案例教學法在高中數學中的有效應用及數學建模思想的滲透

◎管妍雪 趙 雪 （北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013）

隨著我國新課程改革的不斷深化，如何提高課堂教學效率已經成為擺在眾多教育教學工作者面前的重要問題.在高中數學的教學過程中，如何提高學生的學習興趣，如何能使學生更加透徹、深入地掌握復雜的概念性知識和靈活多變的解題方法，是教師要深入探討和研究的問題.通過查閱大量文獻以及教學實踐，我們可以發現，在高中數學課堂中引入案例教學法，可以很好地“實現教師為主導，學生為學習的主體”的教學新理念.本文主要闡述了案例教學法在高中數學課堂中的幾個有效應用.

一、案例教學法

案例教學法以案例作為教學基礎，它的典型特征是目的性、客觀性、真實性、綜合性、誘導性、實踐性.案例教學法的主要目的是使學生在教師的引導下，能對生活中、社會中不同的案例進行一系列的分析和探討，最終提高發現問題、分析問題和解決問題的能力.案例教學法打破了常規的教學模式，使其從單一的傳授知識轉變為教會學生學習，在充滿互動的環境中實現雙向性學習，在調動學生學習積極性的同時，提高課堂教學效率.

二、案例教學法在高中數學課堂中的應用

1.引用生活化案例提高學生學習興趣，提高學習效果

新課程大綱明確指出，數學教育的主要目的就是讓學生在生活經驗與知識經驗中學習有關數學知識并理解數學知識.因此，在高中數學教學中，教師要運用生活化的案例，讓學生理解數學與生活之間的聯系，注意生活細節中的數學問題，充分調動學生對數學的學習興趣，提高學生的學習積極性的同時，提高課堂教學效率.

例如，在高中數學“空間點、線、面的位置關系”的教學中，學生對于抽象的立體幾何很難理解，因此有很多學生感覺這部分知識很抽象，很有距離感.為了讓學生更加深入地理解這部分知識，教師可以借助學生熟悉的生活實例設計生活化案例，幫助學生更好地理解這部分知識.

案例1根據《西游記》的情節，教師提出問題：孫悟空為什么永遠飛不出如來佛祖的五指山？ 如果將如來佛祖的手抽象成一個平面，由于平面的性質之一是可以無限延伸，因此孫悟空永遠都飛不出去.這其中就蘊含了“平面具有延展性” 的數學知識.

案例2有很多攝影愛好者，他們的必備工具之一就是三腳架，教師提出問題：為什么用三腳架來固定相機的位置呢？ 為什么不用四腳架或者兩腳架？ 學生仔細觀察三腳架的位置關系就會發現 “三點定面” 的數學概念.

教師應結合學生身邊的實際問題設計生活化案例，在給學生充分親切感的同時，加深了學生對抽象概念的理解，簡化了數學教學的內容.教師要想增加學生處理實際問題的能力，就要重視在高中數學教學中引入生活化案例，達到預期的教學目標.

2.引用數學史案例激發學生主觀能動性，提高學生參與度

數學史是研究數學的起源、發展及其規律的科學.目前，數學史已經成為數學課程的有機組成部分.在數學教學中，合理地引用數學史案例，不但有利于學生獲取數學知識，培養數學思想方法，樹立正確的數學觀，體會數學的源遠流長，而且有利于激發學生的主觀能動性，提高學生在數學課堂中的參與度，從而提高課堂教學效果.

例如，在“等差數列的前n項和”的教學實踐中，教師在進行導學時可以引用數學王子高斯的故事：高斯被認為是有史以來最偉大的三位數學家之一，在他十歲的時候，他的數學老師給他出了一道難題：計算 1＋2＋3＋…＋100 ＝？ 他的小伙伴都被難倒了，只能按照題目的要求一個一個地加起來，這個時候高斯起來說：“老師，我已經算好了！” 對于老師和同學們的驚訝，高斯解釋道：“因為 1＋100 ＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，像這樣的 101 一共有 50 個，所以最后的結果就是 50×101＝5050.”

教師問學生：“同學們看懂高斯的計算方法了嗎？ 這種方法能不能用在別的題目上呢？ 如我們學過的等差數列求和，你能得到什么樣的結論呢？”

教師繼續說：“高斯這種計算方法的前提條件是有偶數個數相加，那么，如果想求奇數個數相加的時候，又該怎么算呢？ 其實這個問題在很早之前就已經被解決了，我國北宋時期著名的政治家、科學家沈括完美地解決了這個問題，他的方法叫‘隙積術’ ，也是他最著名的成果之一（可用多媒體來展示出自《夢溪筆談》的隙積術及其翻譯）.在當時，‘隙積術’主要用于計算堆砌的酒壇子等堆垛物體的體積，它也可以轉化為我們要研究的等差數列前n項和的求法，具體怎么做呢？ 同學們分組討論一下.”

由此引入了倒序相加法，以教師為主導，學生為主體，小組討論共同完成了等差數列前n項和公式的推導.在學生將自己的思路呈現出來的過程中，教師可以引導學生發現并總結數學規律.教師還可以讓一部分學生在黑板上展示自己的思路，其他學生進行糾錯，共同發現其中的數學知識.

3.引用數學模型案例培養數學建模思維，提高學生解決實際問題的能力

數學建模思想是新課程改革中的數學核心素養之一.研究表明，在高中數學課堂上培養學生數學建模思想的過程中，雖然真實案例的數學建模相對更難，但是更能吸引學生對數學建模的好奇心和興趣點.引用數學模型案例來培養學生數學建模的思想，能激勵學生參與到數學建模的活動當中.在數學模型案例的教學中，教師要充分發揮引導者的角色，在培養學生合作能力的同時，培養學生將數學理論應用于實際問題、解決實際問題的能力，鍛煉學生的數學建模思想.

