同為三角 解法各異

摘?要：解決高中數(shù)學(xué)中三角問題時，由于受到慣性思維的誘導(dǎo)，學(xué)生普遍將思路局限在三角的知識體系中，難以發(fā)散思維，轉(zhuǎn)化視角，跳出三角的知識體系.三角題中的輔助角、換元、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)基因，就是常見的類型，下面舉列說明此類題型的解法.

關(guān)鍵詞：輔助角;換元;二次函數(shù);導(dǎo)數(shù);思維慣性

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0015-01

例1?（2018全國卷）函數(shù)f（x）=cosx-sinx在x∈[-a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是.

輔助角型?f（x）=cosx-sinx=2cos（x+π4），其減區(qū)間由2kπ≤x+π4≤2kπ+π，k∈Z，得2kπ-π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z.令k=0，則唯一一個由負(fù)到正的減區(qū)間為[-π4，3π4]，依題[-a，a][-π4，3π4]，解得0<a≤π4，所以a的最大值為π4.

例2?（大綱卷文）函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值是.

二次函數(shù)型?y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx.令t=sinx，t∈[-1，1]，則y=-2t2+2t+1=-2（t-12）2+32.當(dāng)t=12時，函數(shù)的最大值32.

例3?（大綱卷理）函數(shù)y=cos2x+asinx，在（π6，π2）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.

二次函數(shù)型?y=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1.令t=sinx，t∈（12，1），則y=-2t2+at+1，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸x=a4，所以a4≤12，即a≤2.

例4?（2016新課標(biāo)）若函數(shù)f（x）=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.[-1，1]?B.[-1，13]

C.[-13，13]D.[-1，-13]

導(dǎo)數(shù)型?依題f ′（x）=1-23cos2x+acosx=-43cos2x+acosx+53≥0恒成立.

令t=cosx，t∈[-1，1]，則

f ′（t）=4t2-3at-5≤0在t∈[-1，1]恒成立，即f ′（-1）≤0且f ′（1）≤0，解得a∈[-13，13].

例5?（2018全國卷）已知函數(shù)f（x）=sin2x+2sinx，求函數(shù)的最小值.

導(dǎo)數(shù)型?f ′（x）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=2（2cosx-1）（cosx+1）.由f ′（x）>0，即cosx>12解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間：（2kπ-π3，2kπ+π3），k∈Z.由f ′（x）<0，即cosx<12解得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間：（2kπ+π3，2kπ+5π3），k∈Z.若不考慮周期因素，函數(shù)有無窮多相等極大值，極大值等于最大值，即f（π3）=332.函數(shù)有無窮多相等極小值，極小值等于最小值，即f（5π3）=-332.

例6?求函數(shù)f（x）=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值.

換元型?f（x）=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx.令t=sinx+cosx=2sin（x+π4）∈[-2，2]，則sinxcosx=t2-12.則函數(shù)化為y=12（9t2-24t+23）.當(dāng)t=43時，函數(shù)取最小值72.

參考文獻(xiàn)：[1]梁宗明.三角題中的二次函數(shù)情緣[J].數(shù)理化解題研究，2017（10）：21.

[責(zé)任編輯：李?璟]