用字典排列法解答的一道改編題

摘 要：文章把人教社教科書上的一道復(fù)習(xí)參考題給予改編，并用字典排列法給出了其解法.

關(guān)鍵詞：改編;計(jì)數(shù)原理;字典排列法;自主招生試題

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0057-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：甘志國（1971-），湖北省竹溪人，研究生，正高級(jí)教師，特級(jí)教師，湖北名師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”（課題編號(hào)FT2017GD003，課題負(fù)責(zé)人：甘志國）階段性研究成果之一.

改編題 （由普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》（人民教育出版社2009年第3版）第41頁第2題改編）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，問：

（1）其中有多少個(gè)是奇數(shù)？

（2）其中有多少個(gè)大于201345？

（3）其中的320514是從小到大排列的第幾個(gè)數(shù)？

（4）其中從小到大第300個(gè)數(shù)是幾？

（5）其中從大到小第300個(gè)數(shù)是幾？

解 （1）這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位數(shù)是1，3，或5，有A13種可能;首位數(shù)不能是0也不能是個(gè)位數(shù)，有A14種可能;把剩下的4個(gè)數(shù)字放在剩下的4個(gè)數(shù)位上，有A44種可能.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得所求答案是

A13A14A44=288.

（2）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)的個(gè)數(shù)是

5A55，注意到201345是這樣的六位數(shù)中首位（即十萬位）是2的最小者，又因?yàn)檫@樣的六位數(shù)中首位是1的個(gè)數(shù)是A55，因而所求答案是5A55-A55-1=479.

（3）在用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中，形如1×××××或2×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240;形如30××××或31××××的個(gè)數(shù)是2A44=48;形如3201××或3204××的個(gè)數(shù)是2A22=4;再由形如3205××的最小者是320514，可得所求答案是240+48+4+1=293.

（4）在用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中，形如1×××××或2×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240，形如3×××××的個(gè)數(shù)是A55=120，進(jìn)而可得其中從小到大第300個(gè)數(shù)是3×××××的形式.

其中形如30××××或31××××的個(gè)數(shù)是2A44=48（其中的最大數(shù)是第288個(gè)），形如32××××的個(gè)數(shù)是A44=24，進(jìn)而可得其中從小到大第300個(gè)數(shù)是32××××的形式.

其中形如320×××或321×××的個(gè)數(shù)是2A33=12（其中的最大數(shù)321540是第288+12=300個(gè)）.

綜上所述，可得所求答案是321540.

（5）在用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中，形如5×××××或4×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240，形如3×××××的個(gè)數(shù)是A55=120，進(jìn)而可得其中從大到小第300個(gè)數(shù)是3×××××的形式.

其中形如35××××或34××××的個(gè)數(shù)是2A44=48（其中的最小數(shù)是第288個(gè)），形如32××××的個(gè)數(shù)是A44=24，進(jìn)而可得其中從大到小第300個(gè)數(shù)是32××××的形式.

其中形如325×××或324×××的個(gè)數(shù)是2A33=12（其中的最小數(shù)324015是第288+12=300個(gè)）.

綜上所述，可得所求答案是324015.

注 這道改編題的解法就是字典排列法.

下面這道類題的解法也是字典排列法.

類題[1][2] （2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題第1題）已知集合A=xx≥10，x∈N，BA，且B中的每個(gè)元素同時(shí)滿足：（a）各數(shù)位上的數(shù)字互不相同;（b）任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和不為9.求：

（1）B中有多少個(gè)兩位數(shù)？多少個(gè)三位數(shù)？

（2）B中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？

（3）將B中的元素從小到大排列后，第1081個(gè)元素是多少？

解 將0，1，2，…，9中和為9的數(shù)字兩兩配成5對(duì)：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.

得B中的元素不能同時(shí)含有上述一對(duì)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字.

（1）對(duì)于B中的兩位數(shù)：十位數(shù)字有9種選法（可選1，2，…，9）;十位數(shù)字選定后，個(gè)位數(shù)字有8種選法（與十位數(shù)字不同，且不能是上面配對(duì)的數(shù)）.所以B中的兩位數(shù)為9×8=72個(gè).

對(duì)于B中的三位數(shù)：百位數(shù)字有9種選法（可選1，2，…，9）;百位數(shù)字選定后，十位數(shù)字有8種選法（與十位數(shù)字不同，且不能是上面配對(duì)的數(shù)）;百位、十位數(shù)字均選定后，個(gè)位數(shù)字有6種選法（與百位、十位數(shù)字均不同，且均不能是上面配對(duì)的數(shù)）.所以B中的三位數(shù)為9×8×6=432個(gè).

（2）B中有五位數(shù)，比如12340.

因?yàn)樵谏厦媾涑?對(duì)數(shù)的每對(duì)數(shù)中至多只能選一個(gè)作為B中數(shù)的數(shù)字，所以B中沒有六位數(shù).

（3）由（1）的結(jié)論知，B中的兩位數(shù)、三位數(shù)共72+432=504個(gè).同理可求得B中的四位數(shù)為9×8×6×4=1728個(gè).

所以將B中的元素從小到大排列后，第1081個(gè)元素是四位數(shù)，且是四位數(shù)中從小到大的第1081-504=

577個(gè).

B中的四位數(shù)中，千位數(shù)字為1，2，3的各為8×6×4=192個(gè)，共192×3=576個(gè)，所以所求答案是將B中的元素從小到大排列后的最小四位數(shù)，即4012.

參考文獻(xiàn)：

[1]甘志國.重點(diǎn)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)備考全書——名牌大學(xué)自主招生真題（下）[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2019.

[2]甘志國.重點(diǎn)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)備考用書[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2016.

[責(zé)任編輯：李 璟]