新課程高考數學復習的“真理”、現實與對策

真理A：數學學科復習的最大意義在于增加“固定部分”

數學復習對應出口（即高考成績）造就的成果，可以分為“固定部分”和“浮動部分”。所謂固定部分，指的是那些考生學的特別通透而清晰、體現在結果（解題）上順暢程度較高的章節或專題，簡而言之，就是考生對高考數學“心里很有底”的部分，只要考，就有大概率拿（滿）分;所謂“浮動部分”，指的是那些考生學的似懂非懂、體現在結果上（解題）得分或然性較強的章節或專題，也就是考生對考試“心里沒底”的部分，所以“浮動部分”實則可以簡稱為“運氣部分”。對于某次特定的考試，特定考生的成績一定有浮動部分（運氣）的存在，但最主要的影響因素一定是“固定部分”（近似于統計學中的數學期望）。

真理B：數學作為形式科學，對與錯界限清晰

很多人曾經對數學做出過“自然科學”的定性，實際情況是：數學是形式科學。這意味著數學的概念、公式、定理均是絕對正確和毋庸置疑的，形式科學是邏輯和先驗方法的科學，任何經驗性的判斷均對它的有效性不構成實質性影響。例如，很多考生擔心類似“數形結合”、“反證法”等在高考判卷中會遇到不公平對待，這種擔心完全是多余的，依據數學的學科本質，判卷環節中，給考生作答賦分的最主要兩個衡量標準——一是結果正確（計算無誤）、二是邏輯清晰（言之有理）。對數學學科本質的理解，是學好數學的前提，也是數學學習的價值能否應用在除數學學習領域之外的核心前提。

真理C：高考命題更偏向深刻性而非復雜程度

這是全國卷命題和其它試題命題的重要差別。眾所周知，高考的核心功能是通過分數實現人才選拔，因此，在大樣本的前提下，高得分考生和低得分考生的核心差別也應是國家人才選拔標準的體現。如果把解答數學試題的必備要素形象地分為“技術工種”和“熟練工種”，“技術工種”決定或影響了考生“會不會做”，“熟練工種”決定或影響了考生“能否算對”，那么以現在的時代背景，很顯然思考或理解的深度比計算的熟練程度更加重要。成功解答復雜程度較高（題目文字量大、條件較多、解題步驟繁瑣等）的試題，當然能說明考生潛在的底蘊深厚或能力較強，但也很容易誤傷了很多對數學有深刻理解或是創新思維發達的人才。相比之下，偏重深刻性（知識本質、數理邏輯、數學思想等）的試題，則更能公平地選拔出符合時代背景要求的人才。

現實A：很多考生經歷著“形式大于意義”的復習

數學學科復習最高效的過程應是“用少數資源引導感性認識（初識現象）、用適量資源滋生理性認識（理解本質）、用適量資源鞏固理性認識（見多識廣）”。縱觀諸多考生復習數學的實際過程，每一輪復習都相當于在以不同的速度做題，所謂的“知識總結”太過急促，所謂的“專題總結”太過形式與表面，并未出現足夠的理性認識（數理邏輯層面或是操作體驗中“通性通法”的層面）。盡管足夠的量變定能產生質變，但對于高考復習來講（尤其針對全國卷命題特點的復習），如果復習模式與方法不得當，一年的時間相比能產生大面積質變的時間還是捉襟見肘不少，這也是為什么多數專家均不提倡用盲目的題海戰術進行數學學科的復習。

現實B：很多考生的數學學習以“聽懂看懂”為衡量標準

盡管近年的高考數學在難度上有明顯的下降趨勢，但多數學校對復習并沒有降低要求，依然和之前的年份大同小異。對2019年全國二卷的高考數學試題，絕大多數考生大呼難度大，但在很多專家眼中則并沒有那么夸張，究其原因，和考生對“形式創新”（而非內在創新）的適應能力降低是有直接關系的。對于平時習慣了以“聽懂看懂”為學習合格與否的衡量標準的考生來說，試題的形式和內容是考生記憶的核心對象。相比之下，善于深度思考和對知識理解深刻的考生，則以提煉的數理邏輯和數學思維等作為試題的存儲方式，這種考生也更具靈活駕馭“形式創新”的能力。

現實C：很多考生刷過的（大）部分試卷是遠離高考的

成熟的科技界中，“標準（化）”是必不可少的核心概念，高考命題（尤其數學這種偏理科的科目）中，“標準化”落實的越扎實，就越有利于公平測試與有效選拔。基于以上原因可知，高考數學命題，命制的整卷是標準化的“產品”，例如，命題雙向細目表的制定與落實和大樣本分層抽樣實測，都是完整命題過程的必要環節。相比之下，很多非高考實考的試卷，例如模擬考試卷、習題冊中的套卷等，命題的主觀性相對較強（主觀臆斷的因素較多），里面很多題目（尤其難度較大的題目）的命制背后，多為打造“藝術品”而非打造標準化的“產品”。

策略A：堅持“專題優于套卷”的大原則

專題與套卷的對比，實則是單項與綜合的對比。在高考數學中，所謂“綜合”其實是個虛幻的概念，直接原因如下——組成高考數學全卷的二十余道試題，多數試題涉及的章節（或專題）都是單一的，即使少數題有一定的綜合性（涉及多個章節的知識），也只是若干專題的拼盤。形成這一現象的根本原因，還得用“數學學科本質為形式科學”來解釋，每個數理邏輯都能獨立存在或者被單獨詮釋。所以，如果所有專題都學的特別明白，綜合起來也一定如魚得水。換句話說，依據數學素質與能力的養成機理，鑄就理想分數的最高效方法，并不是靠“綜合”練“綜合”這一看起來很對應的方式，而是靠“專題”練“綜合”這一更符合數學認知機理的方式。

策略B：形成正確的思維方式和認知習慣并使之常態化

幾乎所有的高考數學試題都是某個或某些數理邏輯的現象級表現，所以對待數學試題正確的思維方式以及對學習成果的存儲方式絕不是就題論題，而應是注重從現象到本質的思考與同一邏輯的不同解釋（即“一題多解”）。例如，《函數》章節里“函數產生到應用遵循的特殊一般特殊規律”、《數列》章節里“由遞推關系到通項公式”、《解析幾何》章節里“坐標輪換式的表現與應用”這幾項數理邏輯來說，就有很多考生在高中階段一直理解的不足夠深刻，導致面對不同表象同一本質的問題會有不一樣的反應。堅持正確的思維方式還需很注重獨立思考，對自己的想法要持“保護”的狀態（在獨立思考之前盡量不要看答案或者直接聽講）。

策略C：用大數據輔佐數學復習資源的遴選

既然復習備考的目標是高考，則最符合高考標準的試題即為優質的備考資源。然而，選擇優質的備考資源是很多希望打造數學好成績的考生容易忽略的問題，畢竟高考真題的資源是有限的。如何判斷備考資源是否優質，看（基于大樣本的）試題數據統計便是最直觀有效的手段。其中，難度較低的試題只要符合“數學課程標準”與“考試大綱”即可，難度較高的試題最好兼具較高的區分度（選拔性）。另外，高考數學難題的題面往往都是非常簡潔的（靠內在邏輯彰顯深度）。隨著大數據技術不斷走向深入，對數學試題的屬性標定和對學生作答情況的數據統計也會越來越詳實而科學，考生可有效利用的資源也會日臻豐富。

作者簡介：孫煥彥（1983.7—），男，漢族，籍貫：遼寧沈陽人，工作單位：長春博大教育集團，碩士學位，專業：科學技術哲學，研究方向：數學哲學