高中數(shù)學(xué)“集合”問題解決策略

李國龍

摘要：在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“集合”知識(shí)是學(xué)生首先接觸的內(nèi)容。在高中數(shù)學(xué)整體的課程體系中，集合知識(shí)具有十分重要的奠基作用。只有熟練掌握集合知識(shí)，才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)奠定較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，筆者將從自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，談一談應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生有效解決高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的集合問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 集合 問題解決

審視長期以來的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)盡管很多學(xué)生認(rèn)為集合知識(shí)比較簡單，但由于集合的知識(shí)內(nèi)容比較瑣碎，再加上學(xué)生的理解不夠全面，所以導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)一些問題。通常來講，在高中數(shù)學(xué)集合問題中，主要的題目類型可以劃分為以下兩種：第一，集合本身的問題;第二，和集合知識(shí)有關(guān)聯(lián)的問題。因此，教師應(yīng)該對(duì)這兩種集合題型有更加準(zhǔn)確的把握，并以此為基礎(chǔ)對(duì)學(xué)生解決問題的思路與方法進(jìn)行恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。這樣一來，更加有利于促進(jìn)解題過程的優(yōu)化和完善，從而幫助學(xué)生取得更為理想的解題效果。

1.理解集合相關(guān)概念

在解決集合問題時(shí)，一個(gè)十分重要的前提條件就是要正確理解集合的相關(guān)概念。無論何種形式的集合問題，都具有一定的綜合性。只有全面了解集合的相關(guān)概念，并在解題過程中對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活的運(yùn)用，才能有效提升集合問題的解題效率。

比如這樣一個(gè)問題：假設(shè)全集I={2，3，x2+4x-1}，M={|x+2|}，={4}。根據(jù)已知的條件，實(shí)數(shù)x的值是多少呢？在這個(gè)問題的解決中，一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是要準(zhǔn)確了解和掌握集的概念，并在此前提下充分分析幾何中相應(yīng)元素的特征，這是提高解題正確率的重要保障。具體來講，本題的解題思路如下：已知={4}，依據(jù)集合元素的性質(zhì)以及集合相關(guān)的概念可以得出|x+2|≠4，進(jìn)而可以得知x2+4x-1=4，|x+2|=3，所以可以得出x=1和x=-5。再如：假設(shè)集合A={x||x-a|<2}，B={x|<1}，若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在解決這個(gè)問題時(shí)，要對(duì)子集的概念有準(zhǔn)確的了解。其基本的解題思路為：由于|x-a|<2，所以a-2

2.掌握集合表述方法

除了掌握基礎(chǔ)性的概念知識(shí)以外，還要做到準(zhǔn)確梳理集合問題的特征。正如前文所述，集合問題具有一定的綜合性，而且涉及到的知識(shí)內(nèi)容較為瑣碎。所以準(zhǔn)確理解題意是形成解題思路以及進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換的重要環(huán)節(jié)。為此，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言的轉(zhuǎn)換，以此來對(duì)集合進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋硎觥?/p>

如：“自然語言”是一種描述集合問題的常規(guī)語言表達(dá)方式。比如這樣一個(gè)問題：集合S?N*，若x∈S，則8-x∈S，那么：（1）能否寫出集合S？（2）是否可以寫出所有2個(gè)元素的集合？在解題過程中，我首先引導(dǎo)學(xué)生用自然語言對(duì)問題進(jìn)行了理解：在集合S中，元素X需要滿足一定的條件，若x為正整數(shù)，那么8-x也應(yīng)該為正整數(shù)，所以在集合S中，相應(yīng)的元素只能是1到7當(dāng)中的一個(gè)正整數(shù)。如果x是集合S中唯一的元素，則x=8-x，可得x=4，所以集合S為{4}。若是想要集合S中有兩個(gè)元素，那么根據(jù)8-x∈S和x∈S這兩個(gè)條件，可知兩個(gè)集合元素之和是8。在這樣的情況下，符合條件的元素組合包括5和3，6和2，1和7，此時(shí)，集合S為{3，5}或者{2，6}，或者{1，7}。相較于自然語言，符號(hào)語言同樣是集合的重要表述方法，通過一定的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行描述，可以對(duì)集合問題有更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫狻３饲‘?dāng)?shù)募险Z言之外，列舉法同樣是對(duì)集合問題進(jìn)行描述的重要方法。利用這種極為直觀的方法，可以將集合中的元素列舉出來，從而尋找元素之間的關(guān)系。

3.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合策略

顧名思義，數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)量與空間形態(tài)具有十分緊密的聯(lián)系，并且可以在一定條件下實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。利用這種重要的數(shù)學(xué)思想方法，可以借助數(shù)對(duì)形的屬性進(jìn)行準(zhǔn)確闡述，也可以借助形來表現(xiàn)數(shù)之間的關(guān)系。大量的教學(xué)實(shí)踐研究證明，集合中有大量的數(shù)量元素。有些時(shí)候，集合中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，在這種情況下，數(shù)形結(jié)合無疑是處理集合問題的有效方法。

如：在集合計(jì)算問題中，如果只涉及到簡單的數(shù)量關(guān)系，則可以直接利用公式進(jìn)行解題，但如果數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，則可以嘗試借助韋恩圖進(jìn)行問題的解決。比如這樣一個(gè)問題：已知集合U={a，b，c，d，e}，如果A∩B={b}，（C∪A）∩B=g0gggggg，（C∪A）∩（C∪B）={a，e}，那么元素c在哪里？不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)問題中，集合之間的運(yùn)算比較復(fù)雜，如果直接按照集合相關(guān)概念進(jìn)行常規(guī)的計(jì)算，容易在某些計(jì)算環(huán)節(jié)出現(xiàn)一些偏差。因此，我引導(dǎo)學(xué)生利用韋恩圖的方式進(jìn)行了解題。在解題過程中，可以用一個(gè)矩形代表全集U，用圓形或者橢圓形表示A、B、C等各個(gè)集合。這樣一來，可以使集合的數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀表現(xiàn)出來，從而使學(xué)生更加準(zhǔn)確地找出元素c的位置。

4.合理引入生活問題

從學(xué)科特點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系十分緊密。在生活背景中，通常會(huì)蘊(yùn)含著十分豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，而集合問題在現(xiàn)實(shí)生活中更是無處不在。很多生活現(xiàn)象，都可以視為集合問題。因此，教師應(yīng)該有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些生活化的集合問題。這樣一來，可以使學(xué)生將集合知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中，從而進(jìn)一步深化學(xué)生的知識(shí)理解。

如：在集合知識(shí)的教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題，某個(gè)班級(jí)的學(xué)生總數(shù)為54。其中，有36個(gè)人會(huì)打籃球，會(huì)打排球的人數(shù)要比會(huì)打籃球的人多4個(gè)。此外，兩種運(yùn)動(dòng)都不會(huì)的人數(shù)，要比兩種運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人數(shù)的1/4少1個(gè)，那么兩種球都會(huì)的學(xué)生一共有多少呢？不難理解，在這個(gè)問題中，班級(jí)總?cè)藬?shù)、會(huì)打籃球的人數(shù)、會(huì)打排球的人數(shù)均可以視為集合。因此，我讓學(xué)生嘗試運(yùn)用集合知識(shí)進(jìn)行了問題的思考與解決。最終，通過這種方式，使學(xué)生對(duì)集合知識(shí)有了更加靈活的掌握。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，集合知識(shí)是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的知識(shí)內(nèi)容，對(duì)于后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)會(huì)產(chǎn)生直接影響。因此，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)解題訓(xùn)練，并掌握一些恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，從而不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

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