淺析高中數學函數的對稱性與單調性

◎劉振宇 劉 君 （北華大學數學統計學院，吉林 吉林 132013）

高中數學教材中，單調性是學生要掌握的函數的第一個基本性質，旨在讓學生觀察函數圖像，能夠運用數學符號語言來描述函數的變化規律，并由此解決一些相關問題.奇偶性是學生要掌握的第二個函數基本性質，運用數形結合的思想，用代數式來描述函數圖像的特點.奇偶性實際上是函數對稱性的兩種特殊形式.學生在做練習題時，對這兩部分知識的綜合運用并不是特別熟練，其原因是對這兩部分知識的實質與聯系未能扎實掌握.因此本文淺析對稱性與單調性的本質與聯系，以期提升學生分析解決問題的能力.

一、函數的單調性

定義：一般地，設函數f（x）的定義域為I，定義域I內某個區間D上任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））恒成立，那么我們就可以說，函數f（x）在區間D上是單調遞增（遞減）的，D稱為函數f（x）的單調增（減）區間.

實際上對于任意一個函數，如果該函數有單調增區間，那么在這個區間上，函數值是隨著自變量的增大而增大、隨著自變量的減小而減小的，也就是說在此區間上，函數值大小的變化與自變量大小的變化保持一致性；如果該函數有單調遞減區間，那么在這個區間上，函數值是隨著自變量的增大而減小、隨著自變量的減小而增大的，也就是說在此區間上，函數值大小的變化與自變量大小的變化保持相反性.以上就是函數單調性實質的表述.這樣一來，關于連續非常值函數，在它的單調區間上會出現最大值與最小值，學生會經常遇到這類問題.對于這類問題，我們首先要明確函數的定義域，找到它的單調區間，然后根據單調性來解決問題.判斷函數單調性常用的方法有作差法和作商法等，這里不做過多敘述.

拓展：對于函數y＝f（x）定義域某個區間D上，如果有兩個自變量x1，x2，并且x1＜x2，若說明在此區間上，函數值大小的變化與自變量大小的變化保持一致性，該函數在此區間單調遞增，反之則是單調遞減的.

二、函數的對稱性

（一）兩種對稱函數

1.軸對稱型函數.如果一個函數的圖像沿一條直線翻折后，與這條直線另一側的圖像完全重合，那么我們可以說該函數圖像是關于這條直線軸對稱的，這條直線叫作該函數的一條對稱軸，具有這一特點的函數我們稱其為軸對稱型函數.

2.中心對稱型函數.如果一個函數的圖像以一個點為中心旋轉180°角后，與原圖像完全重合，那么我們可以說這個函數圖像是關于中心對稱的，這個點是這個函數的一個對稱中心，具有這一特點的函數我們稱其為中心對稱型函數.

（二）函數對稱的條件

所有函數的問題只有明確了定義域才能繼續討論，函數的對稱性也不例外.上述的兩種對稱類型函數，我們在強調圖像經過翻折或旋轉后能夠完全重合，表現在定義域上也是關于“軸”或“點”對稱.比如一個中心對稱型函數y＝f（x），對稱中心為（a，b）（a，b∈R），其定義域必關于x＝a對稱；一個軸對稱型函數y＝g（x），一對稱軸為x＝c（c∈R），則其定義域必關于x＝c對稱.奇函數是關于原點中心對稱的函數，其定義域關于x＝0 對稱；偶函數是關于y軸對稱的函數，其定義域關于x＝0 對稱.

（三）軸對稱、中心對稱型函數代數式的關系

1.軸對稱型函數y＝f（x）.設對稱軸為直線x＝a（a∈R），由軸對稱的概念我們可以知道，該函數圖像上關于直線x＝a對稱的兩點的縱坐標相等.設該函數圖像上任一點為（x，f（x）），則其關于直線x＝a的對稱點也在該函數圖像上，可得到其坐標為（2a－x，f（2a－x）），則f（x）＝f（2a－x），即f（x）－f（2a－x）＝ 0，此外令x＝x＋a，我們又可以得到式子f（x＋a）－f（a－x）＝ 0.

2.中心對稱型函數y＝g（x）.設對稱中心為（b，c）（b，c∈R），由中心對稱的概念可以知道，將該函數圖像上關于（b，c）對稱的兩點連線，（b，c）是這條線段的中點.設該函數圖像上一點的坐標為（x，g（x）），則其關于（b，c）對稱的點也在該函數圖像上，坐標為（2b－x，g（2b－x）），根據中點坐標公式我們可以推導出也就是g（x）＋g（2b－x）＝ 2c，令x＝x＋b，又可以得到g（x＋b）＋g（b－x）＝ 2c.

由以上的推導，對函數對稱性類型總結為“加點減軸”：兩個函數式相加等于某個常數，該函數為中心對稱型函數；兩個函數式相減等于0，則該函數是軸對稱型函數.

