數(shù)學(xué)建模題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的聯(lián)系

楊昌紅　顏寶平

摘 要：數(shù)學(xué)建模題和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題都屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的范疇，但兩者不論是從題目本身還是解題的思維過(guò)程都不能等同。然而，他們卻可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換。通過(guò)給數(shù)學(xué)建模題添加適當(dāng)?shù)膮?shù)、賦予數(shù)值即可轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題。反之，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題通過(guò)隱藏參數(shù)、添加解釋即可得到一個(gè)開(kāi)放的數(shù)學(xué)建模題。正由于兩者的不等同，使得在評(píng)價(jià)的側(cè)重點(diǎn)以及育人價(jià)值上也都有所不同。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)建模題;傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題

數(shù)學(xué)建模是當(dāng)下我國(guó)數(shù)學(xué)教育界一個(gè)比較炙熱的話題。在上個(gè)世紀(jì)90年代數(shù)學(xué)建模開(kāi)始進(jìn)入我國(guó)，隨之北京、上海地區(qū)開(kāi)始組織中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用競(jìng)賽。自從2003年起，數(shù)學(xué)建模正式進(jìn)入《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003版）》。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2017）》）中，數(shù)學(xué)建模被列為六大核心素養(yǎng)之一，在教材中設(shè)置了6個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)[1]。引起了越來(lái)越多數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注。在《課標(biāo)（2017）》的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在我國(guó)大部分地區(qū)紛紛實(shí)施起來(lái)。通過(guò)閱讀大量文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)有很多中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的認(rèn)識(shí)存在嚴(yán)重的不足，他們中大多數(shù)人認(rèn)為已經(jīng)有了數(shù)學(xué)應(yīng)用題，為什么還需要增加數(shù)學(xué)建模題呢？基本認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，將二者混為一談[2-3]。事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模題并不等同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題[4]。鑒于此，本文將研究數(shù)學(xué)建模問(wèn)題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的聯(lián)系，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)于數(shù)學(xué)建模題的認(rèn)識(shí)提供一點(diǎn)參考。

1.數(shù)學(xué)建模題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的概念

在數(shù)學(xué)中，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是用語(yǔ)言或文字來(lái)敘述有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為情境反映某種數(shù)量關(guān)系，并求解未知數(shù)量的文字應(yīng)用題。任何一道傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題都由已知條件和所求問(wèn)題兩個(gè)部分組成，它還具有以下特征：現(xiàn)實(shí)性、簡(jiǎn)明性、基礎(chǔ)性、可轉(zhuǎn)換行、模型化[4]。數(shù)學(xué)建模是解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的過(guò)程。在《課標(biāo)（2017）》中，數(shù)學(xué)建模將描述為對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng);梁貫成、賴明治等人認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過(guò)程，它應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象進(jìn)行表達(dá)、分析、預(yù)測(cè)或其他方式的深入研究[5]。鑒于以上的分析，筆者理解數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的橋梁，它包含以下過(guò)程：確定要解決的問(wèn)題，需要收集相關(guān)的信息;作出假設(shè)，需要選擇忽視或是保留哪些量;將初始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，進(jìn)行求解;得到結(jié)果，又需要將結(jié)果應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)的情景中，看是否符合現(xiàn)實(shí);如果不能很好的反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，需要修改假設(shè)或模型，重新求解，這是一個(gè)不斷循環(huán)的過(guò)程。

2.數(shù)學(xué)建模題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的聯(lián)系

數(shù)學(xué)建模題和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題都屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題[4]。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，通常給出的已知條件明確，答案唯一，現(xiàn)實(shí)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程簡(jiǎn)單明了，所得的結(jié)果很少需要考慮是否符合實(shí)際，更談不上說(shuō)由于不符合實(shí)際情況需進(jìn)一步反思、修改已有的模型。而在數(shù)學(xué)建模題中這些都是要突破的重點(diǎn)和難點(diǎn)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題過(guò)程比較特殊和簡(jiǎn)單，無(wú)法揭示數(shù)學(xué)建模完整的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是連接現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)體系的重要媒介，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析研究，往往得到的結(jié)論它需要將結(jié)論迭代到實(shí)際問(wèn)題中，它不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題僅僅是簡(jiǎn)單的套用公式即可。數(shù)學(xué)建模中往往不存在套用公式、定理就能得到的結(jié)論。傳統(tǒng)應(yīng)用題的答案是唯一的，在解題時(shí)只要適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用公式定理和充分的運(yùn)用已知條件就能解出答案，而數(shù)學(xué)建模的答案卻不唯一，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題相比沒(méi)有那樣多的已知條件，數(shù)學(xué)建模題的求解需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題定義變量、作出假設(shè)，假設(shè)不同得到的模型也不同，所得模型還需帶到實(shí)際中檢驗(yàn)看其與實(shí)際是否吻合，若與實(shí)際不吻合，則需要對(duì)參數(shù)、數(shù)據(jù)、模型中的一些部分進(jìn)行修改，重新迭代，數(shù)學(xué)建模就是一個(gè)如此反復(fù)的過(guò)程以求找到更吻合實(shí)際的結(jié)論。因此，數(shù)學(xué)建模題不論是從題目本身還是解題的思維過(guò)程都不等同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

