南宋數(shù)學(xué)家秦九韶

李紹嚴(yán)

秦九韶，字道古，普州安岳（今四川安岳）人，于南宋嘉泰二年（1202年）出生，景定二年（1261年）在梅州（今廣東梅縣）去世。

秦九韶自幼生活在家鄉(xiāng)，18歲時(shí)曾“在鄉(xiāng)里為義兵首”，后隨父親移居京部，秦九韶非常聰明，而且好學(xué)，其父任職工部郎中和秘書(shū)少監(jiān)期間，掌管營(yíng)建、圖書(shū)，使得秦九韶有機(jī)會(huì)閱讀大量的典籍，并得以拜訪當(dāng)時(shí)天文歷法和建筑等方面的專家，請(qǐng)教有關(guān)天文歷法和土木工程方面的問(wèn)題，秦九韶學(xué)識(shí)淵博、多才多藝，當(dāng)時(shí)有人評(píng)價(jià)他“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)，以至營(yíng)造等事，無(wú)不精究”，“游戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知，”

淳祐四年（1244年）八月，秦九韶以通直郎出任建康府（今江蘇南京）通判，十一月因母喪離任，回湖州守孝，在此期間，他專心致志地研究數(shù)學(xué)，于淳{;占七年（1247年）九月完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，由于在天文歷法方面頗有研究和成就，秦九韶曾受到皇帝召見(jiàn)，闡述自己的見(jiàn)解，并呈獻(xiàn)了“數(shù)學(xué)大略”（即《數(shù)書(shū)九章》）。

《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)共18卷81題，是秦九韶從他收集的大量資料中精選出來(lái)的較有代表性的問(wèn)題，按用途分為大衍、天時(shí)、田域、測(cè)望、賦役、錢谷、營(yíng)建、軍旅、市易九類：

（1）大衍類，一次同余組的解法，大衍求一術(shù);

（2）天時(shí)類，歷法推算，雨雪量的計(jì)算;

（3）田域類，土地面積;

（4）測(cè)望類，勾股、重差等測(cè)量問(wèn)題;

（5）賦役類，田賦、戶稅;

（6）錢谷類，征購(gòu)米糧及倉(cāng)儲(chǔ)容積;

（7）營(yíng)建類，建筑工程;

（8）軍旅類，兵營(yíng)布置和軍需供應(yīng);

（9）市易類，商品交易和利息計(jì)算，

該書(shū)內(nèi)容十分豐富，上至天文、星象、歷律、測(cè)候，下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，以及各種幾何圖形和體積，還包括錢谷、賦役、市場(chǎng)、牙厘的計(jì)算和互易，許多計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)直到現(xiàn)在仍有很高的參考價(jià)值和實(shí)踐意義，被譽(yù)為“算中寶典”，該書(shū)的著述方式大多由“問(wèn)曰”“答曰”“術(shù)曰”“草曰”四部分組成，“問(wèn)曰”是指從實(shí)際生活中提出問(wèn)題;“答曰”是指給出答案;“術(shù)曰”表示闡述解題原理與步驟;“草曰”表示給出詳細(xì)的解題過(guò)程。

《數(shù)書(shū)九章》已是國(guó)內(nèi)外公認(rèn)的一部世界數(shù)學(xué)名著，此書(shū)不僅代表了當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的先進(jìn)水平，也代表了中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)的最高水平，我國(guó)數(shù)學(xué)史家梁宗巨評(píng)價(jià)道：“秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）是一部劃時(shí)代的巨著，內(nèi)容豐富、精湛絕倫?！?/p>

秦九韶在數(shù)學(xué)上的主要成就是系統(tǒng)地總結(jié)和發(fā)展了高次方程數(shù)值解法和一次同余組解法，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”和“大衍求一術(shù)”，達(dá)到了當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的最高水平。

一、大衍術(shù)

大衍術(shù)又稱大衍法，實(shí)際是一套求解一次同余式組的完整程序。

（7）把“方”向右移一位，“上廉”移二位，“下廉”移三位，“隅”移四位，以“負(fù)方”除“正實(shí)”，算得十位上的商為4.如圖5（7）。

（8）以十位上的商4乘“益隅”，并入“下廉”得-3240000.以4乘“下廉”，并入“上廉”得-320640000.以4乘“上廉”，并入“方”得955 1360000.以4乘“方”，與“正實(shí)”相互抵消，即得方程的一個(gè)正根840.如圖5（8）。

