七年級的一堂數學課的課堂實錄

葉小娟

教材：北師大版七年級下冊與八年級上冊

上課時間：2019年5月15日

上課班級：金蘋果錦城第一中學七（13）班

課型：新授課

1 教學目標

（1）根據角平分線與對稱軸的關系，探索如何利用尺規畫角平分線。

（2）經歷探索角的性質及判定的過程，進一步理解軸對稱的性質，發展空間觀念。

（3）應用角平分線的性質定理與判定定理解決問題，培養獨立思考的能力，并能在解決問題過程中能規范表達。

教學重點：角平分線的尺規作法，角平分線的性質及判定

教學難點：運用角平分線的性質與判定解決問題

創新點：教學中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學生進行探究

2 教學設計

教師是學習活動的引導者和組織者，學生是課堂的主人。教學中充分運用現代化信息技術，尊重學生的個體差異，鼓勵學生自主探索與合作交流，讓學生經歷知識的形成與應用過程，鼓勵學生的直覺并且運用基本方法進行相關的驗證，指導學生注重數學知識之間的聯系，不斷提高解決問題的能力。

3 教具的選擇和使用目的

多媒體課件及實物展示，通過動畫演示化解知識難點，運用實物展臺，實現現代教育技術既作為教的工具，也作為學的工具。

4 教學過程

老師：我們剛剛學了垂直平分線的性質與判定，利用垂直平分線的性質探索出了一種新的證明線段相等的方法。這節課我們將繼續來研究角平分線的性質及判定。它將會給大家帶來證明角等或線段等的另一種新思路。

首先我們來認識角：第1個問題，角是軸對稱圖形，那么它的對稱軸在哪里？

生1：角平分線所在的直線

老師：非常好，表述的非常清晰！第2個問題，那么我們有哪些方法可以得到角平分線呢？

生2：讓兩個角相等

老師：怎樣讓兩個角相等呢？

生2：利用量角器去量

老師：還有沒有其他方法？

生3：可以將角的兩條邊重合，并對折。

老師：很好，你們手上都有一個畫好的角，請同學們動手試試，怎樣折出角的平分線。

（老師在教室巡視，掌握學生及時情況）

老師：對折的本質是什么？

學生4：軸對稱圖形的性質

老師：在生活當中，工人師傅常常需要用到角平分線。他們會制作一個簡易的角平分儀。（展示簡易的角平分儀）我們來觀察這兩個模型：藍色這兩條線段是相等的，綠色的兩條線段也是相等的。那么我們怎么用它來畫角平分線呢？請大家看我操作。比如說我要作∠AOB的角平分線。首先使這個藍色的角的頂點與∠AOB的頂點重合。然后調整這兩條藍色的邊，使這兩條藍色的邊和∠AOB的兩條邊分別重合。接著連接這兩個點，所成的射線就是∠AOB的平分線。（展示PPT圖片）請同學們思考，這樣做的原理是什么呢？好，請這位同學起來說一下。

生5：ON=OM，CN=CM，OC是公共邊。所以這兩個三角形是全等的。

老師：利用邊邊邊構造全等三角形，再由全等三角形的性質可以得到哪兩個角的呢？

生6：∠NOC和∠MOC

老師：同學們，能否通過這個模型的啟發，思考出怎樣用尺規來作∠AOB平分線？

（老師巡視，對有困難的同學進行指導）

老師：現在請會畫的同學來跟大家分享怎么用尺規作角平分線？

生7：以O為圓心，任意長為半徑畫弧。接著分別以M、N為圓心，任意長為半徑，畫弧，兩弧會交于一點C，連接OC。

老師：好，OC即為∠AOB的平分線，我們再把做法展示給大家看一下，那就有一個問題，為什么以M和N為圓心的時候，取半徑要取大于1/2的MN呢？

生8：如果取比MV的一半小的話，那么這兩段弧是沒有交點的。

老師：非常好！我們在前面學習角平分線就知道角平分線平分角的性質，那么角平分線上點會有怎樣的性質呢？（展示PPT）已知OC是∠AOB的角平分線，在OC上取一點P分別向OA和OB邊作垂線段，那么這兩條垂線段有怎樣的數量關系？

