20世紀杰出的數學家柯爾莫哥洛夫

2003年1月16至21日，許多世界著名的數學家云集莫斯科，參加一個名為“柯爾莫哥洛夫與當代數學（Kolmogorov and Contemporary Mathematics）”的學術會議，在會議上，菲爾茲獎獲得者斯梅爾（Smale，1930-）、諾維科夫（Novikov，1938-），沃爾夫獎獲得者阿諾爾德（Arnold，1937-）、希策布魯赫（Hirzebruch，1927一）、卡爾森（Carleson，1928一）和西奈依（Sinai，1935-）等12位一流的數學家分別作了主題報告，這些報告都觸及了柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）的研究領域，4月29日，莫斯科大學又舉行了一場紀念會，隆重紀念這位20世紀的偉大數學家、數學教育家的百年誕辰。

一、早年的經歷

1903年4月25日，柯爾莫哥洛夫出生于俄國坦波夫省，1987年10月20日在莫斯科逝世，他的祖父是牧師，父親卡塔耶夫（Kataev）是一位農學家，曾被流放過，在十月革命后回來擔任農業部某部門的領導，1919年在戰斗中犧牲，柯爾莫哥洛夫的母親出身于貴族家庭，后因難產而死，柯爾莫哥洛夫的童年是在外祖父家度過的，姨媽把他撫養成人，盡管柯爾莫哥洛夫在出生后就失去了母愛，也從未得到過父愛，但柯爾莫哥洛夫卻是在關愛中長大的，很小的時候，姨媽就教導他要熱愛學習，熱愛大自然，在五六歲時，柯爾莫哥洛夫就獨自發現了奇數與平方數的關系，體會到了數學發現的樂趣，外祖父家創辦了一份家庭雜志《春燕》，年幼的柯爾莫哥洛夫竟然負責起其中數學欄目的編輯工作，他把自己的一些發現發表在該雜志上。

6歲時，他隨姨媽去了莫斯科，在一所被認為是當時最有名的預科學校讀書，在求學期間，他認真學習了生物學和物理學;14歲時，他從一部百科全書中學習了高等數學，并對象棋、社會問題和歷史也產生了興趣。

1920年，柯爾莫哥洛夫中學畢業后，當過一段時間的列車售票員，在工作之余，他寫了一本關于牛頓力學定律的小冊子，同年，柯爾莫哥洛夫進入莫斯科大學學習，除了學習數學，他還學習了冶金和俄國史，他對歷史特別著迷，曾寫了一篇關于15-16世紀諾夫格勒地區地主財產的論文，關于這篇論文，他的老師、著名歷史學家巴赫羅欣（Bakhrushin）說：你在論文中提供了一種證明，在你所研究的數學知識范圍內，這也許足夠了，但對歷史學家來說是不夠的，他至少需要五種證明，歷史教授的這番話對柯爾莫哥洛夫產生了重大的影響。

二、闖入數學王國

在莫斯科大學讀書期間，柯爾莫哥洛夫非常喜歡聽大數學家魯津（Luzin，1883-1950）的課，且經常與魯津的學生亞歷山德羅夫（Alexandrov，1896-1982）、烏里松（Urysohn，1898-1924）、蘇斯林（suslin）等在一起討論學術上的問題，在魯津的課上，這位一年級的大學生競反駁了老師的一個假設，令人刮目相看，柯爾莫哥洛夫還參加了斯捷班諾夫（Stepanov，1889-1950）的三角級數討論班，并解答了魯津提出的一個問題，魯津知道后，十分賞識他，主動提出收他為弟子。

盡管柯爾莫哥洛夫還只是一名大學生，但他卻取得了舉世矚目的成就，1922年2月，他發表了有關集合運算方面的論文，推廣了蘇斯林的研究成果;同年6月，他發現了一個幾乎處處發散的傅里葉級數;到1926年，他構造出了處處發散的傅里葉級數，這個級數是他在當列車售票員時想出來的，柯爾莫哥洛夫瞬間成為世界數學界的一顆閃亮的新星，幾乎同時，他對微分、積分、測度論等也產生了興趣。

