幾何直觀 靈動解題思維

◎王春琳 （廈門市康樂小學(xué)，福建 廈門 361000）

解決問題是《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的總體目標(biāo)之一.小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)完各單元知識后感覺掌握得還不錯(cuò)，但要綜合應(yīng)用知識解決問題時(shí)又束手無策.究其原因：或題目意思不明確，不懂用什么方法解決；或題目要求太高，超出學(xué)生現(xiàn)有的能力水平；或題中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，無從下手；或題目太抽象，學(xué)生現(xiàn)有的思維水平不能直接解答.學(xué)生無法從抽象的語言中分析數(shù)量關(guān)系，影響下一步的解決問題的思維運(yùn)行.而幾何直觀可以借助恰當(dāng)?shù)膱D形、幾何模型進(jìn)行解釋，能夠啟迪思路，幫助學(xué)生理解抽象的內(nèi)容和方法.結(jié)合平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者從以下幾方面充分利用幾何直觀優(yōu)勢，撬動學(xué)生解決問題的思路，讓解決問題的思維靈動起來.

一、幾何直觀呈現(xiàn)，清楚題意，啟發(fā)解題思維

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，正如美國數(shù)學(xué)家阿蒂亞所言：“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位.所以，幾何中首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察.”這里的“用形象思維洞察”的意識、能力，就是幾何直觀.小學(xué)生思維以具體形象思維為主，特別是低年級學(xué)生的形象思維更為突出，他們對語言文字的理解還處在初級階段.從抽象的文字里提取數(shù)學(xué)信息，再用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識列出算式解答，這對于部分學(xué)生來說是有一定困難的.如何讓低年級學(xué)生用所學(xué)的知識靈活解決生活中的問題，幾何直觀發(fā)揮了非常重要的作用.

如二年級數(shù)學(xué)上冊“乘加乘減解決問題”：小明和爸爸、媽媽、爺爺、奶奶一起去動物園，成人門票每人8 元，兒童門票每人4 元，請問：小明一家需要花多少錢？ 根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，會有不少學(xué)生直接列式為8＋4 ＝12（元）.學(xué)生習(xí)慣了一年級的解題思維，看到兩個(gè)數(shù)不是加就是減.為了讓學(xué)生在這段文字中提取正確的數(shù)學(xué)信息，也為了避免出現(xiàn)以上錯(cuò)誤，課上不急著讓學(xué)生列式，而是讓學(xué)生用自己的方式把題目表達(dá)的意思“畫”出來.

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體有四種表現(xiàn)形式：一是實(shí)物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀，四是替代物直觀.通過這樣的“畫”，學(xué)生把抽象的文字題目用自己喜歡的圖直觀呈現(xiàn)，或用簡約的符號直觀再現(xiàn).學(xué)生對題目所表達(dá)的意思一目了然，從圖中直觀可見就是求4 個(gè)8 和一個(gè)4的總和問題，即列式為“8×4＋4”.這樣一來，教師就不用擔(dān)心學(xué)生列式為“8＋4”了.根據(jù)直觀圖，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，可以把兒童票看成成人票，這樣就是從5 個(gè)8 中減4，即列式為“8×5－4”.通過“畫”將題目意思直觀呈現(xiàn)，學(xué)生的解題思維得到啟發(fā)，解題方式也得到拓展.

二、幾何直觀幫助，化繁為簡，撬動解題思維

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，往往越需要形象直觀的模型作為解釋和支撐，正如笛卡兒所說的，“起始原理本身則僅僅通過直觀而得知”.正所謂“物極必反”——越是抽象的數(shù)學(xué)對象，其數(shù)學(xué)本質(zhì)越有可能用簡單直觀的圖形來表達(dá).所以，對于抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，有時(shí)候需要簡單直觀的模型幫助其找到問題隱藏的規(guī)律，將復(fù)雜的問題置于簡單直觀的模型中，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，靈動解決問題的思維.

如四年級“植樹問題”：在一條200 米長的公路兩旁種樹，每隔5 米種一棵，需要準(zhǔn)備幾棵樹苗？ 200 米數(shù)據(jù)有點(diǎn)大，怎樣分析才能讓學(xué)生理解？ 課堂中讓學(xué)生先用畫圖的方法解決在20 米長的路上每隔5 米植樹的問題.學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，畫出各種圖形，如下：

這些小樹圖、線段圖、點(diǎn)子圖等，就是通過簡約符號直觀、圖形直觀或替代物直觀，形象、直觀地呈現(xiàn)植樹問題.學(xué)生從直觀的圖形中容易理解20 米長的路上如何植樹，理解每隔5 米的含義.在討論交流中，學(xué)生還會發(fā)現(xiàn)并不只有“20÷5＝4（棵）”這一種情況.通過直觀圖，大家可以發(fā)現(xiàn)植樹問題的三種情況.教師根據(jù)學(xué)生自主探究得到的結(jié)果進(jìn)行整理并板書三種情況下植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系.學(xué)生有幾何直觀圖的幫助，不但找到了解題方法，還能印象深刻地記住這三種情況，在實(shí)際應(yīng)用中避免了死記套用.從簡單的問題研究得出結(jié)論，最后利用這樣的結(jié)論解決復(fù)雜的問題.幾何直觀可以化繁為簡，靈動學(xué)生的解題思維，是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法.

