多角度思考 妙手段處理

陳永志

摘?要：多變元代數式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數式的最值或取值范圍問題，是近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中的常見題型，難度較大，思維方式多變，求解方法多樣，有助于激發我們學習的主動性、積極性和趣味性，培養發散思維能力，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.

關鍵詞：最大值;判別式;基本不等式;三角換元;柯西不等式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0059-02

在近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中，經常會碰到求解多變元代數式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，求解方法多樣

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一、問題呈現

問題?已知3=a2+c2-ac，則c+2a的最大值為.

本題是一道雙變元在已知條件下，相應的代數式的最值的求解問題.這類問題一直受備命題者的青睞.通過認真審視這道試卷，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對應的精彩解法.

二、多解探究

思維角度1?（判別式法1）設出所要求解的代數式c+2a=t，通過參數的轉化代入已知的代數關系式建立關于某個字母的二次方程，結合二次方程的判別式法來確定參數t的取值范圍，達到求解的目的.

解法1?設c+2a=t，則有c=t-2a.

由a2+c2-ac=3，可得a2+（t-2a）2-a（t-2a）=3，整理可得7a2-5ta+t2-3=0.

由Δ=25t2-28（t2-3）≥0，解得-27≤t≤27，

則c+2a的最大值為27.故填答案：27.

思維角度2?（判別式法2）設出所要求解的代數式的平方t=（c+2a）2，根據條件化為齊次分式，結合c是否為0加以分類討論，并通過k=ac化為相應的二次方程，利用二次方程的判別式法來確定參數的取值范圍，進而通過求解來確定相應代數式的最值問題.

解法2?由a2+c2-ac=3，可設t=（c+2a）2=（c+2a）21=12a2+3c2+12aca2+c2-ac.

當c=0時，a2=3，可得a=±3，c+2a=±23.

當c≠0時，設k=ac，則有t=（c+2a）2=12a2+3c2+12aca2+c2-ac=12k2+12k+3k2-k+1，整理有（12-t）k2+（t+12）k+3-t =0.

當t=12時，此時c+2a=±23;

當t≠12時，Δ=（t+12）2-4（12-t）（3-t）≥0，解得0≤t≤28，即（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27.

綜上分析可得-27≤c+2a≤27，則c+2a的最大值為27，故填答案：27.

思維角度3?（基本不等式法）結合條件，利用配方公式以及基本不等式加以轉化，進而確定代數式（c+2a）2的取值范圍，通過求解二次不等式來確定相應代數式的最值問題.

解法3?由a2+c2-ac=3，則有3=a2+c2-ac=（c+2a）2-3a2-5ac，

結合基本不等式有（c+2a）2=3+3a2+5ac =3+a（3a+5c）=3+ 17·（7a）·（3a+5c）≤3+ 17·（7a+3a+5c2）2=3+25（c+2a）228，

整理可得（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27.

則c+2a的最大值為27，當且僅當7a=3a+5c，即a=54c=577時等號成立，

故填答案：27.

思維角度4?（三角換元法）根據已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，利用三角換元思維引入參數，得到a、c的三角表達式，進而代入所求代數式c+2a，利用三角恒等變換，結合三角函數的圖象與性質來確定其相應的最值問題.

解法4?由a2+c2-ac=3，整理可得（a-12c）2+（32c）2=3.

設a-12c=3cosα，32c=3sinα，則有a=sinα+3cosα，c=2sinα，

那么c+2a=2sinα+2sinα+23cosα=4sinα+23cosα=27sin（α+φ）∈[-27，27]，

則c+2a的最大值為27.故填答案：27.

思維角度5?（柯西不等式法）根據已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，結合所求代數式c+2a，配湊相應的系數，結合柯西不等式加以確定對應的關系式，再通過求解二次不等式來確定相應代數式的最值問題.

解法5?由a2+c2-ac=3，

結合柯西不等式可得3=（a-12c）2+（32c）2=[（a-12c）2+（32c）2][?22+（43）2]·328≥[2·（a-12c）+43·（32c）]2·328=328（c+2a）2，

整理可得（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27，

則c+2a的最大值為27，當且僅當43·（a-12c）=2·（32c），即a=54c=577時等號成立.

故填答案：27.

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.而通過典型模擬題實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數學知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養發散思維能力，有助于激發我們學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.

參考文獻：

[1]孫小芳.雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越——2019年天津卷理科第13題最值的破解[J].中學數學，2019（21）：29-30.

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