淺談含參數一元二次不等式的解題方法

◎許 媛 高 靜 （北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132001）

一、含參數的一元二次不等式

一元二次不等式，是指含有一個未知數且未知數的最高次數為2 的不等式［1］.它的一般形式有：

ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0 （a，b，c均為常數）.

含參數的一元二次不等式應為含有一個未知數且未知數的最高次數為2，其中二次項系數、一次項系數、常數項均可能含有參數的不等式.

含參數的一元二次不等式范圍廣，題型多變，不易于從基本一元二次不等式解法中獲取解題思路和方法.根據國家高中數學課程標準的有關要求，此類問題是大型考試中重點研究和考查的內容.據有關專家統計，在大型考試中此類題型出現的概率高，并且其出錯率也高.筆者經過多年的整理分析發現，考試中常出現的題型有四種：二次項系數不含參數的一元二次不等式、二次項系數含有參數且能被十字相乘的一元二次不等式、二次項系數含有參數且不能被十字相乘的一元二次不等式、恒成立的含參數一元二次不等式.本文針對上述四種題型，進行詳細研究，通過分析題型特點，分情況討論，提出適當的解題方法，并給出解題步驟.

二、含參數的一元二次不等式四種題型解法的討論

題型1x2＋ax＋a＜ (＞ )0，a為參數型的含參數一元二次不等式［2］

特點：此題型具有二次項系數不含參數，一次項系數和常數項所含參數相同的特點，可以通過十字相乘法化簡.

常見問題：十字相乘法使用不當，使得化簡出現錯誤.

基本解法：十字相乘法、分類討論法、圖像法.

具體步驟：（1）利用十字相乘法對不等號左邊的多項式進行因式分解；（2）再令其等于零，即變成一元二次方程的形式，解出方程的兩個根；（3）比較兩個根的大小，分情況進行討論，并配以相應的二次函數簡圖，加深理解；（4）最后按參數的取值情況，寫出對應的解集.

下面通過例1 具體說明題型1 的解題步驟.

例 1求不等式x2－(a2＋a)x＋a3＜0 的解集.

思路分析此不等式雖然含有參數，但是經過思考不難發現此不等式左邊的多項式可以通過化簡，轉換成我們常見一元二次不等式的形式求解，只需注意分情況討論時，不要丟失情況即可.

解利用十字相乘法對x2－（a2＋a）x＋a3進行因式分解，即x2－（a2＋a）x＋a3＝（x－a2）（x－a）.

再令（x－a2）（x－a）＝ 0，解得x1＝a2，x2＝a.

比較a2與a的大小，分情況討論：

（1）當a2＝a時，解得a＝0 或a＝1，如圖 1，x∈?；

（2）當a2＞a時，即a2－a＞0，解得a＜0 或a＞1，如圖 2，｛x｜a＜x＜a2｝；

（3）當a2＜a時，即a2－a＜0，解得 0＜a＜1，如圖 3，｛x｜a2＜x＜a｝.

綜上可得，原不等式的解集分三種情況：當a＝0 或a＝1 時，x∈?；當a＜0 或a＞1 時，｛x｜a＜x＜a2）｝；當 0＜a＜1 時，｛x｜a2＜x＜a｝.

圖1

圖2

圖3

題型2ax2＋ax＋c＜ (＞ )0，其中a（a≠0）為參數，c為常數型的含參數一元二次不等式［3］

特點：此類不等式具有二次項系數和一次項系數含參數且相同，但常數項不含參數的特點，可以通過十字相乘法進行化簡.

常見問題：未對二次項系數進行討論.

基本方法：分類討論法、十字相乘法、圖像法.

具體步驟：（1）討論二次項系數a的取值是否為零；當a＝0 時，按照一元一次不等式求x的解集；當a≠0 時，即參數a＜0 或a＞0 時，應先將不等號左邊的多項式用十字相乘法進行因式分解，再利用一元二次不等式與一元二次方程之間的關系得出兩個根；（2）討論、比較兩個根的不同情況，然后利用圖像法求得相應的解集；（3）按參數的取值情況，寫出對應的解集.

下面通過例2 具體說明題型2 的解題步驟.

例2 求不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＜1）的解集.

思路分析雖然不等式后面給出了a的取值范圍，但在進行分類討論時，首先我們需要分兩大類進行討論，即在a＝0 和a≠0 時的情況下討論，最后在a≠0 的前提下，再詳細地分類討論即可.具體解題步驟如下：

解當a＝0 時，－x＋1＜0，解得x＞1；當a≠0 時，將不等式左邊十字相乘，得（x－1）（ax－1）＜0，（x－1）（ax－1）＝ 0 的解為由于無法比較兩個根的大小，且由a≠0我們可以得出這兩種情況，即a＜0 或a＞0，所以詳細的分類討論如下：

當 0＜a＜1 時如圖 4，解得

當a＜0 時如圖 5，解得

綜上， 當a＝ 0 時， ｛x｜x＞ 1｝； 當 0 ＜a＜ 1 時，當a＜0 時

圖4

圖5

題型 3ax2＋cx＋a＞（＜）0，其中a為參數，c為常數型的含參數一元二次不等式［4］

特點：此類不等式具有二次項系數和常數項含參數且相同，而一次項系數不含參數的特點.

