新課標下對“二次函數解析式的確定”一課的分析與思考

劉習

摘要：在初中數學教學中，函數占據了半邊天地，函數中蘊含了豐富的數形結合的思想以及建模思想，與高中知識點有著密切的聯系。在用函數解決問題時，首先要能通過各種情境求解出函數的解析式，本文通過對一節《二次函數表達式的確定》公開課的情景再現與分析，為廣大初中數學教師提供思路與參考。

關鍵詞：二次函數;案例分析;初中數學

近日有幸在安徽省合肥市包河區某研討會上聽了由一位年輕老師執教的“二次函數表達式的確定”一課，略有感悟，下面筆者將結合《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）對本節課進行簡要分析并提出一些建議與思考。

一、教學內容分析

《二次函數表達式的確定》一課是建立在學生已經學習過了二次函數圖像與性質，已經掌握了其一般式和頂點式表達方式的基礎上進行的，在《課標》中只作為選學內容要求“知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數”[1]。在實際的教學中，通過圖像或者已知條件確定函數表達式這部分內容有著舉足輕重的作用，這不僅考查學生對前面“由形到數”學習的逆向思考的能力，也為后面探究二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，更能讓學生更好的感受數形結合的思想。

二、課堂回顧及分析

由于本課無課堂實錄，故筆者只呈現部分過程

（一）利用信息技術，讓冰冷的公式充滿活力

師：問題1：（在幾何畫板中出示拋物線y=x2-2x-3）從圖像中我們能獲得哪些信息？

問題2：如果表達式中的a、b確定，改變c的大小，圖像有哪些特征改變或不變？請同學們相互交流，說一說你們的發現。

問題3：若a、c不變，改變b值，圖像特征有何異同？b、c不變，改變a值，有何異同？（進行動態演示）

（1）過程分析

《課標》在“課程基本理念“中指出“數學課程的設計與實施應根據實際情況合理的運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效。執教者在該課的開始就運用幾何畫板，用控制變量的方法，讓學生感受二次函數變與不變的動態過程，給冰冷、枯燥的解析式注入了生命。

（2）意見及建議

由于本節課的教學重點是使學生通過已知信息用最合適的方法確定解析式，為了明確教學重點以及使學生更好的理解，可以將第一環節動態圖形的展示放在第二環節探究用待定系數法確定解析式的教學之后，并且縮短此部分展示時間，為后面課堂練習以及學生展示留有充足的時間。

（二）集思廣益，讓學生站在課堂中心

師：為了探究解析式如何確定，先從最簡單的y=ax2開始探究

問題1：想要確定此解析式，我們需要知道什么條件呢？思考一下，誰能編一道題嗎？

問題2：解析式y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=（x+h）2+k的確定需要知道什么條件？請分別也編一道題。

（1）過程分析

《課標》在“課程基本理念“中指出“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程，學生是學習的主體。在本環節中，讓學生嘗試編題這一教學活動體現了師生互動、以學生為主體的思想，學生在思考過程中，會出現各種創造性思維，每個學生根據自己的理解進行簡單的題目編制，能夠鍛煉其思維能力，且通過主動獲得的知識對學生來說也會更加深刻。

（2）意見及建議

九年級的學生雖然已經有了一定的建模思想和數形結合的思想，但是直接編制題目對他們來說還是有一定難度的，這在本節課堂上也有所體現，學生沉默時間較長，因此教師在設置此環節時，可以先帶學生回顧一次函數解析式確定的過程，從而引入二次函數的教學，在探究y=ax2時可以通過一個例題來呈現，后面再把時間充分留給學生，保證本節課教學目標更好的完成。

（三）一表多用，讓重難點的解決水到渠成

師：（出示表格）

x -2 -1 0 1 2 3 4 ···

y 5 0 -3 -4 -3 0 5 …

問題1：求此二次函數的頂底坐標及其解析式

師：求解析式，我們首先就要設解析式，可設為y=ax2+bx+c，在表格中任意找出三點代入解析式，就能解出a、b、c的值，最后再代回即可。

師：從表格中我們還能獲得哪些信息？能用更簡單的辦法求出解析式嗎？

生1：（舉手）能找到其頂點的坐標，可以設頂點式。（板演）

師：除了找到頂點設頂點式，還有其他方法嗎？（生1板演時提問）

生2：（舉手）還能找到函數與x軸的交點坐標，可設交點式。（板演）

師：以上我們共用了三種方法求出了解析式，回顧我們的解題過程，主要包括以下幾個環節：設-代-解-代回。

問題2：若此函數圖像與y=x-3交于A、B兩點，求△ABC的面積

師：同學們思考一下，這一問該怎么做？

生：（舉手）作點C在x軸的垂線交直線于N，S△ABC=S△CAN+S△CBN（水平寬，鉛垂高）

師：方法很好，還有另外一種做法，割補法。從C點往y軸做垂線交于P，得到直角梯形OBCP，S△ABC等于直角梯形面積減去兩個直角三角形的面積。兩種方法都可以。

（1）過程分析

《課標》中指出：發展學生的數據分析觀念，要了解對于同樣的數據可以多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。在第一問求解析式的問題中，執教者把本節課的重難點融合成了一個表格，用表格的形式呈現出函數的特點，一表多用，使復雜問題簡單化。學生通過對表格數據的觀察分析，用不同的方法解決問題，此設計能夠鍛煉學生的觀察能力、分析和解決問題的能力，同時也能讓學生感受數學中一題多解的妙處。第二個問題的設置能夠考查學生對知識的綜合應用能力。

（2）意見及建議

首先，第二個學生用交點式解決問題時，由于教材上并未出現交點式的具體教學，這屬于課堂的生成性資源，教師可以以此為節點，追問學生是如何想到此方法，并對全班進行規范性講解，這既能給學生展現機會，提升其數學自信，又符合《課標》中教學面向全體學生的要求。其次，在處理第二個問題時，教師大可把機會充分留給學生，讓學生思考回答不同的方法，效果或許會更佳。

（四）有始有終，讓問題貫穿課堂教學

師：請同學們回顧一下，本節課我們學到了什么？

生：可以根據實際情況，用一般式、頂點式和交點式確定解析式。

師：課堂最后，留一個問題給大家思考：若P為AB（二次函數圖像）上的動點，當S△PAB面積的最大時，P點的坐標為多少？

分析：讓學生進行課堂小結是鞏固課堂所學知識加深學生對知識印象的很好的辦法，同時也能鍛煉學生的語言表達能力以及總結能力。一節好課的開始是問題，結尾也應當留下若干問題[2]。在課堂最后，執教者給學生留下具有一定難度的數學問題，不僅能夠加強學生自主學習的意識，也能夠讓不同水平的學生得到不同的發展，這也符合《課標》理念中要求教師要因材施教的要求。

三、結束語

二次函數是中考中的重要題型，學生只有學會從題干中提取關鍵信息確定二次函數的解析式，才能夠繼續探究其特征和性質進行解題，在本節課中，執教者突破教材的束縛，進行了一節充滿創新與活力的課堂，當然，在本節課的教學環節中也有值得商榷的地方，這需要每一個教師結合自身情況以及學生情況情況進行參考與反思。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]化劼.問題引領促思考，追根溯源話正切[J].中學數學教學參考，2019（29）：15-16.

注：本文是合肥師范學院研究生創新基金：“HPM視角下極限教學設計研究院”的研究成果之一（項目編號2020yjs036）