基于“問題導(dǎo)學(xué)”的高三一輪復(fù)習(xí)課

摘 要：如何上好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為眾多高三一線教師最為關(guān)注的問題。本文，筆者在經(jīng)過一年多的學(xué)習(xí)《“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法》之后，結(jié)合2019年3月2、3日在南寧市第三中學(xué)舉行的《關(guān)于舉辦普通高中“學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)技術(shù)實(shí)踐研修班”》活動(dòng)中聽了云南師大附中白濤老師上的兩節(jié)高三復(fù)習(xí)課，我受益匪淺，對(duì)我的觸動(dòng)很大。筆者就以高三一輪復(fù)習(xí)課《橢圓的概念》教學(xué)為例，闡述高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”指導(dǎo)下進(jìn)行的高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并在實(shí)踐中進(jìn)行總結(jié)反思、提升自我。

關(guān)鍵詞：問題導(dǎo)學(xué);高三復(fù)習(xí);圓錐曲線

當(dāng)前，高中的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂改革，各地都進(jìn)行得轟轟烈烈、各式各樣，很難用一個(gè)統(tǒng)一的尺度去加以評(píng)價(jià)。但筆者通過自己的親身體驗(yàn)，認(rèn)為我校黃河清校長的《“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法》對(duì)我的觸動(dòng)最大、感觸最深。兩千多年前偉大教育家孔子提出了與當(dāng)今素質(zhì)教育原則相對(duì)應(yīng)的“啟發(fā)式”教學(xué)中就已經(jīng)就有“詰問”的啟發(fā)方式。即課堂教學(xué)中如何設(shè)置問題？才具有針對(duì)性。《“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法》一書中指出，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂教學(xué)模式是將教學(xué)過程結(jié)構(gòu)分為四個(gè)環(huán)節(jié)：知識(shí)回顧—自主構(gòu)建—應(yīng)用探索—總結(jié)歸納。

2019年1月3日在南寧三中青山校區(qū)聽了數(shù)學(xué)特級(jí)教師黎承忠老師和1月11日在南寧三中五象校區(qū)聽了韋艷君老師上的《參數(shù)方程》——章節(jié)復(fù)習(xí)課。課后，黃校長在點(diǎn)評(píng)中也指出：復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵是要處理好兩個(gè)基本問題：知識(shí)回顧與知識(shí)聯(lián)系。知識(shí)回顧：這一環(huán)節(jié)注重解決一下三個(gè)方面的問題：

（1）問題設(shè)置。根據(jù)高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的關(guān)聯(lián)性原則，問題的提出要有啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行“回顧”。

（2）能激發(fā)學(xué)生展開聯(lián)想、類比、總結(jié)。

（3）能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系、整合。

下面筆者以高三第一輪復(fù)習(xí)《橢圓概念》的為例進(jìn)行分析，不妥之處，請(qǐng)各位同仁多多包涵。

一、回顧知識(shí)

（一）加深對(duì)橢圓概念本質(zhì)屬性的理解

問題1：我們的教材是如何給橢圓下定義的？你能否分別用文字語言、數(shù)學(xué)語言和圖形語言表示出來？

設(shè)計(jì)意圖：回顧橢圓定義，強(qiáng)化本質(zhì)特征，掌握不同語言的相互轉(zhuǎn)換。

問題2：定義中為何要規(guī)定？如果點(diǎn)的軌跡又是什么？人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第49頁習(xí)題2.2A組第1題：如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過程中，總是滿足關(guān)系式，點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程。

（二）整合提煉橢圓概念的形成方式，形成知識(shí)體系

問題3：橢圓除了這樣下定義以外，是否還有其他的方式可以生成橢圓呢？從我們教材中是否可以找到答案？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)探索深，讓學(xué)生對(duì)橢圓這一核心概念進(jìn)行第二次學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)悟橢圓這一核心概念，更深層次地梳理教材、整合教材，完成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的系統(tǒng)化和知識(shí)與方法體系的網(wǎng)絡(luò)化。

二、自主建構(gòu)

“自主建構(gòu)”這一環(huán)節(jié)是高三一輪復(fù)習(xí)階段的重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)之間的聯(lián)系及知識(shí)系統(tǒng)化的要求與上新課的要求是有區(qū)別的。因此，這一環(huán)節(jié)上應(yīng)該重點(diǎn)圍繞知識(shí)的“聯(lián)系”、“變化”這兩個(gè)關(guān)鍵詞來展開。

（一）生成橢圓的方法之一：由圓的變換而得到

人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第41頁例2：如圖1，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第50頁習(xí)題2.2B組第1題：如圖2，軸，點(diǎn)M在DP的延長線上，且，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀。

問題4：類比上述例2，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？

教材第41頁有個(gè)“思考”：從例2你發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過以上探究，可以讓學(xué)生知道，圓按某一個(gè)方向做伸縮變換可以得到橢圓。此結(jié)構(gòu)形式的考點(diǎn)在2011年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第17題已經(jīng)呈現(xiàn)

拓展應(yīng)用1：

例1：（2011年陜西卷理科）如圖5：如圖，設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點(diǎn)，且

（Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

（Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度

（二）生成橢圓的方法之二：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)

人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第41頁例3：如圖3，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相較于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。