1925年，柯爾莫哥洛夫大學畢業，成了魯津的研究生，這一年，柯爾莫哥洛夫發表了8篇在讀大學時寫的論文，在每一篇論文里，他都引入了新概念、新思想、新方法，他的第一篇關于概率論方面的論文就是在這一年發表的，此文是他與辛欽（Khinchin，1894-1959）合作完成的，其中含有三角級數定理以及關于獨立隨機變量部分和的不等式，后來，這些發現成了不等式以及隨機分析的基礎，他證明了希爾伯特變換的一個切比雪夫型不等式，該不等式后來成了調和分析的“柱石”，1928年，他求得了獨立隨機變量序列滿足大數定律的充要條件;翌年，又發現重對數律的廣泛條件，此外，他的工作還包括微分和積分運算的若干推廣、直覺主義邏輯等。

1929年夏天，柯爾莫哥洛夫與亞歷山德羅夫乘船從雅洛斯拉夫爾（Yaroslavl）出發，沿伏爾加河穿越高加索山脈，最后到達亞美尼亞的塞萬（sevan）湖，在湖中的一個小半島上住下，在那里，他們享受游泳和日光浴的樂趣，亞歷山德羅夫戴著墨鏡和巴拿馬草帽，撰寫一部有關拓撲學的著作，此書是他與霍普夫（H，Hopf，1894-1971）合作完成的，一問世即成為一部經典的著作，柯爾莫哥洛夫則在樹蔭下研究連續狀態和連續時間的馬爾可夫過程（一類隨機過程），1931年，柯爾莫哥洛夫的該研究結果發表，其內容是擴散理論之濫觴，柯爾莫哥洛夫與亞歷山德羅夫兩人的友誼即始于這次長途旅行，亞歷山德羅夫后來回憶道：到1979年，我和柯爾莫哥洛夫認識已經有五十年了，在這整整半個世紀里，我們從未有過任何爭吵，從未有任何誤解，即便是在某個問題上有分歧，我們彼此都會尊重對方的觀點，同時也會心平氣和地交流，而柯爾莫哥洛夫則認為兩個人的友誼是他一生中最珍貴的感情。

1930年夏天，柯爾莫哥洛夫與亞歷山德羅夫開始了另一次長途旅行，這次他們訪問了柏林、格丁根、慕尼黑、巴黎，柯爾莫哥洛夫結識了希爾伯特（Hilbea，1862-1943）、庫朗（Courant，1888-1972）、蘭道（Landau，1877-1938）、外爾（Weyl，1885-1955）、卡拉泰奧多里（Caratheodory，1873-1950）、弗雷歇（Fre，chet，1878—1973）、波雷爾（Borel，1871-1956）、萊維（Levy，1886-1971）、勒貝格（Lebesgue，1875-1941）等一流數學家，與弗雷歇、萊維等進行了深入的學術討論。

20世紀30年代是柯爾莫哥洛夫數學生涯中的第二個創造高峰期，在這個時期，他發表了80余篇有關概率論、射影幾何、數理統計、實變函數論、拓撲學、逼近論、微分方程、數理邏輯、生物數學、哲學、數學史與數學方法論等方面的論文，1931年，柯爾莫哥洛夫被莫斯科大學聘為教授，1933年，他出版了《概率論的基本概念》，這是概率論的經典之作，該書首次將概率論建立在嚴格公理的基礎上，解答了希爾伯特第6問題中概率部分的問題，這標志著概率論發展新階段的開始，具有劃時代的意義，同年，柯爾莫哥洛夫發表了《概率論中的分析方法》，為馬爾可夫隨機過程理論奠定了基礎，從此，馬爾可夫過程理論成為一個強有力的科學工具。

在拓撲學上，柯爾莫哥洛夫是線性拓撲空間理論的創始人之一;他和美國著名數學家亞歷山大（Mex，ander，1888—1971）同時獨立引入了上同調群的概念，1934年，柯爾莫哥洛夫研究了鏈、上鏈、同調和有限胞腔復形的上同調，在1936年發表的論文中，柯爾莫哥洛夫定義了任一局部緊致拓撲空間的上同調群的概念，1935年，在莫斯科國際拓撲學會議上，柯爾莫哥洛夫定義了上同調環。