下面將用兩個(gè)例子來(lái)展示傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題和數(shù)學(xué)建模題以及他們的求解過(guò)程，例1是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，例2是選自《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)估指南》中的數(shù)學(xué)建模題。

例1：李華家附近有一個(gè)加油站A，汽油的油價(jià)為7.65元/升，而在另一個(gè)距離他家8公里的加油站B，汽油的油價(jià)為7.35元/升。已知李華家的汽車(chē)每公里燒油0.48元，現(xiàn)需要加30升汽油，請(qǐng)問(wèn)去哪個(gè)加油站加油比較劃算。

例2：思考一個(gè)實(shí)際的生活問(wèn)題：

我們都知道的汽油的價(jià)格是極其不穩(wěn)定的，在同一個(gè)城市同一時(shí)間段很多加油站油價(jià)可能都有所不同。有時(shí)油價(jià)便宜的加油站可能離我們有些距離，那么便宜的那一點(diǎn)油價(jià)是否值得我們開(kāi)車(chē)前去？請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助我們分析什么條件下值得開(kāi)車(chē)前去便宜的加油站加油。

（挖掘數(shù)據(jù)）首先，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)和調(diào)研收集資料，了解到附近的加油站A的油價(jià)為7.65元/升，又找到最便宜的加油站B，油價(jià)為7.35元/升。

（作出假設(shè)）接下來(lái)，為了合理，兩個(gè)加油站都加等量的汽油，然后，假設(shè)30升作為所加的汽油的量。

（數(shù)學(xué)求解）接著，有

在加油站A加油的花費(fèi)為：7.65*30=229.5（元）

在加油站B加油的花費(fèi)為：7.35*30=220.5（元）

在加油站B加油節(jié)省的費(fèi)用：229.5-220.5=9（元）

因此，在便宜的加油站B加油可以省9元。

（迭代發(fā)現(xiàn)不能反映事實(shí)）這時(shí)，有人發(fā)現(xiàn)上面的解答忽略了兩個(gè)加油站之間的距離，得到的結(jié)論不合理，那么怎么來(lái)計(jì)算這段距離消耗的油？此時(shí)，需要找出兩個(gè)加油站之間的距離，以及考慮到車(chē)每公里燒油多少？

（需重新作出假設(shè)）當(dāng)他們解決上面的小問(wèn)題后，發(fā)現(xiàn)僅僅解決了問(wèn)題中的一種特殊情況，油價(jià)、加油的量、加油站之間的距離、車(chē)型的油耗都是特定。這時(shí)，他們需要變量來(lái)代替數(shù)量。為了更加完善，需要反復(fù)的修改假設(shè)，又建立新的模型，進(jìn)行求解迭代。

數(shù)學(xué)應(yīng)用題與建模問(wèn)題的轉(zhuǎn)換。正如上面兩個(gè)例子表明，一個(gè)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。例1中的距離、油耗、油價(jià)都是具體的，它只需要進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算即可得出結(jié)果。然而，數(shù)學(xué)建模問(wèn)題呈現(xiàn)為一種模糊的狀態(tài)，沒(méi)有明確的數(shù)據(jù)，所給條件不經(jīng)過(guò)加工也不能用，例2沒(méi)有任何的已知條件，其實(shí)例1就是例2的具體化，是一種特殊情況，而例2就是例1的一般化。從一般到具體就是將數(shù)學(xué)建模題添加參數(shù)、給出數(shù)據(jù)就轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，從具體到一般就是將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的參數(shù)隱藏、添加解釋即可得到一個(gè)數(shù)學(xué)建模題，一個(gè)好的建模問(wèn)題必須足夠的開(kāi)放，給學(xué)生充足的空間讓他們?cè)诮鉀Q的過(guò)程作出自己的抉擇。