另外，將表達式推廣到一般形式，做出如下總結：

f（a＋x） ＝f（b－x） ?y＝f（x） 圖 像 關 于 直 線x＝對稱.

推論 1：f（a＋x）＝f（a－x）?y＝f（x）圖像關于直線x＝a對稱.

推論 2：f（x）＝f（2a－x）?y＝f（x）圖像關于直線x＝a對稱.

推論 3：f（－x）＝f（2a＋x）?y＝f（x）圖像關于直線x＝a對稱.

f（a＋x）＋f（b－x）＝ 2c?f（x）的圖像關于點對稱.

推論 1：f（a＋x）＋f（a－x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關于點（a，b）對稱.

推論 2：f（x）＋f（2a－x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關于點（a，b）對稱.

推論 3：f（－x）＋f（2a＋x）＝ 2b?y＝f（x）的圖像關于點（a，b）對稱.

三、函數對稱性與單調性的聯系

1.如果一個軸對稱型函數，既存在單調增區間也存在單調減區間，那么根據軸對稱型函數的圖像性質，我們能夠發現，這個函數的單調增區間的關于對稱軸對稱的區間一定是這個函數的單調減區間，單調減區間關于對稱軸對稱的區間一定是這個函數的單調增區間.

2.如果一個中心對稱型函數，既存在單調增區間也存在單調減區間，那么由中心對稱型函數的圖像性質，可以發現，這個函數的單調增區間的關于對稱中心對稱的區間一定是這個函數的單調增區間，單調減區間的關于對稱中心對稱的區間一定是這個函數的單調減區間.

由以上的分析，我們逐漸摸索出了函數對稱性與單調性的本質，并且找到了這兩個性質的一些關聯.接下來，讓我們通過一些具體的實例，感受二者之間的聯系.

例1已知y＝f（x）是定義在 R 上的函數，且滿足當x＞1 時，f（x）是單調遞增的.解不等式f（x＋1）≤f（2）.

思路分析應利用軸對稱型函數與其單調性的聯系求解.首先通過題中所給信息可以判斷出，該函數圖像關于直線x＝1 對稱，且單調增區間為（1，＋∞），就可以知道單調減區間為（－∞，1），由對稱性可知，f（0）＝f（2），由單調性可以知道在［0，2］區間上，任意的函數值都不會大于f（0）和f（2），那么可得0≤x＋1≤2，解出該不等式的解集為［－1，1］.

證明由于且f（x）的定義域是R，說明函數f（x）是關于直線x＝1 對稱的，根據軸對稱型函數的性質可知，當x＜1 時，f（x）是單調遞減的.f（2）＝f（1＋1）＝f（1－1）＝f（0），可知

f（x）在［0，1］是單調遞減的，在（1，2）是單調遞增的.

有 0≤x＋1≤2，

所以x∈ [－1，1].

例2已知y＝f（x）是定義在 R 上的函數，滿足等式f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，當x＜－3 時，f（x）單調遞減.

求證：當x＞5 時，f（x）是單調遞減的.

思路分析此題是在考查函數的對稱性與單調性的聯系，我們可以判斷出該函數是關于點（1，2）中心對稱的，并且能夠發現點（－3，f（－3））與點（5，f（5））恰好是關于點（1，2）對稱的，根據中心對稱型函數性質可知：f（x）在（－∞，－3）上的單調性與在（5，＋∞）上的單調性保持一致，這個問題便解決了.

證明由于f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，且f（x）的定義域是 R，則f（x＋1）＋f（1－x）＝ 4，f（x）關于（1，2）對稱.

f（－3）＋f（5）＝ 4，即（－3，f（－3））與（5，f（5））關于點（1，2）對稱.

f（x）在（－∞，－3）上是單調遞減的，根據中心對稱型函數性質可知，f（x）在（5，＋∞）上是單調遞減的.

即當x＞5 時，f（x）是單調遞減的.

例 3已知：f（x）＝ （x－1）3＋1.求證：4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

思路分析此題給出函數具體表達式，來證明不等式成立.很顯然要應用單調性來證明，f（x）＝ （x－1）3＋1 是由f（x）＝x3平移得到的，平移變換并不影響函數的對稱性.

證明易知f（x）＝ （x－1）3＋1 圖像關于點（1，1）對稱，則f（－2）＋f（4）＝ 2，f（0）＋f（2）＝ 2，

所以 4－（f（－2）＋f（0））＝f（2）＋f（4）.

證明f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5）成立即可.

可知f（x）＝ （x－1）3＋1 在（1，＋∞）上單調遞增，且f（x）＞0，則f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5），

所以 4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

結語

對于綜合考查函數對稱性與單調性的問題，要先確定函數的對稱類型，再根據單調性與對稱性的聯系，運用數形結合、函數與方程等思想解決問題.教師要引導學生觀察總結，并加以聯系，從而提升學生的解題能力.