1935年，柯爾莫哥洛夫和亞歷山德羅夫在莫斯科郊外一個名叫科馬洛夫卡（Komarovka）的小村莊里買了一座舊宅邸，他們的許多數學工作都是在這里完成的，阿達瑪（Hadamard）、弗雷歇、巴拿赫（Banach）、霍普夫、庫拉托夫斯基（Kuratowski）等許多著名數學家都訪問過科馬洛夫卡，莫斯科大學的研究生們經常結伴來到“科馬洛夫卡”拜訪這兩位數學大師，與兩位大師一起參加“數學郊游”，在那里，柯爾莫哥洛夫和亞歷山德羅夫熱情地招待學生們，到了晚上，學生們盡管有些疲勞，但總是帶著學習上的收獲快樂地回到莫斯科，著名數學家馬爾采夫（Malcev）和蓋爾范德（Gel，fand）就是其中的兩位研究生，柯爾莫哥洛夫的博士生、著名數學家格涅堅科（Gnedenko）回憶說：“對于柯爾莫哥洛夫的所有學生來說，與柯爾莫哥洛夫一起做研究的歲月是終生難忘的，最令人難以忘懷的是每個周日的郊游，柯爾莫哥洛夫邀請他所有的學生（研究生或本科生）以及別的導師的學生前來參加郊游活動，在郊游的過程中，我們討論當前的數學（及其應用）問題，還有一些有關繪畫、建筑和文學方面的問題。”

20世紀30年代末，柯爾莫哥洛夫發展了平穩隨機過程理論，美國數學家維納（Wiener，1894-1964）隨后也獲得了同樣的成果，柯爾莫哥洛夫還把研究領域推廣到行星運動和空氣的湍流理論。

20世紀40年代，柯爾莫哥洛夫的研究興趣轉向應用方面，1941年，他發表了兩篇有關湍流的論文，這兩篇論文為湍流理論的發展奠定了基礎，其中一個著名定律是“三分之二律”：在湍流中，距離為，的兩點的速度差的平方平均與r2/3成正比。

在這個時期，除了在數學方面，柯爾莫哥洛夫在遺傳學、彈道學、氣象學、金屬結晶學等方面均有重要貢獻，在1940年發表的一篇論文里，柯爾莫哥洛夫證明了孟德爾定律，當時，孟德爾定律在蘇聯是受批判的，柯爾莫哥洛夫的論文反映了他追求真理的科學精神。

20世紀50年代是柯爾莫哥洛夫學術生涯的第三個創造高峰期，這個時期，他的研究領域包括經典力學、遍歷理論、函數論、信息論、算法理論等。

1953年和1954年，柯爾莫哥洛夫發表了兩篇有關動力系統及其在哈密頓動力學中應用方面的論文，這標志著KAM（即Kolmogorov-Arnold-Moser）理論的建立，1954年，柯爾莫哥洛夫應邀在阿姆斯特丹國際數學家大會上作了“動力系統的一般理論與經典力學”的重要報告，后來，人們的研究證明了他深刻的洞察力。

在這個時期，柯爾莫哥洛夫開始了自動機理論和算法理論的研究，他和學生烏斯賓斯基（uspenskii）創立了被稱為“柯爾莫哥洛夫一烏斯賓斯基機”的概念，他還力排反對意見，支持有關計算理論的研究，許多蘇聯的計算機科學家都是柯爾莫哥洛夫的學生或學生的學生，20世紀50年代中后期，柯爾莫哥洛夫致力于信息論和動力系統遍歷論的研究，他在動力系統理論中引人了熵的重要概念，開辟了一個廣闊的新領域，建立了混沌理論，1958-1959年，柯爾莫哥洛夫將遍歷理論應用于對一類湍流現象的研究，這對他后來的工作產生了深遠的影響。

1957年，柯爾莫哥洛夫和他的學生阿諾爾德完全解決了希爾伯特第13問題：存在連續的三元函數，不能表示成二元連續函數的疊合，他給出了否定的答案：任意多個變量的連續函數都可表示成單變量連續函數的疊合。

20世紀60年代以后，柯爾莫哥洛夫又開創了演算信息論（今稱“柯爾莫哥洛夫復雜性理論”）和演算概率論這兩個數學分支。

柯爾莫哥洛夫的研究幾乎遍及數論之外的一切數學領域，1963年，在第比利斯召開的概率統計會議上，美國統計學家沃爾夫維茨（Wolfowitz，1910-1981）說：“我來蘇聯的一個特別的目的是確定柯爾莫哥洛夫到底是一個人呢，還是一個研究機構。”