3.數(shù)學(xué)建模題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的評(píng)價(jià)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題通常是有唯一的正確答案，在進(jìn)行評(píng)判時(shí)，更多地是看學(xué)生的作答是否正確，學(xué)生在作答的過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)的批判性思維要求不高，按照題目要求求解，并規(guī)范作答就可以得到滿分。然而，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的評(píng)價(jià)較為不同。數(shù)學(xué)建模沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的答案，數(shù)學(xué)建模往往呈現(xiàn)的結(jié)果沒(méi)有最好，只有通過(guò)不斷地修改完善模型使結(jié)果變得更好。在這過(guò)程中，學(xué)生既要不斷的反思，需要具有高度的批判精神。因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)建模往往是一個(gè)過(guò)程，不是像傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題簡(jiǎn)單套用公式能夠解決問(wèn)題，它需要反復(fù)修改假設(shè)、模型，進(jìn)而求解、迭代、完善模型，最終能夠反映實(shí)際問(wèn)題中的事實(shí)。當(dāng)數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)時(shí)，不能只關(guān)注最終的結(jié)果，應(yīng)該是更注重學(xué)習(xí)的過(guò)程。觀察學(xué)生在建模過(guò)程中解決什么問(wèn)題，給出的數(shù)學(xué)模型是否能反映實(shí)際，幫助學(xué)生修改數(shù)學(xué)模型，使其得到更好的結(jié)果。或許在修改的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師自己對(duì)學(xué)生給出的模型不是很了解，這時(shí)數(shù)學(xué)教師要調(diào)整自己的角色，與學(xué)生一起去查找相關(guān)的資料、共同解決，幫助學(xué)生得到一個(gè)更完善的數(shù)學(xué)模型、一個(gè)更符合實(shí)際的結(jié)論，相信這樣做一定比直接給學(xué)生一個(gè)分?jǐn)?shù)更有意義。

4.數(shù)學(xué)建模題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的育人價(jià)值

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的目的是為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，多在檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。而數(shù)學(xué)建模在此基礎(chǔ)上更多強(qiáng)調(diào)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題不同于純粹的數(shù)學(xué)題，它是具有一些人文、思想的教育價(jià)值，它可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，又應(yīng)用于生活，可適當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)學(xué)生的理解能力、語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力、實(shí)踐應(yīng)用能力等。然而，數(shù)學(xué)建模是一種獨(dú)立而又綜合的素養(yǎng)，錯(cuò)綜復(fù)雜的建模過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生各個(gè)方面的素養(yǎng)。從知識(shí)技能層面來(lái)說(shuō)，它將數(shù)學(xué)知識(shí)各部分的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，在建模的過(guò)程中往往既需數(shù)學(xué)與代數(shù)的知識(shí)，又需要圖形與幾何和概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)。同時(shí)，解決一個(gè)數(shù)學(xué)建模題除了數(shù)學(xué)學(xué)科以外還涉及其他多個(gè)學(xué)科，這樣一來(lái)可以促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科的思維的發(fā)展。所以，數(shù)學(xué)建模既可以說(shuō)明各科課程的相關(guān)性，又拓寬了學(xué)生的視角，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用題無(wú)法給予的。從情感態(tài)度層面來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模題是開(kāi)放性的可以更好的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，在解決數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)生可以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的真正價(jià)值;數(shù)學(xué)建模往往強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)合作，很好地培養(yǎng)他們團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，而在這個(gè)過(guò)程學(xué)生需要不斷與隊(duì)友以及其他團(tuán)隊(duì)的溝通交流，可促進(jìn)他們的交流表達(dá)能力的提升。再者，數(shù)學(xué)建模教育不是精英教育，而是大眾教育。有研究表明學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是對(duì)數(shù)學(xué)建模的能力有所影響但不存在正相關(guān)性，數(shù)學(xué)建模可以讓數(shù)學(xué)成績(jī)差的學(xué)生增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，數(shù)學(xué)建模題可以提升學(xué)生多方面的能力，從而有效的提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介

楊昌紅（1996-），女，貴州麻江人，吉首大學(xué)，在讀研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

顏寶平（1970-），男，云南文山人，銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，碩士、教授，主要從事數(shù)學(xué)教育及倒向隨機(jī)微分方程研究。

[基金項(xiàng)目]高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查與策略研究——以銅仁地區(qū)為例（Jdy19008）