例談勾股定理中的數學思想方法

◎劉 楊 劉 君 （北華大學數學統計學院，吉林 吉林 132013）

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》在第三部分“課程內容”第三學段（7－9 年級）圖形與幾何中明確指出：“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.”為了達到這一目標，教師在設置習題時應遵循“精選、多變、巧練”的原則，通過典型例題的講解練習使知識形成網絡，讓學生學會舉一反三.教師要充分利用典型例題在教學中產生的效力，一方面讓學生透徹地理解和掌握數學中的基礎知識，熟練地運用數學的基本技能，另一方面培養學生對數學知識的應用能力和創新能力，讓學生能夠扎實地應用，積累更多數學活動經驗.下面筆者列舉四類典型習題，將勾股定理和四種數學解題思想聯系起來，讓學生在典型例題中形成強有力的知識正遷移.

案例1 利用勾股定理列方程求線段的長（方程思想）.

如圖1 所示，在平靜的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3 尺，一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為6 尺 ，問此處水深多少.

圖1

分析在利用方程解決實際問題時，最重要的是找出已知量和未知量，以及它們之間存在的等量關系.

根據題干我們可知：已知量為AB＝ 3，A1B＝6，AC＝A1C，未知量為BC.此時我們若設水深BC為x尺，則AC＝A1C＝（x＋3） 尺.在 Rt△A1BC中，由勾股定理可得A1B2＋BC2＝A1C2，可列方程 62＋x2＝（x＋3）2，解得x＝4.5，即水深 4.5 尺.

總結遇到上面這類實際問題時，我們首先把它轉化為數學問題，然后根據題意分析數量關系，在示意圖中體現已知量和未知量，找出等量關系，最后設出未知數，應用勾股定理構建方程，求出結果.這類典型例題是為了讓學生學會從生活實際問題中抽象出直角三角形的數學模型，培養學生的幾何直觀及建模能力，并體會數學來源于生活又應用于生活.勾股定理的表達式是一個等式，而含有未知數的等式就是方程.通過解答這道題目，我們總結經驗和方法，再遇到這類求線段長的問題時就可以利用勾股定理來解題了.

案例2 利用勾股定理求面積（類比思想）.

（1）如圖2 所示，分別以直角三角形的三邊為邊向外側作正方形，其面積分別記為S1，S2和S3.已知S2，S3的值分別是 9 和 4，求S1的值.

（2）如圖3 所示，分別以直角三角形的三邊為邊向外側作等邊三角形，其面積分別記為S1，S2和S3，求S1，S2和S3之間的數量關系表達式.

（3）若分別以直角三角形的三邊為直徑向外側作半圓，如圖4 所示，則（2）中所求得的表達式依然成立嗎？

圖2

圖3

圖4

分析（1）由正方形的面積公式可知：S2＝a2＝ 9，S3＝b2＝ 4.在直角三角形中，由勾股定理可知：a2＋b2＝c2.故S1＝c2＝a2＋b2＝S2＋S3＝ 9＋4＝13.

總結本題的解題關鍵是重點掌握特殊圖形的面積公式以及靈活運用勾股定理.這一組題的設置目的主要是讓學生感悟數學中的類比思想，不論題目如何變化，解題的思路是不變的.通過對此類型題的訓練，學生能達到舉一反三、觸類旁通的目的，能主動地發現規律并對其進行探究，培養學生的思維能力和創新能力.

案例3 勾股定理與三角形周長問題（分類討論思想）.

在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則△ABC的周長是多少？

分析周長等于所有邊長之和，因此本題需要先求出這個三角形第三條邊BC的長度.由于并未說明△ABC是何種類型的三角形，因此高AD的位置有兩種情況：可在三角形的內部，也可在三角形的外部.接下來我們需對這兩種情況進行討論：

當高AD在三角形內部時，如圖5 所示.在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝ 12，由勾股定理可求得在 Rt△ABD中，AB＝ 13，AD＝ 12，由勾股定理可求得則BC＝CD＋BD＝9＋5＝14，所以△ABC的周長為AC＋AB＋BC＝15＋13＋14＝42.