生9：相等

老師：怎么證明這個結論呢？

生10：因為∠1=∠2，∠PDO=∠PEO，且OP等于OP公共邊，所以利用AAS證明三角形全等。由全等三角形的性質就可以推出PD=PE。

老師：通過證明，我們就得到了角平分線的性質定理。請同學們把這個定理在學案上勾畫起來，并且分析一下，在這個定理里面哪些是已知的條件。

（老師板書，學生勾劃）

老師：我請一個同學起來分析已知條件有哪些？

生11：第1個條件角平分線;第2個條件是角平分線上的點到這個角兩邊的距離。

老師：就是過這個點作角兩邊的垂線段。結論是什么？

生11：這兩條垂線段相等

老師：很好！接著我們結合幾何圖形來寫出它的符號語言。

生12：∵? OP是∠AOB的平分線

∴ PD=PE

老師：那如果我把點D換一個位置，那么PD=PE嗎？

生12：哦，還要加上PD ⊥OA，PE ⊥OB。

老師：所以必須要強調，這兩條線段是垂線段，才會相等。（老師板書完成）這個定理里面的已知條件有幾個？

生13：2個

老師：你們理解到平分線的性質來嗎？（展示3個練習）

老師：第1小題如圖，∵如圖，PE⊥OA，PF⊥OB（已知），∴PF=PE.

生14：錯，因為沒有強調OP是∠AOB的平分線

老師：第2題∵ 如圖，OP平分∠AOB（已知）∴ PF = PE .

生15：錯，因為強調它們是垂線段，所以不能得到它們相等。

老師：第3題。∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PE=3cm（已知）∴點P到OB的距離等于3cm

生16：錯

老師：為什么錯？錯在哪里？

生16：哦，對的。

老師：圖中有沒有點P到AB的距離？

生16：沒有

老師：沒有，又想用角平分線的性質怎么辦？

生17：添加角平分線

老師：非常好！接下來我們來看怎么應用角平分線的性質。

（學生思考，老師示范板書）

老師：好，先回答，DE與DC的關系

生18：相等，

老師：好，理由。

學生18：因為BD平分角ABC，且DE垂直BA，DC垂直于BC，所以CD就等于CE。

老師：如果我把這道題改一下，把DE去掉。請思考這個題又該怎樣做？（老師板書）

生18：因為AC=8，AD=5。所以DC=3.過D點作AB邊的高DE

老師：為什么想到這樣添加輔助線？

生18：因為已知角平分，要用角平分線的性質，就應該添加這條垂線段。

生19：因為求三角形的面積，也需要作AB邊的高。

老師：由角平分線性質可以得到DE=DC，因為DC=3，所以DE=3，AB=10，所以面積是？

生19：15

老師：做對的舉手。

（及時了解學生對知識的掌握情況）

老師：通過這個題，我們發現遇到角平分線，要用角平分線的性質，就應該想到構造垂線段。那么接下來請同學們把變式2完成。

（學生獨立完成，老師巡視，個別輔導，并用平板展示學生完成的情況）

老師：好了，請同學們停下來，我們來看一下這位同學完成的情況。我們看第1排，他想到了作垂線段，書寫可以改進一下：過點P作PT垂直于BC于點T。因為CP平分∠DCB，然后是PT垂直AC，PD垂直于CD。角平分線的性質能得到兩組線段相等嗎？

學生20：能

老師：那你說一下怎么得到？

學生20：好像不對！TC和CD不是角平分線上的點到角兩邊的距離

老師：觀察得非常仔細！

老師：那么它們相等嗎？

學生：相等

老師：不能用角平分線的性質，那用什么來證明呢？

學生：全等

老師：繼續，那后面這兩條線段相等。這已經告訴了垂線段PA垂直于BA，PT垂直于BC。所以PT=PA。然后等量代換，所以PA=PD，而AD=8，所以PA=PD=4。接著PT，是等于它們的，所以也等于4。這個書寫的過程大家下去再去整理一下。通過這兩個練習，我們又獲得添加輔助線的新方法是？

