解答排列組合問題的常見技巧

呂相紅

排列組合是高中數學中的重點內容，具有較強的抽象性和靈活性，很多同學在解答排列組合題時經常會得出各種錯誤的答案，針對這種情況，筆者對排列組合問題的常見解題技巧進行了總結，以供大家參考。

一、位置優先法

位置優先法也稱為特殊元素法，是優先考慮有特殊要求的元素或者位置的方法，該方法主要適用于對某些元素有特殊要求的排列組合問題，在運用位置優先法解題時，我們首先要明確有特殊要求的元素或者位置，將其優先排列，然后再處理其他沒有要求的元素。

例1.由0-5個數字組成沒有重復字數的五位數，且這個五位數為奇數，那么一共有多少個這樣的數字？

解析：該五位數為奇數，對數字的首位數與個位數有特殊要求，我們需要運用位置優先法來解題，它的個位數必須為奇數，只能為1.3.5.有三種選擇;而首位數不能夠為0.只能取1.2.3.4.5.有5種選擇，然后我們再處理剩余的元素。

解：如圖1.首先，對個位數字進行排列，一共有c3種排列;

然后，對首位數字進行排列，一共有c4種排列;

最后，對中間的數字進行排列，一共有A4種排列;

由分步計數原理可得C4C3C4=288種排列，即一共有288個這樣的數字。

二、窮舉法

窮舉法主要就是結合具體的解題需求，將研究對象一一羅列出來，之后逐一對其進行分析、加工，判斷其結果是否滿足題設條件，該方適用于較為復雜的排列組合問題。

例2.現有編號為1-5的5個小球，若將這5個球投入到1.2.3.4.5的5個小盒子中，要求每個盒子中有且只有1個球，則恰好有兩個盒子的編號與投入小球編號相同的投放方法多少種？

解析：若從5個小球中選擇兩個，將其與編號相對應的盒子放在一起，則一共有c5種方法，然后將剩余的3個小球放入剩余的三個盒子中，且使小球的編號與盒子的編號不同，如圖2.當3號小球投入到4號盒子時，剩余兩個小球有且僅有一種放置方法，同理將3號小球放入到5號盒子中，剩余兩個小球有且只有一種放置方法，則共有2C5=20種投放方法。

三、先選后排法

先選后排法一般用于較為復雜的排列組合混合問題，在解題時，我們需要認真審題，分析其中的元素，先選定需要排列的對象，之后再對其進行排列，解題會用到分步計數原理和分類計數原理。

例3.某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有__種。

解析：本題需要分兩種情況：

（1）在一個城市投資2個項目，在另一城市投資1個項目，將項目分成2個與1個，有c33種;在4個城市當中，選擇2個城市作為投資對象，有A4=12種，這種情況共有3×12=36種。

（2）有三個城市各獲得一個投資的項目，獲得投資項目的城市有c4=4種;安排項目與城市對應，有A3=6種，這種情況共有4x6=24種。

綜上，該外商不同的投資方案共有36+24=60種，

本題主要運用先選后排法解題，我們首先需要選出在4個城市投資的方案，然后再進行排列。

四、求冪法

求冪策略主要適用于重排問題，重排問題是指將n個元素重新排列，且每個元素均不受位置的限制，可以逐一安排位置的問題，一般地，將n個沒有限制的元素安排到m個位置上有m種排列方法，

例4.將7個人分為兩組，第一組3人，第二組4人，則有多少種排法？

解析：本題屬于重排問題，可以分兩步完成，首先，先選a、b、c作為第一組，排列方法為A3種;然后排第二組，第二組有4人，排列方法有A4種，由分步計數原理可得共有A3-A4=5040種方法，

要想成功地解答排列組合問題，同學們需要仔細分析題目的條件，確定問題的類型，然后選擇相應的方法來解題，梳理好解題的思路是解答排列組合問題的關鍵。

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘中學）