例如，在日常課堂教學過程中，過難的數學模型案例會導致學生無從下手，甚至交白卷，過易的數學模型案例又達不到原有的教學目的，所以，如何挑選一個難度適宜的數學模型案例是關鍵.適宜的數學模型案例可以增強學生對數學建模的自信心，有助于培養學生在日常生活中發現問題、建立模型、模型求解并最終解決實際問題的能力，以下給出兩個案例.

那天晚上，一杭怎么也睡不著，索性起床，下樓，打車去了雪螢租住的城隍公寓。公寓大門緊閉，保安亭的燈已經熄了。他有些失望地在解放北路游蕩。

案例3目前，越來越多的可再生能源出現在我們的生活中，如風能、太陽能、核能等，我們在每天的天氣預報中都能看到不同的風級預報.獲取風能的風車也因此獲得了不同的功率，那么，不同的風力和風車獲得的功率之間有什么關系呢？ 試著建立一個數學模型來解決這個實際問題.

想要建立數學模型解決實際問題，首先要找到有關的變量.在這個問題中，教師引導學生發現其中的變量有速度v、面積s、空氣密度ρ、功率p.其次，為了解決這個實際問題，學生應該在教師的指導下分組討論，查閱相關書籍，獲取相應的量綱：

［v］＝LT－1，［s］＝L2，［ρ］＝ML－3，［p］＝ML2T－3.

在此基礎上，假設每個變量之間的函數關系為f（v，s，ρ，p）＝ 0，給出函數中各個項的形式 π ＝vα1sα2ρα3pα4.根據查閱資料可知量綱齊次原理［π］＝1，結合本題中的各變量的量綱，有：

建立好數學模型之后就要對模型進行求解，在教師的指導下，學生以小組為單位對模型進行求解，得α1＝－3，α2＝－1，α3＝－1，α4＝1，所以可以求出 π ＝v－3s－1ρ－1p.因為最開始假設的函數關系為：f（π）＝ 0，也就是說，π ＝λ（常數），從而可得出以下關系：v－3s－1ρ－1p＝λ，進而可得p＝λv3sρ，λ為常數.

最后，學生在教師的引導下，小組探討后對所求的實際問題給出解釋：通過所求的數學模型很容易發現，風速越大，風車功率就越大； 風車迎風面積越大，風車功率也會越大； 空氣密度越大，風車功率同樣越大.

案例4學校周邊有許多鮮奶吧售賣酸奶等奶制品，細心的同學會發現，到了夏天，奶制品的需求量會增加，但是所需原材料鮮奶的儲存費用也會隨之增加，那么鮮奶吧要多久訂購一批鮮奶才能獲得最大利潤呢？ 試著建立數學模型對這個實際生活中的案例進行求解.

要解決這個實際案例，學生要先去走訪周邊的鮮奶吧收集數據.假設在每天都有足夠的奶制品供應給學生的情況下，每次鮮奶吧訂購鮮奶的費用為5000 元，每千克鮮奶每個月的存儲費為0.2 元，一個鮮奶吧平均每月對鮮奶的需求量為6000 千克，在這些數據的基礎上，設單位時間內對鮮奶的需求量為D千克，每次訂購鮮奶為Q千克，訂貨的周期為T，單位時間的存儲費為Cp元，給出必要的模型假設：這里把鮮奶的需求看作連續均勻的.

建立相應的數學模型，根據各個變量間的內在關系可知，一個周期T內的存儲費為由于訂購鮮奶的費用為CD，那么一個周期T內所需要的總費用為以下函數關系式：

根據所收集到的數據，將單位時間T考慮為1 個月，則每月鮮奶的需求量D＝6000 千克，每月每千克牛奶的存儲費Cp＝ 0.2 元，則每次訂購鮮奶的費用為CD＝ 5000 元，所以可以求出最佳訂購周期

除此之外，生活中還有許許多多常見的案例可以用來培養學生的數學建模思想及解決實際問題的能力，使學生真正做到學數學是為了用數學的宗旨，在這里，本文給出兩個比較簡單的案例以供參考.

案例5冬天的操場上有很多積雪，同學們課間堆起了雪人，雪人融化時組成雪人的兩個雪球的半徑減小量與時間成正比，現在發現堆好的雪人在兩個小時后變成了原來的那么還需要多久雪人才會全部融化？

案例6菠蘿是很多同學愛吃的水果，仔細觀察會發現，在削菠蘿的過程中，很多商販會在菠蘿上留下一條螺線，給人一種美的感覺，從數學的視角來看，為什么人們比較喜歡這樣的菠蘿？

在引入數學模型案例的過程中，教師可以根據學生的具體情況，如年級、個性差異、知識水平等，選取難易程度不同的案例，從數學模型的子能力 （模型假設、模型構成、模型求解、模型檢驗） 出發，逐步訓練學生的數學建模素養，培養學生解決實際問題的能力.

三、結束語

教師在使用案例教學法時，應及時對學生的思路和分析過程進行點評和指導.教師在分析案例和解決問題的過程中，針對學生思維不嚴謹、解題不正確等問題，教師要及時糾正.教師在教學中要在結合實際的基礎上引入案例教學，緊扣教學目標，選取合適的教學案例，將案例教學法的作用與效果發揮到最大，從而提高課堂的教學效率.