常見問題：錯誤使用十字相乘法求解，導致解題失敗.

基本做法：分類討論法、利用根的判別式的情況分析的方法.

具體步驟：（1）討論參數a是否為零，當a＝0 時，即解一元一次不等式，從而求出解集；當二次項系數所含的參數不為零時，進一步討論；（2）在參數a≠0 的情況下，利用根的判別式的情況進行分類討論，即討論當Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0時所對應的解集；（3）綜合各參數的范圍，寫出對應的解集.

針對題型3 與題型1、2 所使用的方法有明顯不同，下面通過例3 來說明.

例 3求不等式ax2＋2x＋a＞0（a∈R）的解集.

思路分析一方面，要分析這個一元二次不等式的左邊能否正確地利用十字相乘法進行因式分解；另一方面，當它無法進行因式分解時，要轉換思路，從而求出解集.解題步驟如下：

解當a＝0 時，則 2x＞0，解得x＞0.

當a≠0 時，Δ＝4－4a2，即有

①Δ＝0，即4－4a2＝0，解得a＝±1，即當a＝1 時，x2＋2x＋1＞0，如圖6，解集為｛x｜x≠－1｝ ，當a＝－1 時，－x2＋2x－1＞0 ，如圖7，解集為x∈?.

②Δ＞0，即 4 (1 －a2)＞0 時，則有當－1＜a＜0 時，如圖 8，解集為當 0＜a＜1 時，如圖9，解集為

③Δ＜0，即 4－4a2＜0 時，則當a＞1 時，如圖 10，解得x∈R，當a＜－1 時，如圖 11，解得x∈?.

綜上可得，當a＝0 時當a＝－1 或a＜－1時，x∈?；當a＝ 1 時當－1＜a＜0 時，x∈當 0 ＜a＜ 1 時，x∈當a＞1 時，x∈R.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

題型4ax2＋ax＋c＞ (＜ ) 0(x∈R)，其中a為參數，c為常數，解集是全體實數型的含參數一元二次不等式

特點：此類不等式不求含參數一元二次不等式的解集，而是通過已知解集來求所含參數的取值范圍.

常見問題：忽略解集x∈R，錯用題型2 的解題方法，導致解題失敗.

基本做法：分類討論法、“開口＋判別式”法.

具體步驟：（1）討論參數a是否為零，當a＝ 0 時，要看常數c是否大于（小于）0 恒成立，以此來取舍參數a的取值情況.（2）當a≠0 時，將ax2＋ax＋c＞（＜）0 轉化為二次函數的恒成立問題，利用二次函數f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R），f（x）＞0 對x∈R 恒成立?a＞0 且Δ＜0 和f（x）＜0 對x∈R 恒成立?a＜0 且Δ＜0 的兩條結論來判斷參數a的取值情況.（3）綜合情況，寫出參數的取值范圍.

題型4 和前三種求解的內容有很大的區別，通過下面的例題來說明.

例 4已知不等式（a－2）x2＋（a－2）x＋1＞0（x∈R）恒成立，求參數a取值范圍.

思路分析此不等式不是二次函數的形式，不能直接利用“開口＋判別式”法，所以做題時要注意分類討論.具體解題步驟如下：

解（1）當a－2＝0 時，解得a＝2，原不等式可化為 1＞0，滿足對于一切的x∈R，原不等式恒成立.

（2）當a－2≠0 時，利用“開口＋判別式”法，有

（3）綜合（1）和（2），于是有a∈［2，6）.

上述例子的比較分析：例1 和例2 對比來看，基本解法是相似的，但例2 的難度加深，更能鍛煉學生的思維能力，例3 和例1、例2 相比較而言，巧妙地運用了根的判別式方法求解集，而例4 則是完全不同于前三道例題的，例4 是已知了解集，求解的是參數的取值范圍，前三道例題是通過討論參數的取值情況求解不等式的解集，并且例4 在解題方法上也有了變化，它是以“恒成立”為前提，巧妙地與二次函數的恒成立問題聯系起來，并借助其結論進行解題.這樣設置例題不容易給學生造成思維定式，可以達到豐富學生的解題方法的目的.

結語：含參數一元二次不等式的解法是高中數學的難點之一，具有一定的研究價值.本文所闡述的四種題型及解題方法有利于學生提高自身的學習效率，從而激發學生的學習興趣，使學生在考試中面對此類問題時能夠得心應手，降低出錯率，為高中學生學習數學提供了行之有效的方法.