在立體幾何證明中搭建一座“金字塔”

沈崢鈴

摘 要：立體幾何證明是高中數學教學的重要組成部分，也是許多學生的學習困難所在。尤其是在高一階段，學生對于立體幾何的證明，幾何全部依賴于對于空間中線、面關系的理解。但是同時，邏輯關系混亂等問題始終制約著學生的有效學習。將空間中的線線、線面、面面關系進行重組，搭建結構化的邏輯鏈，引導學生在攻克證明困難的同時，培養邏輯推理能力。

關鍵詞：立體幾何證明;邏輯結構;邏輯推理

1、立體幾何學習中的困境

立體幾何證明題中，多會出現遺漏、錯用、混用證明條件的情況。諸如線面平行的判定定理中，很多學生會遺漏“”、“”的條件;又如面面平行中，已知“”可以推出“”，部分同學就會混用在面面垂直中，由“”，推出“”。

此外，不能選擇合適的輔助線，不清楚怎么運用、選取條件的情況依然存在，導致不少人以白卷收場。在與學生的交流中，往往會出現“老師講的時候是會的，自己做就不會的情況。”學生的知識體系混亂，對于基礎知識間的聯系缺乏了解，在獨立提取知識的過程中就會出現了斷層。更甚者，哪怕思路正確，個別學生也無法整合條件，證明過程冗長沒有條理。

可以看出，立體幾何證明的障礙主要有以下幾個方面：空間想象能力障礙，邏輯思維能力障礙和語言表達的障礙。其中，語言表達障礙也受到了邏輯思維的影響。基于此，為了培養學生的空間想象能力，發展學生的邏輯思維，引導學生從機械地模仿到理解，最終內化知識，搭建合理的邏輯結構是很有必要的。

2、搭建“金字塔”助力邏輯推理

以立體幾何證明中常見的線線、線面、面面關系為基礎，搭建一個三層的“金字塔”。

從縱向來看，金字塔分為3層，每一層中，除了書本給出的判定定理、性質定理外，還包括了常用的公理，定義。整個金字塔中，唯一可以跨層的地方在于“面面平行線線平行”，其他每一層的證明只能逐步攀登，不可跨層。諸如想要證明面面平行，必須遵循“線線平行線面平行面面平行”的路徑。從橫向來看，將立體幾何證明分為了“平行”與“垂直”兩部分，彼此證明互不影響，唯一交叉的地方在于可由“線面垂直”推出“線線平行”，即由“a⊥α，a⊥α”推出“a//b”。此外，對于一些容易混淆的定理，可以用圖形提供更直觀的感受，加強對定理條件的理解和記憶。在線線垂直這一部分，除了題目直接告知的兩直線垂直條件，還可以根據題目提供的數據，計算出垂直關系，甚至在共面條件下，平面中的一些性質定理也可以沿用。

對于具體題型，注意“目標”和“條件”，在金字塔中選定起始位置，之后結合目標和條件，選擇恰當的證明路徑，找全定理所需條件，推出結果。

3、邏輯結構——“金字塔”在證明題中應用

例1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點.求證：EG∥平面BB1D1D。

分析：從目標角度進行分析，線面平行處于金字塔的中間層，下可由線線平行得到，上可由面面平行得到。故而解題這一問題，既可

在平面BB1D1D內找一條與EG平行的直線，由“線線平行”推出“線面平行”;也可以過EG構造一個與平面BB1D1D平行的平面，由“面面平行”推出“線面平行”。

法一：（線線線面）如圖2，取B1D1中點O，連接OG，OB

法二：（面面線面）如圖3，取中點

例2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PADABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：

（1）PA底面ABCD;

（2）平面BEF平面PCD.

分析：從目標角度進行分析，問題（1）中要證的線面垂直處于金字塔的中間層，下可由線線垂直得到，上可由面面垂直得到。再結合“平面PADABCD”這一條件，可知應由“面面垂直”推出“線面垂直”。此時應注意，由“面面垂直”得到“線面垂直”必須滿足四個條件，缺一不可。問題（2）中要證的面面垂直處于金字塔的最頂端，因而只能由它的下一層線面垂直所推出。因此，在平面BEF中找一條線垂直平面PCD，或者在平面PCD中找一條線垂直平面BEF。而這類線面垂直，在這一題中，只能由線線垂直來推出。因此，第（2）問應該按照“線線垂直線面垂直面面垂直”的邏輯來推導。

4、小結

高一學生在開始學習空間立體幾何證明的時候，由于空間想象力，邏輯思維能力方面的不足，會出現比較多的問題，基礎比較薄弱，學習缺乏主動性的孩子尤甚。一方面，教師在教授定理的時候要注意圖文結合，演示這個定理所對應圖象的生成過程，讓學生有更直觀的感受。特別是每個條件的必要性，當缺失條件時，畫出缺失條件后的圖象，驗證定理的不充分。同時在驗證每一個判定條件的過程中加強對知識內在聯系的理解。另一方面，在新授知識之后，一定要重視對知識的梳理和整合。對于基礎比較薄弱的孩子，邏輯關系越簡單清晰，越有助于理解和掌握。因此，搭建一個“金字塔”，將知識邏輯結構化，便于初學者快速有效地提取條件，嘗試證明。而在證明過程中，除了強調“路徑”的選取，也應重視學生書寫的完善性。

不可否認，對于一些學生而言，他們的學習可能源于模仿，特別是女生對立體幾何知識理解的少，臨時記憶居多。這種模仿一開始是機械的，困難的，但在這樣一種追尋知識蹤跡的過程中，知識本身的邏輯會慢慢浮現。如果學生能理解乃至內化這些邏輯關系，那么他們就會從不同的線面角度，多樣化地證明同一道題。甚至當他們建立起平面幾何證明和立體幾何證明之間的聯系后，他們會更有創造性地去看待問題。邏輯思維的培養本身是一個緩慢的過程，在這個過程中，我們要接受失敗，允許嘗試，也要時刻嚴格要求。

參考文獻

[1]劉桂順. 高一學生理解立體幾何證明困難的原因及對策研究[D]. 山東師范大學， 2013.

[2]馬藹琳. 高中生立體幾何學習障礙及對策的研究[D]. 上海師范大學， 2011.

[3]樂意君. 課堂提問中如何讓 “邏輯鏈” 與 “思維鏈” 更加契合[J]. 新課程學習 （上）， 2013 （5）： 124.

[4]郝樂， 馬乾凱， 郝一凡， 等. 數學教育與邏輯思維能力的培養[D]. ， 2013.

[5]熊高全. 模仿學習在初中數學教學中的應用研究[J]. 課程教育研究， 2012 （26）： 173-174.