單圈圖的Wiener指標研究

邵 云

（滁州城市職業學院教育系，安徽滁州 230039）

分子的拓撲性質是分子的固有性質之一，而分子拓撲指標則反映了分子的性能。分子拓撲指標有多種，其中Wiener是最重要的拓撲指標，1947年由化學家H.Wiener提出，廣泛應用于統計化學、結構化學、有機化學和藥物合成方面[1]。單圈圖指一個連通圖具有相同的頂點數和邊數[2]。而Wiener指標是連通圖中所有兩點之間的距離和[3]。本文就對單圈圖Wiener指標的極值和邊平均Wiener指標進行研究，為Wiener的應用提供理論參考。

1 Wiener指標[4]

設圖G=(V(G),E(G))，其中V(G)、E(G)分別表示圖G的頂點集和邊集。令dG(u,v)表示圖中兩個頂點u、v之間的距離，定義

則圖G的Wiener指標W(G)為

2 單圈圖Wiener指標的極值

2.1 最小（大）Wiener指標

①對于n階單圈圖G，當且僅當G?A(n,3)時，W(G)獲得最小值n2-2n[3]。

②當單圈圖G的階數n＞5時，如果，那么

2.2 次小（大）Wiener指標

①設G為具有n個頂點的單圈圖，則當且僅當G?A(n,4)或H1，W(G)獲得第二小值n2-n-4[3]。

2.3 第三小（大）Wiener指標

2.4 第四小（大）Wiener指標[6]

3 n階單圈圖的邊平均Wiener指標

圖G的邊平均Wiener指標由WU Baoyindureng[7]首次引進，用W′e(G)來表示。

其中D′(f,g)是兩條邊f和g之間的平均距離。

對于一個頂點數為n的單圈圖G，其圈長為m，對于連通圖G，兩條邊f=uv和g=xy的距離D(f,g)為邊f和邊g兩個頂點之間的最短距離。其中

此時邊平均Wiener指標取整數的充要條件是：當且僅當4|m時，G的邊平均Wiener指標就取整數[8]。

3.1 最小（大）邊平均Wiener指標[9]

對于n階單圈圖，當n≥6，等號成立當且僅當G?C3(Pn-2)時，邊平均Wiener指標取最小值的條件為

等號成立當且僅當G?C3(Pn-2)，邊平均Wiener指標取最大值的條件為

3.2 次大邊平均Wiener指標[10]

對于頂點數n＞10的單圈圖，如果不同構，此時

當等號成立時，C3(Tn-2)是具有次大邊平均Wiener指標條件。

3.3 第三小（大）邊平均Wiener指標

對于n階單圈圖，與不同構，當n＞8時，有

4 結語

Wiener指標在單圈圖中有著廣泛研究。本文對最小（大）、次小（大）、第三小（大）、第四小（大）Wiener指標，以及最小（大）邊、次大邊、第三小（大）邊平均Wiener指標進行系統論述，有助于Wiener指標的更廣泛應用。