此題是已知斜率之積求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，若將軌跡方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程比較，那么反過來，已知橢圓方程，試問其上任一點(diǎn)M與點(diǎn)A、B連線的斜率之積k是否是一個(gè)負(fù)常數(shù)？k與a、b又有什么關(guān)系？由此得以提煉兩個(gè)重要的一般性結(jié)論，也是橢圓的有一種生成方式：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0），B（a，o）所連直線的斜率之積是，即滿足則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓。

還可以得出下面的結(jié)論，反之亦成立，即：A、B為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上（除A、B外）任一點(diǎn)，則。在類比人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第55頁的“探究”：如圖4，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）（5，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程，并且點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。類比于例3，我們還可以有什么新發(fā)現(xiàn)呢？

高三一輪復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是如果引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系知識(shí)、學(xué)會(huì)思考。通過上述一系列的探究之后，還不應(yīng)該就此停下來，還可以進(jìn)一步跟學(xué)生一起做如下探索：如果將上述斜率之積改為斜率之商、斜率之和、斜率之差，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡又是什么？這在人教版教材中都有習(xí)題呈現(xiàn)（此處不贅述）。此類結(jié)構(gòu)形式的考點(diǎn)在高考試題中出現(xiàn)的頻率較高。如2012年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第19題，2012年高考數(shù)學(xué)四川卷文、理第21題。再比如2013年高考數(shù)學(xué)全國大綱卷理科第8題，如下例2：

拓展應(yīng)用2：

例2：（2013年理科大綱版數(shù)學(xué)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是[-2，1]，那么直線PA斜率的取值范圍是 （ ）

（三）生成橢圓的方法之三：從圓的軌跡中來

人教A版教材《數(shù)學(xué)》（選修2—1）第49頁第7題：如圖5，圓的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線L和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

問題5：教材中還有與此題相類似的題嗎？（雙曲線的簡單幾何性質(zhì)習(xí)題2.3A組第62頁第5題（題目略）

（四）生成橢圓的方法之四：從圓的內(nèi)切和外切的動(dòng)態(tài)過程中來

（人教A版教材《數(shù)學(xué)》選修2—1題2.2B組第50頁第2題，由于篇幅有限，筆者在此不再展開），關(guān)于這種方式生成的橢圓，在高考試題中也有出現(xiàn)過，如：（2011廣東理19）：設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。

（1）求C的圓心軌跡L的方程;

（2）（略）

（五）生成橢圓的方法之四：與距離有關(guān)的點(diǎn)的軌跡

（人教A版教材《數(shù)學(xué)》選修2—1第47頁，例6本例可以歸納出雙曲線的第二定義及橢圓的焦半徑公式。

三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義

在高三一輪復(fù)習(xí)中，對(duì)橢圓這一核心概念，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生“回歸課本”、“回歸基礎(chǔ)”，對(duì)整個(gè)圓錐曲線的概念形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，有一個(gè)由局部到整體、由點(diǎn)到面的整體形象的認(rèn)知。由此引導(dǎo)學(xué)生類比人教A版《數(shù)學(xué)2-1》（選修）第59頁例5、第62頁B組第3題、第75頁“閱讀與思考”的“圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程”，進(jìn)行綜合對(duì)比發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)與區(qū)別，進(jìn)而歸納、提煉、整合出圓錐曲線的統(tǒng)一定義一：“平面上到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線（定點(diǎn)F不在定直線上），即”其中，點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，直線是相應(yīng)于點(diǎn)F的準(zhǔn)線，比值e是它的離心率”這里，當(dāng)時(shí)，定的軌跡是橢圓;當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線;當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線。

高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法復(fù)習(xí)課堂教學(xué)模式中，就特別強(qiáng)調(diào)要關(guān)注既要加強(qiáng)基礎(chǔ)、提高能力、發(fā)展智力，又要有針對(duì)性的面對(duì)學(xué)生“惑”的問題;也指出了高三復(fù)習(xí)課不是“簡單重復(fù)”，要注重設(shè)計(jì)高水平的思維訓(xùn)練活動(dòng)。因此需要教師在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、激發(fā)學(xué)生思考，學(xué)會(huì)探索，自主形成一套復(fù)習(xí)的抓手。教師再提煉、總結(jié)、歸納，做好學(xué)生“回歸課本、回歸基礎(chǔ)”的榜樣，而不是總說在嘴上，既能忠實(shí)于教材、把握教材，又能激活教材、挖掘教材、調(diào)適教材、駕馭教材與整合教材，更有助于教學(xué)的“動(dòng)態(tài)生成”，并對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幒椭匦陆?gòu)，注重知識(shí)的聯(lián)系，形成有效鋪墊。真實(shí)體現(xiàn)教材為我所用、為生服務(wù)的理念，真正讓研讀教材、課堂執(zhí)行做到扎實(shí)有效，讓課堂教學(xué)真正走向有效課堂和高校課堂。

參考文獻(xiàn)

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[3]段小龍，謝玉平.高中數(shù)學(xué)教材章引言課教學(xué)初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（10）：10-12.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）【M】.北京：人民教育出版社，2003.

作者簡介：藍(lán)日更（1983.9-），男，瑤族，廣西省南寧市馬山縣人，大學(xué)本科，中學(xué)一級(jí)，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)