多維視角巧切入 解三角形妙破解

摘 要：解三角形問題主要借助平面幾何圖形，特別是三角形中的邊與角之間的關系，通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉化與應用，有時還綜合三角函數中的相關公式加以綜合與運算，從而達到破解相關的邊、角、比值、面積、參數等相應的問題.此類問題有助于學生知識體系的進一步融會貫通，數學解題能力與數學應用能力的全面提升，真正達到拓展思維，提升能力，培養素養的目的.

關鍵詞：解三角形;正弦定理;余弦定理;平面幾何;變式;拓展

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A???? ?文章編號：1008-0333（2020）34-0037-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：郭建能（1980.12-），女，江蘇省啟東人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

解三角形問題是每年高考中的基本考點之一，有時以選擇題或填空題的形式出現，有時以解答題的形式出現，一般難度維持在中等檔次.解三角形問題主要借助平面幾何圖形，特別是三角形中的邊與角之間的關系，通過正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等加以合理轉化與應用，有時還綜合三角函數中的相關公式加以綜合與運算，從而達到破解相關的邊、角、比值、面積、參數等相應的問題.解三角形往往與三角函數、平面向量等相關知識加以綜合，一般運算量大、公式應用多.可以很好考查考生的運算求解能力，化歸與轉化思想等，關鍵要善于審題，合理轉化，采用有效的策略，優化過程，提升效益.

一、真題在線

高考真題 （2019·北京卷文·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B+C）的值.

二、真題解析

1.破解思維：解三角形思維

方法1 （官方標答——正、余弦定理法）

（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因為b=c+2，所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

點評 解三角形問題，多為平面幾何圖形中邊和角的求值與轉化問題，這就需要根據正弦定理、余弦定理以及三角形中的相關公式（三角形的面積公式、三角形內角和公式等），結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其破解問題的基本步驟是：第一步：“定條件”，即確定平面幾何圖形，特別是三角形中的已知和所求，在平面幾何圖形中標出來，然后確定轉化的方向;第二步：“定工具”，即根據條件和所求，有效、合理選擇轉化的工具，實施邊與角之間的相互轉化與應用;第三步：“求結果”.

2.破解思維：平面幾何思維

方法2 （平面幾何法1）

圖1

如圖1所示，過點A作AD⊥BC，垂足為D.

（1）設DB=m，由于cosB=-12，可得AB=c=2m，AD=3m.

而b-c=2，則有b=c+2=2m+2，

在Rt△ADC中，結合勾股定理有AD2+DC2=AC2，即（3m）2+（m+3）2=（2m+2）2，

解得m=52，所以c=2m =5，b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，

所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

方法3 （平面幾何法2）

圖2如圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D.

（1）由于a=3，cosB=-12，可得BD=12a=32，CD=32a=332.

而b-c=2，則有b=c+2.

在Rt△ACD中，結合勾股定理有CD2+DA2=CA2，

即（332）2+（32+c）2=（c+2）2，

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）在Rt△ACD中，sinA=CDDA=3327=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

點評 解三角形問題本身就是在平面幾何中進行的一般化探究與總結，因而解三角形問題往往也可以回歸平面幾何，借助平面幾何的相關知識加以思維與破解.利用平面幾何知識破解復雜的解三角形問題時，關鍵是根據條件加以合理切割、補形等操作，將問題背景轉化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等，進而結合特殊三角形中的相關定理與性質（特別是直角三角形，比如勾股定理等）來處理，往往可以更為直觀形象、簡單快捷地達到解決一些相關的解三角形問題.

三、變式拓展

變式 （2019·北京卷理·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B-C）的值.

解析 （1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因為b=c+2，

所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinC=cbsinB=5314.

在△ABC中，∠B為鈍角，所以∠C為銳角.

所以cosC=1-sin2C=1114.

所以sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=437.

四、解后反思

對于解三角形中的相關綜合問題，關鍵是有效發現三角形中的邊、角等要素之間的內在聯系與變化規律，利用解三角形中的相關知識（包括正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等）以及三角函數中的相關公式等加以有效轉化，從而充分融合與交匯不同的知識點，構建起知識點的有效聯系與合理轉化，真正有助于學生知識體系的進一步融會貫通，數學解題能力與數學應用能力的全面提升，真正達到拓展思維，提升能力，培養素養的目的.

參考文獻：

[1]蔣凱，錢云祥.法隨心動 心由境生——由一道數學題的解法探究產生的若干思考[J].數學通報，2019（03）：42-45.

[責任編輯：李 璟]