對比習題研模式 統一解法促效能

李秀元

摘?要：數學解題注重模式.研究解題模式，不僅對理解題意有幫助，而且可以降低解題難度，提高解題速度和準確度.

關鍵詞：比較研究;解題模式;教學效能

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0071-03

數學是一門尋求“完美”模式的學問.數學解題一般都是有模式的.研究解題模式，熟練運用模式解題，對提高數學學習成績的現實意義是積極的.而且，研究解題模式，對于理解不同題目的關系，快速解題也是非常有好處的.下面基于不等式問題，舉例說明統一求解模式在不同題目中的應用，借此彰顯統一解題模式的積極意義.

一、統一模式，加深對問題的理解

例1（1）若1<a<3，-4<b<2，則a2-b的取值范圍是;

（2）已知-1<a+b<3，2<a-b<4，則2a+3b的取值范圍是.

分析?對于問題（1），由于a，b單獨變化，互不影響，可直接利用不等式的性質求解.求解問題（2）時，學生往往受問題（1）的影響，總是先求a，b的取值范圍，再求2a+3b的范圍.事實上，a和b在變化過程中是相互制約的，因此不能單獨確定a和b各自的取值范圍.如果對a+b和a-b分別換元后，則問題（2）可以回歸到問題（1）的模式.

解?（1）由1<a<3，得12<a2<32;由-4<b<2，得-2<-b<4.兩式相加得-32<a2-b<112.

（2）令a+b=t，a-b=s，則a=t+s2，b=t-s2，且2a+3b=52t-12s.

于是原問題可轉化為：已知-1<t<3，2<s<4，求52t-12s的取值范圍.這樣，就變成問題（1）了.

根據不等式的性質可得-92<52t-12s<132，從而2a+3b的取值范圍是（-92，132）.

評析?問題（2）是學生最易出錯的一道題，人教A版課標實驗教科書必修5，用一個“閱讀與思考”來解釋，為什么正確應用不等式性質的求解，結果卻是多樣的、錯誤的.應用模式化方法，使新問題回歸到已有模型，復雜問題簡單化，求解不會出現偏差，也根本不需要任何解釋.轉化為問題（1）的模型，本質上是用a+b和a-b這兩個整體變量來表示2a+3b，不破壞單獨變量a和b之間的依賴性，然后借助不等式的性質，確定其取值范圍.

二、統一模式，提高解題速度

例2?（1）已知f（x）=（ax-1）（x+b），如果fx>0的解集為（-1，3），求f-2x+3<0的解集;

（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集為x|-1<x<2，求不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集.

分析?對于問題（1），一般先根據函數結構，和不等式解的形式，確定函數類型，求出參數a和b的值，進而解一個基于f（x）的更復雜不等式.但這樣求解無視結構特點，毫無靈性，無法提高解題的速度和準確度.

解?（1）方法1：由已知得a<0.又-1和3是方程ax-1x+b=0的兩根，故1a=-1，-b=3，即a=-1，b=-3.此時fx=（-x-1）（x-3），不等式

f-2x+3<0可化為-2x+3-1-2x+3-3<0，解得x<12，或x>2.所以f-2x+3<0的解集為x|x<12，或x>2.

方法2：由已知得a<0（其實已經沒必要了），令t=-2x+3，則ft<0的解集為t|t<-1，或t>2.

因此，-2x+3<-1或-2x+3>2，解得x<12，或x>2.

從而f-2x+3<0的解集為x|x<12，或x>2.

（2）方法1：依題意，-1和2為方程ax2+bx+c=0的兩根，故ba=-1，ca=-2，且a<0.

不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化為x2+ba-2x+1+ca-ba<0，即x2-3x<0，解得0<x<3.

所以不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集為（0，3）.

方法2：不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化為a（x-1）2+bx-1+c>0，由題意知-1<x-1<2，所以0<x<3.

因此，不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集為（0，3）.

評析?這兩個不等式的求解，并不是多么困難，甚至可以說是簡單的，基于一般化思想未嘗不可，但如果關注到不等式的結構特點，則為快速而準確解題，提供了必要條件，這也許就是模式化的極大好處.

三、統一模式，降低解題難度

例3?（1）已知x，y均為正數，且滿足1x+12y=1，求x+4y的最小值;

（2）已知a，b為正數，且a+b=1，求4a+9b的最小值.