由以上運(yùn)算，我們可以看出，秦九韶法的基本特點(diǎn)是隨乘隨加，具有很強(qiáng)的機(jī)械性，這套方法可以毫無(wú)困難地轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序，在上例中，若得出商的第二個(gè)數(shù)字后，實(shí)未除盡，便可用同樣的程序求出商的第三個(gè)數(shù)字，依此類推，若方程的根是無(wú)理數(shù)，可用此程序求出根的任意精度的近似值。

所以說(shuō)，秦九韶完滿地解決了求高次方程正根的問(wèn)題，不過(guò)，他沒(méi)有考慮一個(gè)方程的根是否會(huì)多于一個(gè)，1819年，英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納（W，G，Homer，1786年一1837年）在不了解秦九韶法的情況下，獨(dú)立提出相同的方法，后被稱為“霍納法”，在西方廣泛流傳。

縱觀《數(shù)書(shū)九章》中的例子，可以看出，該書(shū)明顯受到《九章算術(shù)》的影響，仍然采用問(wèn)題集的形式，但在談解題方法之前，多附有“草”，即表明演算步驟的算草圖式。

在《數(shù)書(shū)九章》中，除了前面提到的大衍求一術(shù)和正負(fù)開(kāi)方術(shù)兩項(xiàng)重要成就外，秦九韶還記載了不少其他方面的知識(shí)和結(jié)論，例如，他改進(jìn)了線性方程組的解法，普遍應(yīng)用互乘相消法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的直除法，已同今天所用的方法完全一致;在開(kāi)方問(wèn)題上，他發(fā)展了劉徽開(kāi)方不盡求微數(shù)的思想，最早使用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理根的近似值;對(duì)于《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》中的勾股測(cè)量術(shù)，他也作了很多研究;在幾何方面，他還取得了另一項(xiàng)杰出成果：“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊之長(zhǎng)求其面積的公式，秦九韶的公式相當(dāng)于古希臘著名的海倫公式。

在《數(shù)書(shū)九章》中，秦九韶通過(guò)大量例題，如“古歷會(huì)積”“治歷演紀(jì)”“積尺尋源”“推計(jì)土功”“程行計(jì)地”等，展示了大衍求一術(shù)在解決歷法、工程、賦役和軍旅等實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，由于在許多問(wèn)題中，模數(shù)并非兩兩互素，而中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒(méi)有素?cái)?shù)概念，所以將模數(shù)化為兩兩互素是相當(dāng)困難的問(wèn)題，秦九韶所設(shè)計(jì)的將模數(shù)比為兩兩互素的算法，盡管還不完善，但仍比較成功地解決了這一難題，有人稱之為“沒(méi)有素?cái)?shù)的素?cái)?shù)論”。

秦九韶的哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想顯然與宋代儒學(xué)中的道學(xué)學(xué)派一致，他明確指出“數(shù)與道非二本也”，秦九韶在數(shù)學(xué)實(shí)踐上的切身體會(huì)，使他對(duì)于數(shù)學(xué)的重要性有較為深刻的認(rèn)識(shí)，他說(shuō)，數(shù)學(xué)研究“大則可以通神明，順性命;小則可以經(jīng)世務(wù)，類萬(wàn)物，詎容以淺近窺哉！”他認(rèn)識(shí)到“所謂通神明，順性命，固膚末于見(jiàn)”，于是他將自己的才智專注于研究天文歷法、生產(chǎn)、生活、商業(yè)貿(mào)易以及軍事活動(dòng)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，“設(shè)為問(wèn)答，以擬于用”，盡力滿足社會(huì)實(shí)踐的需要，并告誡人們要學(xué)好數(shù)學(xué)，精于計(jì)算，以避免由于計(jì)算錯(cuò)誤而引起“財(cái)蠹力傷”等不良后果。

秦九韶是一位既重視理論又重視實(shí)踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的數(shù)學(xué)家，他所提出的大衍求一術(shù)和正負(fù)開(kāi)方術(shù)及其名著《數(shù)書(shū)九章》，是中國(guó)數(shù)學(xué)史上光彩奪目的一頁(yè)，對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響。