也談“數學建模”思想在初中數學應用題中的應用

楊小榮 鄧萍

摘要：數學建模在中學數學教學和解題中也有著非常重要的作用，有利于教師和學生將知識歸納總結，做到化零為整，多題一解的效果。初中階段數學建模教學有它的特殊性，在初中階段，學生建模能力的形成是基礎知識基本技能、基本數學方法訓練的一種綜合效果，建模能力的培養主要是打基礎，但是，過分強調基礎會導致基礎與實際應用的分裂。如何把握分寸是一個值得探討的問題，同時也是我們教學的一個難點。

關鍵詞：數學建模;初中數學;能力培養;實際問題

一.數學模型定義

數學模型就是用數學語言和方法對各種實際對象作出抽象或模擬而形成的一種數學結構。廣義上的數學模型就是從現實世界中抽象出來的，是對客觀事物的某些屬性的一個近似反映。狹義上的數學模型就是將具體問題的基本屬性抽象出來成為數學機構的一種近似反映。數學模型有兩種基本功能：統一功能和普適性功能。

二.數學建模思想的基本步驟及意義

數學建模的實質就是應用數學知識將復雜無章的實際問題抽象成符合邏輯的數學關系，然后將所有的數學關系組建成相應的數學模型的過程。數學模型建立的具體流程如下：

（1）合理分析問題。首先要對所需研究的問題進行深入的了解，全面分析問題產生的各方面原因，并且要盡可能多的掌握問題相關的背景資料。（2）假設化簡問題。掌握到問題的研究背景之后就要根據問題的具體特征以及問題的特定目的來對問題進行簡化處理，同時還要用精確的數學語言將最終的數學模型描述出來，這一過程主要實現了將復雜無章的問題抽象成具體的問題。（3）建立數學模型。數學模型是要建立在先前假設的基礎上，通過運用適當的數學工具和數學知識來刻畫變量之間的數量關系，從而得出相應的數學結構。（4）求解驗證模型。在求解數學模型過程中要將其果與實際況進行對比，從來驗證求解結果的有效行和準確性。（5）模型結果分析。模型結果住住夠體現出所建立模型的可性。如果模數

三.數學建模的步驟

（1）模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信。用數學語言來描述問題。（2）模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。（3）模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。（盡量用簡單的數學工具）（4）模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。（5）模型分析：對所得的結果進行數學止的分析。（6）模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，在次重復建模過程。（7）模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。數學建模應用的基本要求。

在初中數學教學中數學建模的應用要結合具體的教學內容來對學生進行訓練，般情下，教師首先需要創設特定的問題情境，然后對相應的問題建立數學模型，最后對可靠模型進行解釋、應用與拓展，學生通過對問題的探討和研究可以實現真正意義上的“做數學”和“用數學”的過程，從而有助于培養學生的數學思維能力。

應用（一）.追擊問題模型在初中數學中的應用

【例1】甲在乙的東面10公里，兩人同時向東而行，甲每小時走5公里，乙應該每小時走幾公里，經過5小時，才能趕上甲？

【例2】時鐘上7點多少分時，時針與分針重合？

這兩個問題看似毫不相關，一個是代數問題一個是幾何問題。但是第二個例題可以看作7點整時，分針落后時針210o，時針以0.5o/分，分針以6o/分同時順時針旋轉，求分針追上時針的時間就是我們所求時間。根據對追擊問題的等量關系的建模：追趕者與被追趕者同時走的路程之差=相距路程，可以建立方程6ot-0.5ot=210o即可求出時間

應用（二）.工程問題模型在初中數學應用題的應用。

工程問題主要涉及獨做與合做問題，這對學生是一大難點。

【例1】一項工程，由甲隊獨做，比規定的多3小時完成，由乙隊單獨做，需比規定日期多12小時才能完成，現由甲、乙兩隊合做8小時后，余下的工程由乙隊單獨做6小時，甲再獨做2小時剛好完成任務，求規定時間。

此題涉及獨做與合做組合完成，學生一時不容易分清題中關系，整體感覺混亂。此類工程問題我們可以把我們自己假想成工程老板，最后對甲、乙進行工資結算。可以建模：甲完成工程量+乙完成工程量=總共完成工程量。設規定時間是小時，則甲、乙獨做分別需要小時和小時，所以甲和乙的工作效率分別是，把甲和乙分別叫到自己面前陳述工作過程，甲“我先和乙合做8小時，離開了幾小時后再返回做兩小時”——即時共做了10小時，同樣乙共做了8+6=14小時，所以可以列方程

應用（三）.在不等式（組）中的應用

在現實世界中，正如相等關系一樣不等關系也是普遍存在的，如在市場經營、生產決策和社會生活中的估計生產數量、核定價格范圍、盈虧平衡分析、投資決策等許多問題中，很難確定（有時也不需要）具體的數值，則可挖掘實際問題所隱含的數量關系，建立不等式（組）模型，進而解決實際問題。

【例1】某市籌備國慶，園林部門決定利用現有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A，B兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側，已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B種造型需甲種花50盆，乙種花卉90盆。某校九年級（1）班課外小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種請你幫助設計出來

【解析】設搭配A種造型x個，則B種造型為（50-x）個，依題意，得

四、用數學模型解決實際問題可以達到以下目的

1.用數學模型解決實際問題便與理論聯系實際。數學教學中，往往忽視運用數學知識解決實際問題的所謂“掐頭去尾燒中斷”的教學方法，使得中學數學脫離現實生活。因此，解題中要注意引導學生聯系日常生活，把日常生活中的一些實際問題用數學來解決。要重視從實際問題中建立數學模型，解決數學問題，從而解決實際問題這個全過程。通過數學模型方法解題，可以把數學與實際問題溝通起來，互相滲透，互相轉化，是數學更生地扎根于實際。

2.用數學模型解決實際問題，能提高學生學習興趣。不少學生感到數學枯燥無味，所以要數數學學習過程中充滿樂趣。數學模型是從實際提煉出來，而后又用之解決問題，可激發學生極大的興趣：學會了主動學習，學會了去素取自己所要學的知識，對數學有了新的認識，學習數學的興更高了，更自覺了。

3.用數學模型解決實際問題，有助于培養學生創造思維。在高分下令人慮的是，中學生應用意識薄弱，動手能力差，雖善于解題，但創造能力差，而運用數學模型解題能起到改善作用。數學模型具有激、求異、探究的特點，使學生思維處于活躍狀態，多角度、多層次的觀察、認識、思考問題，使學生充分發揮自己的想象力和主觀能動性。在初中數學教學中結合教學內容有意識地介紹有關數學知識的實際背景及應用實例是非常必要的它將有助于學生加深對數學的應用特征的理解。

指導教師：陳倫全

參考文獻：

[1]高軍明《數學建模在初中數學中的應用》

[2]劉瑩《數學建模思想在初中數學教學中的應用》。

（成都市中和中學?610041）