化歸法在解數學題中的應用

◎艾 玲 （沈陽理工大學理學院，遼寧 沈陽 110159）

化歸，就是把新問題轉化為已經解決的問題，許多數學問題在解法上凝聚與蘊含著化歸思想.那么，在實際應用中如何進行化歸，又向何處化歸呢？ 主要有三條途徑：向基本數學模型化歸，一般向特殊化歸，高層次向低層次化歸.

一、向基本數學模型化歸

我們知道，模型法是數學反映現實世界的基本方法.對于數學模型，已經建立了模式化的解題方法，若能把問題化歸到已知的數學模型中，則解決問題的方法就由這種模型的模式化的方法呈現出來.這里以函數模型和復數模型為例作一說明.

（一）化歸到函數模型

用導數判斷函數的性態給我們提供了很有應用價值的模型，在此介紹函數的導數模型.

例1已知a，b為實數，且 e＜a＜b，其中 e 為自然對數的底，求證：ab＞ba.

思考欲證ab＞ba，只需要證blna＞alnb，即證需要證在（e，＋∞）內是減函數即可.

證明設

所以當 e＜a＜b時

即blna＞alnb，

亦即ab＞ba，證畢.

（二）化歸到復數模型

例 2求二元函數的最小值.

所以f（x，y）≥8，

等號當且僅當 argz1＝argz2，

即x＝1，y＝3 時，f（x，y）取得最小值，最小值為 8.

本例是通過構造復數 z1，z2，并用其表示f（x，y），將所求問題化歸到復數模型上去.

二、向特殊化歸

對于一般性問題，我們總希望通過一些手段化為特殊的，再借助特殊性將一般性問題解決. 向特殊化歸的方法有許多種，這里以常見的正交變換為例說明化歸法的基本思想.

正交變換具有保持向量長度及夾角等度量不變的性質，即具有保持幾何形狀不變的優點. 還有一些方法（對應有多個可逆的線性變換）能把二次型化成標準型，如配方法、雅可比法等，注意到在一般的可逆線性變換之下，向量的長度要改變. 因此，正交變換是直角變換，它符合解析幾何的要求.

例3作直角坐標變換，把二次曲面方程

化成標準方程，并指出它是什么曲面.

解首先把二次曲面的二次項部分用正交變換化成平方和的形式. 設

該二次型的矩陣是

求出A的特征值λ1＝ 1，λ2＝ 4，λ3＝ 0，不難求得正交矩陣

作正交變換

把二次型f化成標準形為f＝x′2＋4y′2.

因此作直角坐標變換（2），也就是把

代入二次曲面方程（1），整理，得

將新方程的左端配方，得

作坐標系的平移

得到在直角坐標系O?－x?y?z?下的方程

上式是二次曲面（1）的標準方程，它是橢圓拋物面. 把式（3）代入式（2）就得到化方程（1）為標準方程的直角坐標變換公式如下：

可見要判斷二次曲面的類型，需要用直角坐標變換將其中三元二次型部分的交叉項消去，即變成標準形，再通過坐標平移，即可得到二次曲面的標準方程. 變換就是改變形式，對于不同的數學對象，變換的形式和手法也是不同的，這里就不一一舉例了.

三、高層次向低層次化歸

一般地，事物的發展遵循從低層次向高層次過渡，但解決問題時，常把高層次逐步化歸到低層次，把復雜化歸到簡單.這里以解高階微分方程為例說明化歸的基本思想.

高階方程沒有一般解法，但對于幾類特殊的高階方程，可采用適當的變量置換化歸為低階方程來求解.

（1）y（n）＝f（x）逐次積分即可求解

（2）y″＝f（x，y′）方程不明顯含y

令y′＝p，則

方程可化為關于x，p的一階方程

（3）y″＝f（y，y′）方程不明顯含x

令y′＝p，則

方程可化為關于y，p的一階方程

例 4求解

分析方程不明顯含y，同時又不明顯含x，故有兩種解法，這里只給出其中一種解法.

解令y′＝p，則方程可化為

解得y′＝p，

積分，得方程的通解（x＋C1）2＋（y＋C2）2＝1.

綜上所述，可以看出化歸法的應用范圍很廣，但化歸法的應用比較靈活，沒有固定的程式，對不同的問題要具體分析.學生只要平素多做練習，注意積累解題經驗和技巧，化歸法并不難掌握.