解答排列組合問題的常用技巧

蘇頻頻

排列組合是高考數學必考的知識點，排列組合問題的難度一般不大，但解法較多，容易出錯，因此，我們必須熟練掌握一些解答排列組合問題的思路和方法，本文選取四種常用方法，結合例題予以說明。

一、捆綁法

捆綁法是解答排列組合問題的一種常用方法，主要用于解決相鄰問題，捆綁法的應用步驟是，首先將相鄰元素看作一個整體或者一個新的元素，將其與其它元素一起排列，然后再排列相鄰的幾個元素的順序，最后運用乘法計數原理得出最終結果。

例1.在體育課上，教師要求5名學生排成一列，求A、B、C3名學生必須相鄰的排列總數。

解析：由于A、B、c3名學生要求相鄰，所以我們可以運用捆綁法，將3人看作一個整體，與剩下的2名學生一起排列，有A3種排列方法;

然后再將A、B、C3人進行全排列，有A：種排列方法：

由乘法計數原理可得，排列總數為A3A3=36種排列方法。

當題干中出現一些“特定”的詞語時，如“相鄰站位”“相連”“連續”等，我們就要想到運用捆綁法來解題。

二、插空法

插空法適用于不相鄰問題，在運用插空法解答排列組合問題時，我們要注意找出要求不相鄰和允許相鄰的元素，將允許相鄰的元素先排列，然后找出排列好的元素之間的空隙，將要求不相鄰元素插入空隙中，再由乘法計數原理得出答案。

例2.在某一節音樂課上，教師要求學生表演才藝，其中有3個女生和5個男生，要求女生不能連續表演，而且不可以第一個表演，那么，學生的表演順序有幾種？

解析：由于3個女生要求不相鄰，所以我們需要運用插空法來解題，首先將沒有要求的5個男生的表演順序排好，有A5種排列方法;

然后將3個女生插入由5個男生構成的4個空隙中，則有A4種排列方法;

由乘法計數原理得，所有同學的表演順序總共有A5A4=2880種不同的排法，

在解答本題的過程中，我們首先要考慮女生的特殊要求：女生不能連續表演、女生不可以第一個表演，然后將沒有要求的男生排好，找出其中的空隙，將女生“插入空隙”中，最后得出總的排列數。

三、間接法

間接法是一種正難則反、等價轉化的方法，常用于反面情況較少的問題，在利用間接法解答排列組合問題的時候，我們首先要分析在沒有任何要求時的排列情況，然后再討論題目要求的反面情況，將二者相減即可得出問題的答案。

例3求正方體的8個頂點可以構建出多少個四面體？

解析：首先，從8個頂點中任意選擇4個頂點，總共有C8種情況，

然后考慮四點共面的情況，共12種情況，

所以，這8個頂點總共可以構建C8-12=58個四面體，

本題若從正面思考，需要考慮的情況較多，利用間接法解題則需要考慮的情況較少，這種方法明顯簡便很多。

四、隔板法

隔板法是指在n個元素中插入m個“隔板”，將這n個元素分成m+1組，最后進行全排列的方法，應用隔板法解答排列組合問題，必須滿足3個條件：第一，這n個元素必須互不相同;第二，所分成的每一組至少含有1個元素;第三，所分成的組必須彼此相異。

例4.把8個相同的球放入4個不同的盒子，有多少種不同放法？

解析：首先將8個相同的球排成一排，取3塊完全相同的隔板將其隔開，這樣三塊隔板加8個球就有11個位置，從中選取3個位置，那么有C11種放法，

所以把8個相同的球放入4個不同的盒子，共有C11=165種不同放法。

本題中要求放入4個不同的盒子，那么我們就需要找3個隔板將8個小球分成4份，每一份最少有一個小球，然后再進行組合，在運用隔板法解題時，同學們要注意仔細思考需要放入隔板的個數，只有找對放入隔板的數量，問題才能正確獲解。

上面介紹的幾種方法均是解答排列組合問題的常用方法，其中每一種方法的應用條件和解題思路均不相同，同學們要注意結合實例進行分析、歸納，熟練掌握每一種方法的應用技巧。

（作者單位：江蘇省海門市四甲中學）