函數概念的發展簡史

劉佳華

一、函數概念的萌芽時期

函數思想是隨著人們開始運用數學知識研究事物的運動變化情況而出現的，16世紀，由于實踐的需要，自然科學界開始轉向對運動的量進行研究，各種變化著的物理量之間的關系也就成為數學家們關注的對象。

17世紀意大利數學家、科學家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究這方面的科學家，伽俐略在《兩門新科學》一書中多處使用比例關系和文字表述了量與量之間的依賴關系，例如，從靜止狀態自由下落的物體所經過的距離與所用時間的平方成正比，這實際上就運用了函數思想，與此同時，英國著名的物理學家、數學家、天文學家牛頓（Newton，1642-1727）在對微積分的討論中，使用了“流量”一詞來表示變量間的關系，1673年，法國數學家笛卡爾（Descartes，1596-1650）在研究曲線問題時，發現了量的變化及量與量之間的依賴關系，引進了變量思想，并在他的《幾何學》一書中指出：所謂變量是指“不知的和未定的量”，這成為數學發展的里程碑，也為函數概念的產生奠定了基礎。

直到17世紀后期，在德國數學家萊布尼茲（Leib-niz，1646-1716）、牛頓建立微積分學時，還沒有人明確函數的一般意義，大部分的函數是被當作研究曲線的工具，最早把“函數”（function）一詞用作數學術語的是萊布尼茲，當時，萊布尼茲用“函數”（function）一詞表示冪，后來又用函數表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量，例如曲線上的點的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等，從這個定義，我們可以看出，萊布尼茲利用幾何概念，在幾何的范圍內揭示了某些量之間的依存關系。

二、函數概念的初步形成

18世紀微積分的發展促進了函數概念“解析定義”的發展，瑞士著名數學家約翰·貝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究積分計算問題時提出，積分工作的目的是在給定變量的微分中，找出變量本身之間的關系，而要用萊布尼茲定義的函數表示出變量本身之間的關系是很困難的，于是，1718年貝努利從解析的角度，把函數定義為：變量的函數就是由某個變量及任意一個常數結合而成的量，其意思是凡變量x和常量構成的式子都叫作x的函數，并且貝努利強調，函數要用公式來表示才行。

18世紀，瑞士數學家歐拉在他的《無窮小分析引論》中進一步推廣了約翰·貝努利的定義：一個變量的函數是由變量和一些數或常量以任何一種方式構造的解析式，并且早在1734年歐拉就已經用f（x）表示函數，這個函數符號至今仍在沿用，1755年，歐拉又在他的《微積分原理》的序言中把函數定義為：如果某些變量以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數，歐拉的這個定義，已經不強調函數要用公式來表示了，他曾把畫在坐標系上的曲線也叫函數，他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線，”歐拉用“解析表達式”代替了約翰的“任意形式”，明確地表達了變量之間相互依賴的變化關系，顯然，此時數學家們對函數概念的認識前進了一大步，但是，當時有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，有些數學家甚至抱著懷疑的態度，因此他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”。

三、函數概念的確立

1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學教材中的函數定義：在某些變數間存在著一定的關系，給定其中某一變數的值，其它變數的值也可以隨之確定時，則將最初的變數叫作自變量，其它各變數叫作函數，柯西在函數定義中引入了“自變量”一詞，顯然，這個函數定義比以往的定義要廣泛的多。

1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基（Lobachevskv，1792-1856）給出了函數的新定義：x的函數是這樣一個數，它對于每一個x都有確定的值并且隨著x一起變化，他認為，“函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法，函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的，”這個定義指出了對應關系的必要性，利用這個關系，我們可以求出每一個的對應值。

后來，德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）也注意到，函數不是“自變”所引起的因變，應該是變量之間的“對應”關系，他拓寬了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數，”這個定義不再注重描述函數中的依賴關系，而是通過x與y之間的關系來確定函數自變量與變量之間關系，人們可以借助這個表述清晰地掌握函數的定義，所以它被所有數學家接受，成為傳統函數定義的原型。

四、函數概念的再次發展

19世紀末20世紀初，把函數看作一種對應或者映射的思想已經成形，如果說前兩個世紀的人們把注意力更多地投放在函數的解析式上，那么20世紀的數學家開始關注自變量的取值范圍，這不僅僅是因為實際問題給數學提出了新的課題，更主要的是德國數學家康托爾（cantor，1845-1918）開創了一個全新的數學分支——集合論，集合論的思想與方法很快就滲透到了數學的各個領域。

之后，美國數學家維布倫（veblen，1880-1960）用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的限制，他認為變量可以是數，也可以是其它對象，1914年豪斯道夫（F，Hausdorff）在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數，避開了意義不明確的“變量”“對應”概念，波蘭數學家庫拉托夫斯基（Kuratowski，1896-1980）于1921年用集合概念來定義“序偶”，使豪斯道夫的定義更嚴謹了，用集合的語言重新敘述函數的定義，成了進一步嚴格函數概念的最好途徑，1930年新的現代函數被定義為：在變量的集合與另一個變量的集合之間，如果存在著對于x的每一個值，有確定的值y與之對應這樣的關系，那么，變量y就叫作變量x的函數，這個函數概念就是現在高中課本所采用的了。

“函數”一詞是轉譯詞，是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”的。

后來，數學家們在此基礎上將函數定義細分，給出了更多的函數定義，如單射函數、滿射函數、雙射函數，

單射函數：將不同的變量映射到不同的值，即若x和y屬于定義域，則僅當x不等于y時有f（x）不等于f（y）。

滿射函數：其值域即為其對映域，即對映射廠的對映域中之任意y，都存在至少一個x滿足f（x）=y。

雙射函數：既是單射的又是滿射的，也叫一一對應函數，雙射函數經常被用于表明集合x和y是等勢的，即有一樣的基數，如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應，則說這兩個集合等勢。

我們從函數概念的演變歷史可以看出，函數概念是人們在對客觀世界深入了解的過程中得到的，當然，現在我們能得到比較完善、嚴密的函數概念，主要歸功于歷代數學家們的精心研究以及為此付出的努力。