有限元法在機械結構誤差分析中的應用

劉海龍?蘇加光

摘要：在科學技術進步和經濟社會的發展的推動下，生產、生活的機械化和智能化已經得到廣泛應用。在機械設計、使用過程中不可避免會產生誤差，怎么避免、減小誤差是保證機械結構穩定性的重要因素。當前傳統的誤差分析方法已經落后于社會發展的需求，有限元法的出現有效解決了機械結構誤差分析問題。本文就此展開探討。

關鍵詞：有限元法;誤差分析;機械結構

近年來科技領域取得長足發展。上世紀五十年代，Turner、Clough等人將剛架位移法的思路進行推廣，并在求解決彈性力學平面問題上取得了不錯效果。求解過程中首先要把連續體劃分為許多小單元，三角形或是矩形單元，每個子單元的位移函數選用合適的近似表達式;而后求解子單元剛度矩陣;最后建立單元節點位移、節點力間的方程。“有限元法”的命名，最早由Clough提出。當下計算機水平的發展，為有限元的求解提供了便捷工具，使其應用范圍更加廣泛。

一、有限元法概述

有限元法具有求解效率高、求解思路簡單、使用方便的特點，在大型復雜結構、多自由度體系的分析中具有明顯優勢。最早的有限元法求解過程以變分法為基礎，在可微分方程描述的各類物理場中都可以應用。機械機構誤差分析以物理學理論為基礎，使用有限元法可以有效提高求解效率。有限元法最為突出的特點是使用了離散的概念，有機結合了數值法與解析法，將整體分析問題轉化為分段求解的問題。求解思路主要可以分為以下步驟

步驟1：整體結構離散化，以單元、節點分析來代替整體分析。平面問題離散為三角形單元、矩形單元，空間問題離散為四面體、多面體等。單元間通過有限個特點節點連接。

步驟2：局部單元分析，求解局部單元內部節點位移、節點力間的關系式。利用位移插值函數近似確定單元內部的點與節點位移之間的關系，求解單元的應變、應力關系，最后得到節點力、節點位移關系式。

步驟3：整體分析，由單元分析轉變為整體分析，建立節點與外部邊界條件的關系式，對有限個單元作分片插值求解各種力學問題。

近年來，有限元法隨著高速電子計算機技術的成熟而迅速發展，各類工程問題的求解都是用到了有限元法，包括機械結構誤差分析。

二、有限元法在機械結構誤差分析中的運用

（1）機械結構設計過程中的誤差

機械結構的設計過程要力學分析為基礎，同時綜合考慮幾何學、材料學等相關內容。為了實現機械結構設計的主要功能，設計過程中據需要分清主次變量，很多與功能要求關系不密切的變量會被忽略。有限元為設計人員提供了依據變量重要性進行變量分類的方法，以某一參數值來表示重要性。設計過程中各變量控制的誤差可以由方程求解，做近似判斷。機械結構設計誤差主要來自于：設計工具的誤差、設計者個人能力導致的誤差、復雜的設計工序導致的誤差等。

（2）機械結構制造過程中的誤差

機械制造過程中選用的制造方法、制造流程、制造工具等均有可能會產生誤差。為了實現機械制造的目的，制造過程中需進行主次變量的劃分，以便忽略某些次要變量。有限元法為制造人員提供了依據變量重要性進行分類的方法，以某一設定的參數值來表示變量的重要性。制造過程中各變量控制的誤差可由方程求解，做近似判斷。機械結構制造誤差主要來自于：制造工具導致的誤差、制造者個人能力導致的誤差、復雜的制造工序導致的誤差等。

（3）機械結構運轉過程中的誤差

機械結構在運轉過程中產生誤差的因素主要有：使用環境、摩擦、損耗、材料老化等。為了實現機械結構功能的長期、高效運轉，運轉過程同樣需要進行主次變量的劃分，以便忽略次要變量。有限元法為制造人員提供了依據變量重要性進行分類的方法，以某一設定的參數值來表示變量的重要性。使用過程中各變量控制的誤差可由方程進行求解，做近似判斷。機械結構運轉誤差主要來自于使用環境驟變導致的誤差，還有其它許多因素會產生的誤差這里不在贅述。

無論是在自然界，還是在人類社會的生產實踐中誤差是普遍存在的，機械結構的設計、制造、使用各個環節或多或少會存在誤差。誤差代表了實際與理論的差值，實際操作中無法做到徹底消除，但可以通過某些方法有效的控制誤差，使機械結構趨于完善。優化誤差需要首先確定影響誤差的變量以及各變量對誤差的影響成都。理論上所有與機械結構相關聯的食物都有可能會使其涉及、生產、使用等環節產生誤差任何與機械結構產生聯系的事物都有可能對機械結構造成誤差，但不是每個因素都要考慮，都，但并不是所有事物都計入到計算變量中，要依據其對誤差影響的程度進行篩選，將起決定性作用的因素記作變量，并設置參數來表示它對誤差的影響大小。誤差方程的設計，誤差值設為y，各變量依次為x1，x2，x3...，xN（N為變量的個數），各個變量相應的權重參數設為a，b，c，d...，最終y=a×x1+b×x2+c×x3+...。將實際觀測所得變量值、誤差值帶入上述方程。N個變量共得到N組觀測值，N個方程。聯立N個方程并求解即可得到a，b，c，...參數值，即各個變量對誤差的影響程度。

三、有限元法在機械結構誤差分析中的利弊

使用有限元法進行機械結構誤差分析主要優勢是求解思路簡單，借助計算機盡心計算效率高、操作方便。有限元法在軟件開放及應用方面具有顯著優勢，任何復雜的工程問題、多自由度結構求解問題都可以借助有限元計算軟件得到很好的解決。此外，使用有限元法進行機械結構誤差分析也存在一些弊端。首先，并不是所有對誤差產生影響的變量都可以找到、并合理計算，變量體系不完全、近似求解思路不合理都會導致誤差計算結果精確度下降。另外，針對汽車底盤、飛機引擎等復雜的機械結構，其控制變量數目過多，使用有限元法計算量巨大，對計算機及其它相關設備要求較高。

有限元法已經發展成為較為成熟的分析方法，在機械結構的誤差分析中的應用得到了普遍認可，其求解思路簡單、與計算機設備結合程度高等優勢，使其在提高機械結構的精確度及穩定性上發揮著越來越重要的作用。隨著信息技術手段的發展，有限元法的分析能力會越來越強，應用范圍會越來越廣泛。

參考文獻：

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