只要有了復(fù)習(xí)題的鋪墊，對其他應(yīng)用題的解決也是可以“水到渠成”。但實際上，學(xué)生的接受能力是被教師高估了的。

在課程設(shè)計思路中，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：在展示出知識、技能之類的數(shù)學(xué)結(jié)果之后，還要對學(xué)生的經(jīng)驗做出重視，使之可以感受到來自于實際背景的數(shù)學(xué)問題，由此來充分地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型直到解決問題。也正因如此，在構(gòu)建的整個數(shù)學(xué)教學(xué)體系之中，教師應(yīng)對學(xué)生的模型思想加以必要的注重和發(fā)展，充分加強學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。由此，在百分?jǐn)?shù)問題教學(xué)中才更應(yīng)充分幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的模型思想。其辦法如下：

第一，借助百分?jǐn)?shù)解決實際問題的前提在于學(xué)生會借助百分?jǐn)?shù)解決問題，而數(shù)學(xué)模型又是以“數(shù)字和百分?jǐn)?shù)相乘的意義是求數(shù)字的百分之幾之訣竅”作為基礎(chǔ)的，換句話說，就是學(xué)生應(yīng)充分記住“求單位‘1’的百分之多少要用乘法”這一道理——如一頭巨大的鯨魚長28m，它身邊的一個潛水員身高是鯨魚身長的6%，潛水員身高——在這個問題之中，單位“1”應(yīng)定位為鯨魚身長——28m，由此可知潛水員的身高就可以理解為28m的6%，這一計算活動的模型就是“鯨魚身長×6%=潛水員身高”——只要計算28×6%便可以獲得結(jié)果。

第二，借助于乘法模型來對百分?jǐn)?shù)除法問題加以解決。在本文中涉及的課程之復(fù)習(xí)解答中，作為教師便可以借助于引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型這一方式開展復(fù)習(xí)：

購買的整袋大米總數(shù)-那段時間內(nèi)被吃掉的大米重量=最終剩余的大米重量

借助于上述模型，學(xué)生便可以設(shè)相應(yīng)的未知數(shù)，以之為基礎(chǔ)來列方程解答問題“某人家里買了一整袋總重量為重40公斤的大米，過了一段時間后總共吃了62.5%，請問這袋大米還剩下多少公斤？”從而可以得知如下內(nèi)容：

購買的整袋大米總數(shù)-那段時間內(nèi)被吃掉的大米重量=最終剩余的大米重量

在此之后便可以采取“舉一反三”的方式，在解決問題的過程之中進一步掌握同類型的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題這一方面各種解題辦法及其思路。

第三，基于模型思想，讓學(xué)生借助于此類思想來解決一系列系相同類型的問題，由此來獲得屬于自身的技能，更多地積累思想方法，從而獲得解決問題這一方面的經(jīng)驗。

總而言之，幫助、指導(dǎo)學(xué)生形成屬于自身的數(shù)學(xué)模型，是如今突破學(xué)生沒有足夠高的解答數(shù)學(xué)問題正確率這一狀況的一個很好的辦法。在所開展的教學(xué)活動開展進程中，教師除了要將自身活動定位為幫助學(xué)生算出正確答案之外，還要進一步令學(xué)生在開展解題活動的過程中充分了解數(shù)學(xué)模型的使用辦法，對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想加以持續(xù)不斷的培養(yǎng)。

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