圖5

圖6

當高AD在三角形外部時，如圖6 所示.在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝ 12，由勾股定理可求得在 Rt△ABD中，AB＝ 13，AD＝ 12，由勾股定理可求得則BC＝CD－BD＝9－5＝4，所以△ABC的周長為AC＋AB＋BC＝15＋13＋4＝32.

綜上所述，△ABC的周長為42 或32.

總結讀題時要看清題干中是否含有“如圖所示”等字樣.若給出圖形，則按照所給圖形進行分析解答即可；但若未給出圖形，自己畫圖時需要考慮多種情況.本題的解題關鍵是在三角形形狀不明的情況下利用勾股定理求出第三邊的長，題干中出現了“高”這一關鍵詞，而三角形的形狀又會影響三角形高的位置，所以需要對高的位置進行分類討論.本題旨在讓學生理解：應用勾股定理時，若圖形未知，需要自己作圖，則一定要考慮多種情況，并進行分類討論.分類討論時要按照同一標準進行，避免遺漏或重復.分類討論思想是處理數學問題時常用的一種思想方法.這道題可以培養學生數學思維的條理性、靈活性及縝密性.掌握方法后，學生對類似題型可以全面規范地解答，有效提高處理習題的準確性.

案例4 勾股定理與立體幾何中的最短路徑問題（轉化思想）.

如圖7 所示，一只螞蟻從放在桌面上的實心長方體的頂點A出發，沿長方體的表面爬到對角頂點G處，其中AB＝ 4，BC＝ 2，BF＝1，螞蟻爬過的最短距離是多少？

圖7

分析想要求螞蟻爬過的最短距離，我們需要把立體圖形展開成平面圖形，找到起點和終點，然后根據“兩點之間，線段最短”找到最短路徑.這樣就將立體圖形中最短路徑問題轉化成了平面圖形中利用勾股定理求斜邊長的問題.由于展開有多種情況，所以我們要分情況討論頂點A到頂點G的距離.

當從右側展開時，如圖8 所示.在長方體中可知：BC′＝BC＝2，AB＝4，C′G1＝CG＝BF＝ 1，AC′＝AB＋BC′＝ 4＋2 ＝ 6.在Rt△AC′G1中， 由 勾 股 定 理 可 得

當從上側展開時，如圖9 所示.在長方體中可知：FG2＝FG＝BC＝ 2，BF＝ 1，AB＝ 4，BG2＝BF＋FG2＝ 1 ＋ 2 ＝ 3.在Rt△ABG2中， 由 勾 股 定 理 可 得

圖8

圖9

當從左側展開時，如圖 10 所示.在長方體中可知：C′D′＝CD＝AB＝4，AD′＝AD＝BC＝ 2，AC′＝AD′＋C′D′＝ 2＋4 ＝6，C′G3＝BF＝ 1.在 Rt△AC′G3中，由勾股定理可得：AG3＝

圖10

當從左上側展開時，如圖11所示.在長方體中可知：EF′ ＝EF＝AB＝ 4，F′G4＝FG＝BC＝ 2，AF′＝AE＋EF′ ＝ 1 ＋ 4 ＝ 5.在 Rt△AF′G4中，由勾股定理可得：

圖11

總結立體幾何中的最短路徑問題是重點，也是難點，解決此類問題可分三步：展、畫、求.“展”即將立體圖形展開為平面圖形，并明確立體圖形中有關的點與線段在平面展開圖中相對應的位置；“畫”即連接起點與終點，畫出最短線段；“求”即在直角三角形中根據勾股定理求出最短距離.在求解本題時，應注意長方體的平面展開圖有多種情況，因此，為了求螞蟻爬過的最短距離，需要對所有可能的情況進行討論并計算，通過比較確定最短路徑，得出最短距離.本題利用勾股定理解決立體幾何問題，培養了學生的空間觀念，結合數學中的分類討論思想，加深了學生對勾股定理和轉化思想的理解與運用.

結束語

勾股定理被稱為“千古第一定理”，是數學中聯系數與形的重要定理.我相信，通過對本文中四道勾股定理典型例題的學習、理解與應用，學生能體會題中所涉及的數學思想方法，達到整合知識、提高綜合能力的目的.學生能力的提高離不開教師的指引，教師要在教學中將數學中的基本思想、方法和數學知識有效結合起來，讓學生在腦海中形成系統化的思維導圖，這樣一定能使教學達到事半功倍的效果.