高中生的數(shù)學(xué)解題思路來(lái)源：基于一題多解的視角

巫瑤 湯強(qiáng)

摘 要：針對(duì)一道數(shù)學(xué)題的解題思路從何得來(lái)，怎樣才能準(zhǔn)確的找出數(shù)學(xué)的解題思路，這些對(duì)于學(xué)生而言都是難點(diǎn)。從分析題目中的條件，以及觀察題中條件的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征來(lái)尋求解題思路，有助于學(xué)生突破這些難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題思路;轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是傳授知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。但無(wú)論是知識(shí)的講解還是能力的培養(yǎng)都離不開(kāi)解題，解題可以說(shuō)是數(shù)學(xué)中不可或缺的一個(gè)重要組成部分。因此探索數(shù)學(xué)解題思路對(duì)學(xué)生來(lái)講就顯得格外重要。

解題思路的探索是解決數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵，如何對(duì)一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析探索，從中找出數(shù)學(xué)解題思路的來(lái)源，順利解出問(wèn)題。以下通過(guò)一道常規(guī)問(wèn)題的多種解法對(duì)此進(jìn)行一定的探究。

【題目】求函數(shù)的值域。

從題目給出的條件中可以直觀看出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)分析，易得函數(shù)的定義域?yàn)椋骸Ｒ阎瘮?shù)定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系，要求函數(shù)的值域，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)講，最容易想到的是利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域。

1.源于“熟悉”

依據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間有最值，得出函數(shù)的值域?yàn)閇1，2]。

這種方法是學(xué)生最容易想到的可能也是學(xué)生唯一能想到的解題思路，但這道題的解題思路并不只局限于此，學(xué)生在解這類(lèi)題時(shí)往往被定勢(shì)思維所影響，認(rèn)為只有這種方法，當(dāng)遇到求導(dǎo)較困難時(shí)，該法可能實(shí)施就較為困難。但此法可以很好的體現(xiàn)函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，在根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)在某區(qū)間的值域時(shí)，可以更好的培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。

2.源于“簡(jiǎn)化”

觀察原式含有根號(hào)，聯(lián)想到利用換元法去掉根號(hào)，從而簡(jiǎn)化原式，探索出新的解題思路。

反思解法二是只替換了一個(gè)根號(hào)，再利用三角換元求解，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，試想可否直接將兩個(gè)根號(hào)都進(jìn)行替換，從而將求函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線與曲線有交點(diǎn)時(shí)，直線與y軸的截距范圍問(wèn)題。

從圖1-1中可以直接分析得到：截距范圍是在直線剛好與曲線相交和直線與曲線相切時(shí)與y軸的交點(diǎn)。聯(lián)立方程利用△=0，得出y的取值即函數(shù)的值域?yàn)閇1，2]。

該方法利用化難為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單易懂的常規(guī)問(wèn)題。將求函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求直線與曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，更能直觀的理解題意，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

3.源于“結(jié)構(gòu)”

除了在分析中考慮化簡(jiǎn)，還需要關(guān)注的一點(diǎn)是題中所給式子的結(jié)構(gòu)特征，從結(jié)構(gòu)中也可以分析出解題的思路。該題是的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想“a+b=c”的結(jié)構(gòu)形式，想到等差中項(xiàng)，從而構(gòu)造數(shù)列模型。

該種解法是從題設(shè)中的結(jié)構(gòu)入手，抓住結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想以前所學(xué)知識(shí)，尋求解題思路，這種解題思路中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，以及數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

從以上四種方法可以體會(huì)到數(shù)學(xué)的解題思路是可以從多方面探究的，主要是抓住題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量特征進(jìn)行分析，探索出解題的切入點(diǎn)和突破口，無(wú)論是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題還是復(fù)雜的代數(shù)題，都可以從題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)與數(shù)量中進(jìn)行分析，探尋出解題思路的來(lái)源。

總之，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要想提高自身數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)好數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率，就要建立正確的解題思路。在解題過(guò)程中，抓住題設(shè)條件中的核心內(nèi)容，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度探究，從結(jié)構(gòu)與數(shù)量特征關(guān)系入手，找出解題突破口，建構(gòu)完整的解題框架。

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