一道高考波動試題的多解與啟示

許冬保

摘?要：2018年高考全國理綜Ⅰ卷波動試題有效地考查了考生的知識、能力與科學(xué)素養(yǎng).試題難度中等，但第2問難度較大.在高三復(fù)習(xí)中，該類問題成為困擾廣大考生的難點之一.對試題進行多視角分析，有利于發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力.教學(xué)啟示有，夯實基礎(chǔ)知識，發(fā)展應(yīng)用水平;重視科學(xué)思維，提高思維能力;增強實踐意識，提升科學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：試題;波動圖像;振動圖像;波動方程;啟示

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0083-02

題目?（2018年高考全國理綜Ⅰ卷）一列簡諧橫波在t=13s時的波形圖如圖1所示，P、Q是介質(zhì)中的兩個質(zhì)點.圖2是質(zhì)點Q的振動圖像.求

（1）波速及波的傳播方向;

（2）質(zhì)點Q的平衡位置的x坐標(biāo).

一、試題解析

（1）由圖1可以看出，該波的波長為λ=36cm;由圖2可以看出，周期為T=2s.因此，波速為v=λT=18cm/s.

由圖2知，當(dāng)t=13s時，Q點向y軸正方向運動，結(jié)合圖1可得，波沿x軸負方向傳播.

以下對第（2）問的解答給出不同的解法.

解法1?分析綜合法（國家考試中心解答）

（2）設(shè)質(zhì)點P、Q平衡位置的x坐標(biāo)分別為xP、xQ.由圖1知，x=0處y=-A2=Asin（-30°），因此 xP=30°360°λ=3cm.

由圖2知，在t=0時Q點處于平衡位置，經(jīng)Δt=13s，其振動狀態(tài)向x軸負方向傳播至P點處，于是，有

xQ-xP=vΔt=6cm

綜上可得，質(zhì)點Q的平衡位置的x坐標(biāo)為 xQ=9cm.

解法2?作圖分析法

作出t=0時刻的波動圖像，如圖3中虛線波形.由圖可知，質(zhì)點Q所在平衡位置至坐標(biāo)原點的距離恰為波長λ的1/4.則xQ=9cm.解法3?長度測量法

根據(jù)圖1中半個波長的長度為18cm，分別用直尺測量半個波長的實際長度及質(zhì)點Q的平衡位置至坐標(biāo)原點之間的長度.由比例關(guān)系得到 xQ=9cm.

解法4?波動方程求解（取Q點作為波源質(zhì)點）

參考圖2，當(dāng)t=0時，質(zhì)點Q的振動方向沿y軸正方向，且位移等于0.寫出質(zhì)點Q的振動方程，即

y=Asinωt，

則沿x軸負方向傳播的簡諧橫波在t時刻的波動方程為

y=Asinωt-xQ-xv

因此，當(dāng)x=0時，有 y=-A2，即

-A2=Asinωt-xQv

式中 ω=2πT=πrad/s，t=13s，v=18cm/s.

代入已知數(shù)據(jù)，得

ωt-xQv=-π6

解得 xQ=9cm.

解法5?波動方程求解（取坐標(biāo)原點作為波源質(zhì)點）取坐標(biāo)原點處的質(zhì)點為波源.則沿x軸負方向傳播的簡諧橫波在t時刻的波動方程（用余弦函數(shù)表示）為

y=Acosω（t+xv）+φ0

式中φ0為初相位.ω=2πT=πrad/s，v=18cm/s.

令x=0，t=13s，則y=-A2.因此，有-A2=Acosωt+φ0，即

cosωt+φ0=-12（1）

結(jié)合圖2，對于質(zhì)點Q，當(dāng)t=0時，有 0=AcosωxQv+φ0，即

cosωxQv+φ0=0（2）

當(dāng)t=13s時，有 yQ=Acosωt+xQv+φ0.

由圖2知，Q的振動方程yQ=Asinωt.當(dāng)t=13s時，有 yQ=Asinπ·13=32A.于是，得到

32A=Acosω（t+xQv）+φ0

即

cosω（t+xQv）+φ0=32（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）式中的任意2個表達式，結(jié)合圖1中Q的位置，均可解得

φ0=π;xQ=9cm

說明：關(guān)于初相位φ0也可以通過振動方程與速度方程來確定.

對于原點處的質(zhì)點，振動方程為 y=Acosωt+φ0，速度為 v=dydt=-Aωsinωt+φ0.由圖1知，y<0，v>0，則有 cosωt+φ0<0，sinωt+φ0<0，角度應(yīng)處于第3象限內(nèi).于是可得

-A2=Acosπ·13+φ0，因此 φ0=π.根據(jù)（2）式或（3）式可解得 xQ=9cm.

二、教學(xué)啟示

這是一道選考試題，抽樣難度為0.45，是一道中等難度的試題.如果僅分析試題的第2問，難度是比較大的，在高三復(fù)習(xí)中，一直以來此類問題困擾著廣大考生.那么試題難在哪里？帶給我們有哪些啟示呢？

1.夯實基礎(chǔ)知識，發(fā)展應(yīng)用水平

從知識角度來看，波動可視為振動的集合，描述的是某一時刻介質(zhì)質(zhì)點的振動情況，波長反映了波在空間傳播的周期性;振動描述一個質(zhì)點在各個不同時刻的運動情況，周期反映了質(zhì)點振動的周期性.試題將振動圖像與波動圖像結(jié)合起來，考查振動與波動中的核心知識.通過振動圖像可以得到：周期T=2s、t=13s時刻質(zhì)點的振動方向沿y軸正方向、質(zhì)點從平衡位置到圖1所示的位置歷時13s.通過波動圖像可以得到：波長λ=36cm、坐標(biāo)原點處質(zhì)點及P質(zhì)點在t=13s時刻振動的位移.試題有效地考查了考生對于振動與波動中有關(guān)知識的掌握程度與應(yīng)用水平.

2.重視科學(xué)思維，提高思維能力

物理觀念的形成和發(fā)展需要在物理知識學(xué)習(xí)及應(yīng)用的過程中才能逐步形成，從相互作用和能量的角度認識機械振動與機械波，了解波動的特征，有利于科學(xué)思維能力及科學(xué)素養(yǎng)的提升.在波動問題的學(xué)習(xí)中，要重視對質(zhì)點、介質(zhì)、簡諧運動、平面簡諧波等物理模型的建構(gòu)，認識建構(gòu)模型是一種重要的科學(xué)思維方法，同時也是發(fā)展和提高學(xué)生科學(xué)思維能力的重要途徑.試題要求在認識振動與波動模型的基礎(chǔ)上，從時間與空間、從個體與整體、從靜態(tài)與動態(tài)等視角來認識波動的形成過程，來理解振動與波動的關(guān)系.

3.增強實踐意識，提升科學(xué)素養(yǎng)

試題不是實驗題，但是，認真繪圖，細致測量等均有利于提高學(xué)生的科學(xué)探究能力、增強實踐意識、養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度，這些正是物理核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.雖然繪圖、測量未必得到準(zhǔn)確的結(jié)果，但仍然提供了一種解決問題的方式，擬或?qū)Χ糠治鰩戆凳净蚰撤N幫助，從而促進問題的解決.這也是物理學(xué)習(xí)中不可或缺的能力與素養(yǎng).

用波動方程解題，似乎超越了考試大綱的約束，對多數(shù)學(xué)生而言是不做要求的，但對于參加國家強基計劃招生考試的學(xué)生，適當(dāng)擴大知識面是十分必要的，對綜合素養(yǎng)的提高無疑是大有益處的.

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程力學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005：338-339.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：50-51.

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