中職數學“任意角的概念”教學分析

◎胡紅香 （甘肅省天水市清水縣天水農校，甘肅 天水 741400）

在學習“任意角的概念”時，打破傳統教學模式的局限性，教師通過展示生活實踐與專業情景，吸引學生的學習興趣；通過具體的案例將初中角的概念推廣至任意角，讓學生體會將角推廣到任意角的必要性，引出角的概念推廣問題.

一、概念形成，體會探究歷程

角的定義：一條射線由位置OA繞端點O按順時針或逆時針方向旋轉到另一個位置OB的圖形.旋轉開始位置的射線OA是起始邊，終止位置的射線OB是終邊，端點O是頂點.先將概念展示給學生，讓學生通過教具展示，觀察角旋轉的位置.

任意角的概述圖

在中職數學中，任意角的三角函數是“任意角概念”的一個重要知識點，它同時是中職數學函數部分的重要內容，是落實中職數學中數形結合思想的教學內容.下面我們通過幾個例題探討任意角的教學知識.

例 1已知 sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0.

（1）2α是第幾象限角？

（2）（90°－α）是第幾象限角？

分析由 sinα·cosα＜0，知α在第二、四象限；由 sinα·tanα＜0，知α在第二、三象限.因此α為第二象限的角.

解（1）由題設可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），∴ 180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°（k∈Z），∴ 2α是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角.

（2）方法一∵ 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），

∴ －180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°（k∈Z）.

故 －90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°（k∈Z）.

∴ 90°－α是第四象限的角.

方法二因為角α的終邊在第二象限，所以角－α的終邊在第三象限.

將－α的終邊按逆時針旋轉 90°，可知 90°－α的終邊在第四象限內.

說明①在確定形如α＋k·180°角的象限時，一般要分k為偶數或奇數討論；②確定象限時，α＋kπ 與α－kπ 是等效的.

例2設MP和OM分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正確的是________（多選題）.

分析作出角的三角函數線圖像，由圖像進行判斷即可得到OM，0，MP之間的大小關系.

解MP，OM分別為角的正弦線、余弦線，如圖所示.

∴OM＜0＜MP，

∴答案為②.

說明此題主要考查的是任意角三角函數的知識點，通過作圖法對三角函數線的大小進行比較.

學生將所學知識與自身專業密切聯系起來，可以輕松完成教學任務.有利于學生加深對概念知識的了解，讓學生深刻感悟正負角的差異性，對于烘托課堂氣氛具有重要意義.

二、概念理解，引發解題競技

為了加深學生對任意角概念的理解，設置了練習鞏固、課堂競技等環節，為學生創造良好的學習氛圍，幫助學生科學理解相關概念.在概念理解過程中，使用科學比例可以將概念的非本質屬性剔除出來，把握概念的本質屬性，概括形成概念；通過反例可以讓學生剔除概念的非本質屬性，有效彌補正例教學的不足，有利于提升學生的數學思辨能力，加強學生對數學概念本質的理解.

例 3已知集合E＝｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F＝｛θ｜tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是區間（ ）.

分析解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數的符號、各個象限的三角函數值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況.本題可由三角函數的性質判斷，也可由三角函數線判斷，用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答也比較容易.

解由正、余弦函數的圖像性質，得因為當時，tanθ＜0，sinθ＞0，所以故選A.

例4有一個小于360°的正角，這個角的5 倍角的終邊與該角的終邊重合，那么這個角的大小應該是（ ）.

A.90° B.180° C.270° D.90°，180°或 270°

解設這個角為α，

則 5α＝k·360°＋α（k∈Z），

α＝k·90°（k∈Z）.

∵ 0°＜α＜360°，

∴α＝90°，180°或 270°.故答案選 D.

三、概念延伸，彰顯思維拓展

教師可以在學習完概念后，通過課后延伸環節，加強學生非第一象限角的認識與理解.在這個學習過程中，教師主要是通過學生的討論，讓學生對終邊相同的角有一個簡單的認識，對課堂學習的知識點進行總結，拓展學生的數學思辨能力，為后續的數學學習打下堅實的基礎.

例5下列說法中，正確的是（ ）.

A.第一象限的角是銳角

B.銳角是第一象限的角

C.小于90°的角是銳角

D.0°到90°的角是第一象限的角

分析本題涉及幾個基本概念，即“第一象限的角”“銳角”“小于 90°的角”和“0°到 90°的角”.在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆.因此，弄清楚這些概念及它們之間的區別，是正確解答本題的關鍵.

解第一象限的角可表示為｛θ｜k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，銳角可表示為｛θ｜0°＜θ＜90°｝，小于 90°的角為｛θ｜θ＜90°｝，0°到 90°的角為｛θ｜0°≤θ≤90°｝.因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k＝0 時的子集，故A，C，D 均不正確，應選B.

例6在平面直角坐標系中，畫出下列集合所表示的角的終邊所在區域（用陰影來表示）.

（1）｛α｜k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z｝；

（2）｛α｜k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z｝.

分析本題主要考查的是任意角三角函數的解法，重點考查學生對數形結合思想的認知.主要運用作圖法來解題.

角α π 2 π 3π 2 2π sin α cos α tan α

變式問題1：已知角α的終邊經過點P，點P的坐標為（2a，3a）（a＞0），試求角α的三角函數值.

變式問題2：已知角α的終邊與直線y＝3x重合，試求角α的三角函數值.

在教學過程中，教師可以引導學生思考如下問題：若沒有限定參數a的符號，又該如何計算呢？ 教學時可以引導學生采用如下思路來分析：分類討論a的符號→確定點P所在的象限→構建求解角α的模型→轉化三角函數式.

對于“任意角的三角函數”的概念教學，教師要尊重學生的認知水平，關注知識的衍生過程，合理設置預設；在定義概念時，教師需要設置具有啟發性的問題，充分調動學生參與思考，讓學生體會概念生成的過程；教師采用應用強化、思想滲透的方式幫助學生內化概念，發展學生的思維，使學生獲得知識和能力的雙重提高.

總之，在概念課的相關教學過程中，要根據學生的具體學習特點，有針對性地設置教學目標，展開適合學生個性化發展的教學計劃，為學生營造良好的學習氛圍，提升學生的數學思辨能力，加強其對任意角概念的理解.