秦九韶與《數書九章》

《數書九章》是中國古代數學名著，由南宋數學家秦九韶所著。秦九韶（1208年-1261年），字道古，生于普州安岳（今四川省安岳縣），與李冶、楊輝、朱世杰并稱“宋元數學四大家”。他精于研究星象、音律、算術、詩詞、弓劍、營造等，歷任瓊州知府、司農丞，后遭貶，卒于梅州任所。秦九韶于1247年9月著成《數術大略》，該著作在明代后期被改名為《數書九章》。這是秦九韶唯一的數學著作，憑借此書，他成為我國宋元時期杰出的數學家之一。

《數書九章》全書采用問題集的形式寫成，并不按數學方法來分類。書中的文字也不只談數學，還涉及自然現象和社會生活，為了解當時的社會政治和經濟生活提供了重要的參考文獻。該書在數學內容上有頗多創新，是對《九章算術》的繼承和發展。它概括了宋元時期數學的主要成就，標志著中國古代數學發展的一個高峰。全書九章十八卷，九章即九類，包括“大衍類”“天時類”“田域類”“測望類”“賦役類”“錢谷類”“營建類”“軍旅類”“市物類”，每類有9題（9問），全書共計81題（81問）。該書內容十分豐富，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運輸，以及各種幾何圖形和體積，還包括錢谷、賦役、市場、牙厘的計算和互易。許多計算方法和經驗常數直到現在仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”。該書的著述方式大多由“問日”“答日”“術日”“草日”四部分組成。“問日”是指從實際生活中提出問題;“答日”是指給出答案;“術日”表示闡述解題原理與步驟;“草日”表示給出詳細的解題過程。

《數書九章》已是國內外公認的一部世界數學名著。此書不僅代表了當時中國數學的先進水平，也代表了中世紀世界數學的最高水平。我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的《數書九章》（1247年）是一部劃時代的巨著，內容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術（不定方程的中國獨特解法）及高次代數方程的數值解法，在世界數學史上擁有崇高的地位。那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。”

秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同余式組解法，是中世紀世界數學的最高成就，比西方著名數學家高斯（Carl Friedneh Gauss，1777年一1855年）于1801年建立的同余理論早了554年，被西方稱為“中國剩余定理”。秦九韶在數學上的成就不僅為中國贏得無尚榮譽，也為世界數學作出了杰出貢獻。

秦九韶在《數書九章》中除了發明“大衍求一術”外，還創立了正負開方術，即任意高次方程的數值解法。秦九韶所發明的此項成果比1819年英國人霍納的同樣解法早了572年。秦九韶的正負開方術主要應用于列算式，其應用原則是“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”。正負開方術運用代數加法，給出統一的運算規律，并且擴充到了任何高次方程中。此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致。同時秦九韶又給出了籌算的草式，使它擴充到求解一般線性方程中。在歐洲最早給出一次方程組解法的是布丟（約1490年-1570年，法國人），他于1559年開始研究用還不完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年。

秦九韶在《數書九章》中還創建了“三斜求積術”，給出了已知三角形三邊求三角形面積的公式。該公式與海倫（公元50年前后）公式完全一致。《數書九章》的十八卷77問“推計互易”中，給出了配分比例和連鎖比例這一混合命題的巧妙運算方法，至今仍有意義。

秦九韶的哲學思想和數學思想，顯然與宋代儒學中的道學學派相一致，他明確指出“數與道非二本也”。秦九韶在數學實踐上的切身體會，使他對于數學的重要性有較為深刻的認識。秦九韶高度評價數學的作用，反對輕賤數學的世俗看法。他說，數學研究“大則可以通神明，順性命;小則可以經世務，類萬物，詎容以淺近窺哉！”秦九韶將數學的應用概括為大、小兩個方面，實際上繼承了中國傳統數學思想中關于數學作用的論述。秦九韶通過自己的數學研究實踐，認識到“所謂通神明，順性命，固膚末于見”，于是他將自己的才智專注于“經世務，類萬物”的“小者”上，十分重視搜尋在天文歷法、生產、生活、商業貿易以及軍事活動中的數學問題。《數書九章》“設為問答，以擬于用”，書中的問題盡力滿足社會實踐的需要，并告誡人們要學好數學，精于計算，以避免由于計算錯誤而引起的“財蠹力傷”等不良后果。因此，秦九韶是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創新的數學大家。他所提出的大衍求一術和正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史、乃至世界數學史上光彩奪目的一頁，對后世數學的發展產生了廣泛的影響。