三、獨特的教學研究方式

在半個多世紀的漫長學術生涯里，柯爾莫哥洛夫不斷提出新問題、構建新思想、創造新方法，在世界數學舞臺上保持著歷久不衰的生命力，這得益于他健康的體魄，他酷愛體育鍛煉，被稱作“戶外數學家”，他和亞歷山德羅夫每周有四天時間在科馬洛夫卡度過（另外三天則住在城里的學校公寓里），其中有一整天是體育鍛煉的時間：滑雪、劃船、徒步行走（平均路程長達30公里），在晴朗的三月，他們常常穿著滑雪鞋和短褲，在外連續鍛煉四個小時，平日里，早晨的鍛煉是不間斷的，冬天還要再跑10公里，當河冰融化的時候，他們還喜歡下水游泳，在70歲生日時，柯爾莫哥洛夫組織了一次滑雪旅行，他穿著短褲、光著胳膊在雪地里穿行，把別的參加者都甩在了后面。

他的許多奇妙而關鍵的思想往往是在林間漫步、湖中暢游、山坡滑雪的時候誕生的，在1962年訪問印度時，他甚至建議印度所有的大學和研究所都建在海岸線上，以便師生在開始嚴肅討論前先下海游泳。

柯爾莫哥洛夫也是一位著名的數學教育家，他喜歡為有數學天賦的學生提供特殊的教育計劃，他認為，14～16歲年齡段的學生對數學的興趣會明顯地表現出來，對數學沒有興趣的學生應該學習特殊的簡化課程，對數學有興趣的學生就可以選擇數學作為大學專業進行深入的學習，不過，在其進入大學之前應考核一下處理數學問題的各種能力——運算能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力。

柯爾莫哥洛夫創立了莫斯科大學數學寄宿學校，多年來，他花費大量時間在寄宿學校上，制訂教學大綱，編寫教材，授課（每周多達26個小時），帶領學生徒步旅行和探險，教學生音樂、藝術以及文學，這所學校里的學生常常在全蘇和國際數學奧林匹克競賽中名列前茅，但對于那些成不了數學家的學生，他并不感到擔憂，無論他們最終從事什么職業，只要能保持開闊的視野、探索的精神，他都會感到滿意，一個學生如果能進入柯爾莫哥洛夫的“大家庭”，那該是多么的幸運！

作為20世紀世界杰出的數學家，柯爾莫哥洛夫獲得了許許多多的榮譽：1941年榮獲首屆蘇聯國家獎、1949年榮獲蘇聯科學院切比雪夫獎、1963年獲國際巴爾贊獎、1965年獲列寧獎、1976年獲民主德國科學院亥姆霍茲獎章、1980年獲沃爾夫獎、1986年獲羅巴切夫斯基獎等，他還前后七次獲得列寧勛章。

1939年，柯爾莫哥洛夫當選蘇聯科學院院士，他還是波蘭科學院（1956年）、倫敦皇家統計學會（1956年）、羅馬尼亞科學院（1957年）、民主德國科學院（1959年）、美國藝術與科學院（1959年）、美國哲學學會（1961年）、荷蘭皇家科學院（1963年）、倫敦皇家學會（1964年）、匈牙利科學院（1965年）、美國國家科學院（1967年）、法國科學院（1968年）、芬蘭科學院（1983年）等機構的外籍院士或榮譽會員，巴黎大學（1955年）、斯德哥爾摩大學（1960年）、印度統計研究所（1962年）、華沙大學、布達佩斯大學等相繼授予他榮譽博士學位。

柯爾莫哥洛夫喜愛俄國詩與美術，尤其熱愛油畫與建筑，他將詩體學看作是自己科學研究的一個領域，他也酷愛音樂，莫扎特的G小調交響樂和巴赫的小提琴協奏曲常常陪伴他和亞歷山德羅夫（常常還有眾多朋友）度過科馬洛夫卡的寧靜之夜。

他熱愛學生，對學生嚴格要求并且指導有方，他直接指導的學生有67人，他們大多數成為了世界級的數學家，其中14人成為前蘇聯科學院的院士，1987年10月20日他在莫斯科逝世，享年84歲，柯爾莫哥洛夫為科學事業無私地貢獻了光輝的一生。