從費馬大定理到卡塔蘭猜想

胡作玄

1.解的存在性問題。對于大多數問題，首先必須判定不定方程有沒有解，因為如果沒有解或只有平凡解，盲目去找是白費工夫。一般來說，總是要先試試是否能找到幾個解，如果能找到，心里就有底可以繼續往下進行。現在有了計算機的幫助，做這件事就比以前快多了。要是左找右找找不到，也許就要考慮證明沒有解或者只有平凡解了。不過，這也絕不是一件容易的事。

2.解的數目。在肯定不定方程有解后，就要知道解有多少。這一般有3種情形：

①只有平凡解;

②只有有限多非平凡解;

③有無窮多非平凡解。

當證明只有平凡解之后，問題回到第一個步驟。

3.解的大小。當知道不定方程存在非平凡解之后，就必須判定解是有限多還是無窮多，這時就要看有沒有辦法確定解的大小。如果所有解有一個上界，那么可以肯定解是有限多個。有時，我們不能一下子證明沒有解或者只有平凡解，可以通過解的大小證明解的個數有限，這是我們證明過程中的重要一步。費馬大定理的證明曾有過這一步，雖然最后的證明并不依靠這個結果，但對于這里要講的卡塔蘭猜想的證明，這卻是關鍵的一步。

4.解的完全組。如果有解的話，列出所有的解或得出所有解的表示公式，就表示對某個不定方程實現了徹底的求解，就像勾股方程一樣。但是，除了最簡單的不定方程之外，能達到這一步的不定方程真是少之又少。現已知達到如此功德圓滿的不定方程，除了勾股方程之外，還有一次不定方程，如ax+by=c，其中a、b、c互素。還有一個佩爾（Pell）方程x-Dy=1.

二、許多高次方程仍是數學家未來研究的課題

由于不定方程數目眾多，兩三千年來我們已經得到了許多有效的解決方法，主要分成四大類：

1.初等方法。主要是運用初等代數和初等數論的方法。直到19世紀中葉，這都是研究不定方程最主要的方法。費馬大定理的特殊情形就是借助初等方法，卡塔蘭猜想的特殊情形也是如此。

2.代數方法及代數數論方法。我們對費馬大定理的研究導致了代數數論的發展，代數數論反過來又推動了對不定方程的研究。同時，代數數論引起了20世紀抽象代數的發展，產生了對解不定方程至關重要的局部一整體原理。

3.丟番圖逼近法。這個方法起源于用有理數逼近無理數的研究，并在20世紀產生了一系列對不定方程解的有限性的證明，特別是卡塔蘭猜想。

4.丟番圖幾何方法。這是最先進的方法，威爾斯就是用這個方法徹底證明了費馬大定理。

三、卡塔蘭猜想

現在來看卡塔蘭猜想。其實，它考慮的是所有整數的二次冪、三次冪乃至高次冪之間的差距。我們來看一組具體的數值：

當n=2，3，4，5，6，…時，

n=4，9，16，25，36，…

n=8，27，64，125，216，…

n=16，81，256，625，1296，…

n=32，243，1024，3125，7776，…

n=64，729，4096，15625，46656，…

n=128，2187，16384，78125，279936，…

我們按大小順序把這些方冪排在一起得到：

4，8.9，16.25，27.36，49，64，81，100，…

顯然，除了8、9之間的差距為1之外，再沒有差距為1的了。事實上，1000000以下也沒有，由此可能要考慮一般情形的證明了。

通常，碰到4個未知數的不定方程，往往要先看一下能否化簡。卡塔蘭方程恰好可以。因為從上面的數列可以看出，如果n的指數是復合數（除1與它自身外，還能被別的正整數除盡，這種數叫做復合數），則該數列中的數一定出現在n的指數為素數的數列之中。實際上，如果p是u的一個素因子（一個整數如果能被一個素數所整除，這個素數就叫做這個整數的素因子），如u=pk，則n=n=n=（n）。

2.由ABC猜想可推出莫德爾猜想。莫德爾猜想是丟番圖幾何中的重要猜想，即虧格（genus）大于1的代數曲線上，坐標為有理數的點只有有限多。假定有一個二元方程，我們考慮所有滿足方程的復數x、y。這些解對應了一個幾何曲面，拓撲學家把這些曲面上的洞（hole）或者把柄（handle）數稱為曲線的虧格數，以此來刻畫曲線。虧格等于1的叫橢圓，虧格等于0的叫拋物線。這個極難的猜想在1983年被德國數學家法爾廷斯（G。Faltings，1954年一）所證明，因此，他榮獲了1986年的菲爾茲獎。

3.由ABC猜想可以推導出只有有限多梅森數是方冪，以及只有有限多費馬數是方冪。

4.由ABC猜想可以推導出只有有限多斐波納契數是方冪，同樣，是盧卡斯數的方冪也是有限多。

此外，由ABC猜想還可推導出許許多多猜想來，因此，證明（或反證）它是21世紀的一項重大任務。