分析一?這是等式條件下利用均值不等式求最值的典型試題.問題（1）條件形式復雜，目標結構更簡單，從復雜到簡單容易操作，既可以利用消元法，又可以利用“1”的代換.問題（2）則是條件簡單，目標復雜，從簡單到復雜構造難.在解題技巧上可以利用“1”的代換，如果用消元法，則目標式會越來越復雜，除了借助特殊不等式，似乎沒有更好的辦法.若能把問題（2）轉化為問題（1）的形式，則兩者的求解就統一了.

解?（1）方法1：消元法.

由1x+12y=1，得12y=1-1x=x-1x，即2y=xx-1，因為y>0，所以x>1.

x+4y=x+2xx-1=（x-1）+2x-1+3≥3+22，當且僅當x-1=2，即x=2+1時等號成立.

故x+4y的最小值為3+22.

方法2：“1”的代換.

x+4y=（x+4y）（1x+12y）=3+4yx+x2y≥3+22，當且僅當x=22y，1x+12y=1，即x=2+1，y=2+24時等號成立.

（2）方法1：“1”的代換.

4a+9b=（4a+9b）（a+b）=13+4ba+9ab≥13+236=25，當且僅當2b=3a，即a=25，b=35時取等號.

方法2：消元后利用特殊不等式.

為了說明問題，我們先證明下面的不等式：

已知a，b，x，y為正數，則a2x+b2y≥（a+b）2x+y，當且僅當ax=by時等號成立.

證明?因為a，b，x，y為正數，

所以（a2x+b2y）（x+y）=a2+b2+a2yx+b2xy≥a2+b2+2ab=（a+b）2，當且僅當ax=by時等號成立.

因此，a2x+b2y≥（a+b）2x+y，當且僅當ax=by時等號成立.

再看問題的解.

解?由a+b=1得b=1-a，則4a+9b=4a+91-a≥（2+3）2a+（1-a）=25，當且僅當a+b=1，2a=31-a，即a=25，b=35時等號成立.

方法3：換元法.

令4a=t，9b=s，則a=4t，b=9s.

于是題目轉化為：已知正數s，t滿足4t+9s=1，求t+s的最小值.應用問題（1）的求解方法，可得t+s的最小值為25，即x+4y的最小值為25，當且僅當a=4t，b=9s時等號成立.

評析?特殊不等式的證明思路，正是源于問題（1）的求解方法2.問題（2）的方法1用技巧取勝，不太符合新高考命題理念，方法2以特殊不等式為背景，看似簡單，實際上增加了識記要求，如能抓住問題的本質，即“1”的代換，不用特殊不等式也是可行的.此時所謂“1”的代換，已經不僅僅限于和為1，只要和為正常數，都是可以的.對條件和目標的結構進行變換，則問題（2）回歸到問題（1）的形式，難度自然降低.

分析二?換個角度看問題（1）.一般地，應用均值不等式求最值，結構上往往具有“給和求積”，“給積求和”的特點.如果能將 “分式和結構”的等式條件，變換成“整式積”的形式，那么，試題也就能回歸到更一般的解題模式上了.

解?由1x+12y=1，得x>1，y>12，且x+2y=2xy，對等式進行因式分解，得（x-1）（2y-1）=1，進一步，我們有（x-1）（4y-2）=2.

所以，x+4y-3=（x-1）+（4y-2）≥2（x-1）（4y-2）=22，當x-1=4y-2時等號成立.

因此，x+4y的最小值為3+22.

評析?相對于分析一的特殊解法，對于“給分式和求整式和”問題，將分式型等式條件化為整式等式條件，只需要進行一次因式分解，湊一湊就行了，因式的構成完全依賴于目標的線性結構，無論系數與等式是否一致，都是可以的.這樣解題難度似乎又降低了不少.

不同知識點的試題，往往具有各自獨立而特別的解題模式，如數列問題的構造模式，三角函數問題中的變角模式，解析幾何問題的運算模式，等等.研究模式，洞悉模式，進而利用模式，為快速解題創造得分條件，正是試題研究的方向之一，值得擁有.

參考文獻：

[1]Keith Devlin.數學的語言[M].南寧：廣西師范大學出版社，2013.

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