學生：遇到角平分線，添加垂線段

老師：很棒！請記錄在你們的學習單上。反過來，如果在一個角的內部取一點P，過點P向OA、OB邊作垂線段，并且這兩條垂線段相等，那么，這樣的點p有多少個？它們有怎樣的一個共同點呢？

學生：有無數個，在角平分線上

老師：我們用一個數學實驗來探索。

（利用幾何畫板展示動畫效果）

學生：只要始終保證這兩條垂線段PE和PD相等，這樣的點P有無數個，而且他們都在這個∠AOB的平分線上。

老師：能否用更簡潔的語言來描述這一現象

學生：到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上

老師：怎么來證明這個結論呢？

學生：利用HL可以證得這兩個直角三角形全等的，所以由全等三角形的性質可得∠1=∠2，所以OP就是∠AOB的平分線。

老師：通過大家的努力，我們得到了角平分線的判定，請大家在學案上勾畫，并分析有哪些已知條件。

學生：這里面一個是距離，一個是距離相等

老師：那么這兩個條件能推出什么結論呢？

學生：能推出它是角平分線

老師：那我們用符號語言怎么來表述這個結論呢？

學生：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB 且PD=PE

∴OP是∠AOB的平分線

老師：判定的本質是證明角等，性質的本質是證明線段等。但它們的已知條件中有一個共同條件？

學生：垂線段。

老師：我們來看到這個手拉手模型（展示PPT）：可以得到一個基本的結論？

學生;三角形ABC全等于三角形DBE。

老師：如果我們把OB連接，那請問OB平分角AOE嗎？

學生：平分

老師：那我們怎么去證明它呢？

學生：過點B作AC邊的垂線段BG。然后再過點B作DE邊的垂線段BP。而因為三角形ABC全等于三角形DBE。所以由全等三角形對應邊上的高相等。然后呢，他們又是垂線段。然后因為OB=OB所以用HL可以證三角形全等。

老師：很好，用全等的性質證明到角等。誰能把這個方法再優化一下？

學生：BG垂直于OA，BP垂直于OB。且BG=BP。所以說OB平分角AOE。

老師：非常好！這個其實就是可以直接利用角平分線的判定，由垂線段相等就可以推出角等的。這樣做就繞開了全等的思路，顯得更簡潔！這個題有告訴我們添加輔助線的方法？

生：遇到角平分線的問題，添加垂線段。

老師：請同學們做好筆記。我們在前面學習三角形的時候就知道三角形的角平分線會交于一點。為什么呢？現在我們就可以利用這節課所學的知識來解答它。

（分組討論，老師巡視，個別指導）

老師：我請一個同學來說說怎么解決這個問題。好，你來。

學生：證明點F在角A的平分線上，由兩點確定一條直線，我們應該想到連接AF，本質就是證明AF平分角BAC。這樣就容易聯想到我們這節課學習的角平分線判定。轉化為證明垂線段相等。然后繼續添加輔助線過點F作FG垂直AB。FH垂直于BC，FP垂直于AC。

（學生說，老師板書）

學生：因為BD平分角ABC，然后FG垂直于BA，FH垂直于BC，所以FG=FP，

老師：這個用到的是什么結論？

學生：角平分線的性質，

老師：繼續，

學生：又因為CE平分角ACB，FG垂直于BC，FP垂直于AC，FP=FG。所以FH=FG然后又因為FH垂直AB，FP垂直于AC。所以可以推出AF平分角BAC。

老師：很棒！現在，我們更有底氣地說三角形的三條角平分線是交于一點！而這一點叫做三角形的內心，而這個內心到三角形三條邊的距離是相等的。

師生合作：

收獲：這一節課我們學到的內容有哪些？這些內容都用到了以前的什么知識推導？角平分線的性質及判定的本質是什么？添加輔助線的方法是什么？

體會：數學來源于生活，集體的力量是無窮的……

老師：今天的作業，第1個是完善你們的學案，然后留下了這個思考題下去獨立思考，第2個是完成優化的106和108頁。

今天的課就到這里，下課。

（作者單位：四川省成都市金蘋果錦城第一中學）