三、幾何直觀展示，厘清關(guān)系，解凍解題思維

數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)不但抽象，有時(shí)數(shù)量關(guān)系之間錯(cuò)綜復(fù)雜，也讓學(xué)生在解題時(shí)無從下手.這時(shí)厘清數(shù)量關(guān)系是解題的首要任務(wù)，如何厘清題目中的數(shù)量關(guān)系？ 當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授提出，“幾何直觀是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.”直觀圖形可以展示數(shù)量之間的關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系置于直觀的圖形中，把學(xué)生從解決問題困惑中解凍出來.

比如，五年級下冊“分?jǐn)?shù)解決問題——喝牛奶的問題”：一杯純牛奶，第一次喝了杯，兌滿水后又喝了杯，再兌滿水后又喝了杯，再兌滿水后把杯里水喝完了，請問：小明一共喝了多少牛奶，多少水？ 這樣的數(shù)量看似簡單，但是關(guān)系是復(fù)雜的，有牛奶又有水，每次加入的水又與牛奶混合在一起，如何讓學(xué)生從抽象的數(shù)量關(guān)系中厘清“牛奶”和“水”之間的關(guān)系就是解題的關(guān)鍵.為了讓學(xué)生直觀感受到喝牛奶與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，我?guī)еＤ毯退M(jìn)入課堂，并將喝牛奶的過程用直觀圖演示給學(xué)生看，讓學(xué)生清楚地看到每一次喝了多少牛奶，喝了多少水，這樣的實(shí)物與圖形的直觀展示，讓學(xué)生明白：只要抓住每次喝了多少牛奶就可以解決問題.第一次喝杯牛奶；第二次喝了剩下的杯牛奶的杯；第三次喝了剩下杯牛奶的杯.依次類推，而且從直觀圖可以發(fā)現(xiàn)，每次喝的牛奶也是前一次喝的這樣的直觀展示不但解決了題目給的問題，還能從直觀的圖形中看到極限數(shù)量關(guān)系，學(xué)生的極限思維也得到了鍛煉.

再如，數(shù)學(xué)中的倒推問題：“張老師買來一盒筆要獎勵(lì)學(xué)生，第一天獎勵(lì)用去這盒筆的第二天、第三天獎勵(lì)分別用去這盒筆當(dāng)天剩下的最后盒子里還剩48 支筆，請問：張老師買的這盒筆原來有幾支？”這道題的難點(diǎn)是每次用去的分率所占的單位“1”都不同，都在變化，因而找到每一個(gè)分?jǐn)?shù)所對應(yīng)的單位“1”是解題的關(guān)鍵.如何找到對應(yīng)的單位“1”的量，厘清這些數(shù)量之間的關(guān)系？ 找線段圖來“幫忙”，從線段圖可以直觀看到每一次的單位“1”的量與上次剩下的量之間的關(guān)系，找到解題的關(guān)鍵.

在抽象的數(shù)學(xué)語言和復(fù)雜多變的數(shù)量關(guān)系中，如何直觀形象地厘清它們之間的關(guān)系？ 借助學(xué)生熟悉的圖形或替代圖形厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生理解題意，從而找到解題的關(guān)鍵，靈動解題思維.

四、幾何直觀演繹，回歸本質(zhì)，靈動解題思維

幾何直觀不僅在代數(shù)里發(fā)揮著重要的作用，在圖形與幾何知識里也扮演著重要的角色.圖形可以直觀演示幾何圖形本質(zhì)，可以演示各種情況，從而開闊學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的解題思路.

如圖①，請根據(jù)圖中條件求出涂色部分的面積.要求△ABD的面積，必須知道它的底和高，可是圖中給的是△ACD的底和高，兩個(gè)三角形看似毫無關(guān)系.學(xué)生一時(shí)無從下手，教師用課件動態(tài)演繹去除一些信息，出示圖形②，這時(shí)學(xué)生大叫：“我知道了，太簡單了，求出△ACD的面積就等于求出△ABD的面積.”解題原理想必大家都看明白了：平行線間，等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.這就是幾何直觀的魅力，將復(fù)雜的圖形用直觀的演示展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生看到圖形的本質(zhì)特征，觸動他們解決問題的思維.教師順勢利導(dǎo)：“從圖中你還能找到哪些面積相等的圖形？ 說明理由.”這時(shí)，學(xué)生的思維被激發(fā)了，不但根據(jù)等底等高知識找到了△ABC和△BCD的面積是相等的，還通過減去公有的三角形面積，得到△AOB和△DOC的面積也相等.

幾何直觀不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫串在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中.幾何直觀不僅能利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)問題，還能幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化.幾何直觀能夠直觀呈現(xiàn)問題含義，展示數(shù)量之間的關(guān)系，演繹圖形本質(zhì)，找到解決問題的方法，從而靈動學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生的思維深度和廣度都得到提升.