函數思想在數列中的應用

戴耀藝

摘 要：數列是一種特殊的函數，既有自己本身的特性，也具有函數的性質，因此在教學和解題過程中充分挖掘數列的函數本質，借助函數性質解決數列問題，感悟函數思想在解決數列問題中的作用。

關鍵詞：函數;函數思想;數列

數列與函數相結合是高考的熱點，有時也是難點。函數思想是數學思想的重要組成部分，也是中學數學中最基本、最重要的數學思想之一。所謂函數思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究實際問題或數學問題中的數量關系，通過函數的形式，把這種數量關系表示出來并加以研究（一般借助函數的性質、圖象等），從而更快更好地解決問題。從函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，而數列的通項公式也就是相應函數的解析式。從這個意義上看，它豐富了學生所學的函數概念范圍，有些數列的問題可用函數思想來解決。引導學生以函數的概念、圖像、相關性質為紐帶，構建函數與數列的橋梁，揭示兩者間的內在聯系，能有效的解決數列問題。

圖象是函數特征的直觀呈現，借助函數圖象來解決數學問題（以形助數）是我們在解題中經常采用的手段，也就是所謂的數形結合。這里將等差數列的通項公式、前n項和公式看做關于n的函數，利用函數對應的圖象關系來解決問題，簡化了運算。

沒有給出數列的具體類型，可以通過數列的遞推關系，寫出數列的前幾項，用不完全歸納法找到數列的規律，從而解決問題。但是需要由較強的推理歸納能力。所以僅僅利用數列的知識不容易解決，而如果我們從函數視角去考慮，借助函數的周期性，對數列會有一個新的更清晰認識。

數列的遞推關系，也蘊含著函數本質。本題是轉化為函數表示，變量是正整數集，比一般的實數集更簡單。因此找到函數的周期性，在大大簡化了解題過程的同時，很好地培養了學生的思維能力。

例3、判斷數列的單調性。

點撥：構造，顯然，顯然在是增函數，所以數列是遞增函數。

這里將通項公式轉化為函數的形式，通過判斷函數的單調性來確定數列的單調性，符合數列是一種特殊的函數的這一規定，在這里是一種演繹推理。函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區別，也就是說如果數列所對應的函數單調則該數列一定單調，但反之如果數列單調，所對應的函數不一定單調，關鍵的原因在于數列是一個定義域在正整數集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的特殊函數，是一個離散的函數，在圖像上表示的一些離散的點。

在教學過程中提倡學生學會積極主動、勇于探索的學習方法。學會構建函數，使用數學的函數思想解決數學問題是一個重點，也是一個難點，體現了學生在學習過程中的體驗、思考與參與，培養學生的創新意識。在構建函數之后，往往需要利用函數的概念和性質來解決問題，而函數的基本性質包括了奇偶性、單調性、周期性，最值性零點等等，畫出函數圖像采用數學結合的方法解決問題。因此在數列教學過程中滲透函數思想，要結合已知特征進行等價轉化，這樣不僅可以進一步鞏固之前學習過的函數知識，融會貫通，而且可以進一步拓寬學生解決數列問題的視野。

法二、直接考慮數列本身的結構特征。構造二次函數，把看成函數，它的定義域是，作為遞增數列，對應的函數必然為遞增函數，而且單調增區間為，此時拋物線的對稱軸為，因為函數f（x）為離散函數，要函數單調遞增，只需考慮動軸與已知區間的位置。從對應圖像上看，對稱軸在的左側可以（如圖），作為孤立的點，此時B點比A點高。于是，得λ>-3。

這幾個例題的分析與解析，可以看出數列作為離散函數的典型，在高中數學中具有重要位置。借助函數來解決數列的最值問題，恒成立問題等，由于方法多、技巧性強，難度比較大。因此在數列的具體教學過程中，要重視函數思想的滲透，將函數的概念、圖象、函數性質等融入數列的教學過程中，在數列知識與函數知識的交匯融合中，使學生的知識脈絡不斷優化與完善，進一步鞏固函數知識和數列知識，同時也能使學生的思維能力得以發展與提高。在教學過程中，創設恰當的情境，讓學生在情境中體會知識的形成過程，在感悟的過程中深刻領會當中蘊含的數學思想和方法，深刻理解用函數思想解決數列問題的本質。如果學生理解并掌握之后，往往能誘發知識的遷移，使學生產生舉一反三、融會貫通的解決各種數列問題，提升學生的邏輯運算和推理能力，從而迅速有效的解決問題。