證明線線平行的三種常見方法

郭海

線線平行是立體幾何中點、線、面的位置關系之一，證明線線平行是高考中的常見問題.該類型問題的求證思路靈活，方法多樣.本文中，筆者歸納了證明線線平行的幾種常見方法，以供參考.

一、利用向量法證明線線平行

向量具有數(shù)與形的雙重身份，是溝通代數(shù)與幾何的重要橋梁.利用向量法證明立體幾何中的線線平行，可以融“數(shù)”“形”為一體，巧妙地將空間位置關系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系，從而降低求證問題的難度.

例1.如圖1所示，已知ABCDEFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODF都是正三角形.求證： BC∥EF.

分析：已知兩平面垂直，且△OAB、△OAC、△ODF都是正三角形，我們不妨聯(lián)系空間向量，建立空間直角坐標系，利用向量基本定理來求解，則可以使問題迎刃而解.

證明：過點F作FH⊥AD，交AD于點H，連接HE，

由平面ABCD ⊥平面ADFC，可知FH⊥平面ABCD，

點H為坐標原點，以HE所在直線為x軸，HF所在直線為y軸，HD所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，由圖1不難得出E（[3]，0，0） ，F(xiàn)（0，0，[3]），? ? ? ? ? ?B（[32]，-[32]，0），C（0，-[32]，[32]），則[BC]=（-[32]，0，[32]），[EF]=（-[3]，0，[3]），所以2[BC]=[EF]，所以BC∥EF.

向量法是證明線線平行的重要利器.解答本題的突破口在于充分利用已知條件，探求出不重合的兩條直線a，b的方向向量使得[a]=[λ][b]（[λ]為唯一實數(shù)）.

二、借助平行公理證明線線平行

平行公理是指在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行，即a∥c，b∥c，則a∥b，或a∥b，b∥c，則a∥c.平行公理是證明兩條直線平行的基本公理.在證明線線平行問題時，求證的切入點是結(jié)合題意，巧作輔助線，善用題設已知條件，證明兩條直線平行于同一條直線.

仍以例1為例，如圖2所示，延長線段AC、DF交于點K，延長AB、DE交于點G，連結(jié)KG.因為△OAC、△ODF、△ODE都是正三角形，所以△ADK和△ADG均是正三角形，

又因為OA=1，OD=2，所以AD=3，故FK=EG=1，CK=BG=2，

所以[ABBG]=[ACCK]=[12]，[DFFK]=[DEEG]= [21]，從而得到BC∥KG，EF∥KG，最后利用平行公理中“平行于同一條直線的兩條直線平行”這一公理，即可使問題得證.

平行公理是證明線線平行的有效方法之一.同學們要注意靈活遷移和運用立體幾何中的基本公理.

三、利用線面垂直性質(zhì)定理證明線線平行

垂直于同一平面的兩條直線互相平行.這是直線與平面垂直的性質(zhì)定理.它揭示直線“垂直”“平行”的內(nèi)在聯(lián)系.利用線面垂直性質(zhì)定理求證線線平行，關鍵在于構(gòu)建同一平面，將直線與平面垂直巧妙地轉(zhuǎn)化為線線平行，從而使問題得以順利獲解.

例2.如圖3所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1..

分析：要證明兩條直線平行，就需要從題設給出的垂直關系中挖掘出直線平行關系.我們可以聯(lián)想直線與平面垂直的性質(zhì)定理，由直線與平面垂直推導出直線與直線平行，即可使問題得證.

證明：如圖3所示，連接AB1，B1C，BD，因為DD1⊥平面ABCD，AC[?]平面ABCD，所以DD1⊥AC ，又因為AC⊥BD，BD ∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.又因為BD1[?]平面BDD1B，所以BD1⊥AC，同理可證BD1⊥B1C，所以BD1⊥平面AB1C，因為EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C，又因為EF⊥AC，B1C∩AC=C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.

利用線面垂直性質(zhì)定理求證兩條直線平行，實際上是兩次證明直線與平面垂直.求解上述問題的關鍵在于由題設已知條件推導出BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C，再結(jié)合線面垂直定理，得出EF∥BD1.

總之，向量法、平行公理法、線面垂直法都是證明線線平行的有效方法.在平時高中數(shù)學學習和解題訓練中，同學們要注意隨機應變，做到具體問題具體分析，靈活運用所學知識和方法，準確地破解問題.

（作者單位：江蘇省鹽城市第一中學）