平面點集邊界聚點的存在性研究

◎李 波 侯汝臣 孫豐云 （煙臺大學數學與信息科學學院，山東 煙臺 264005）

引 言

了解平面點集的概念和性質是學習多元函數微積分，特別是二元函數微積分的基礎，幾乎所有的教材都會在介紹多元函數微積分理論之前對平面點集做詳細的介紹.聚點又是平面點集的一個非常重要的概念，對于研究多元函數的極限，連續以及微分等分析學性質至關重要.受一道例題的啟發，本文我們對聚點的一個性質進行了探討和分析，并對結論進行了證明.

在《數學分析》平面點集與多元函數一節有一道例題（P95，例 2）：證明對任何S?R2，?S恒為閉集.其證明過程如下：

證明：假設x0為?S的任意聚點，只需證明x0∈?S即可.對于?ε＞0，由聚點的定義，存在又因為y是S的界點，所以對任意的U（y；δ）?U（x0；ε），U（y；δ）上既有屬于S的點，又有不屬于S的點，所以U（x0；ε）上也既有屬于S的點，又有不屬于S的點，由ε的任意性，得x0是S的界點，即x0∈?S，證畢.

關于該結論還有另外幾種證明方法：

證一：設x∈（?S）c，即?S的余集，則x只能是S的內點或外點.如果x為S的內點，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）?S，由內點的定義知U（x；δ） ?（?S）c； 若x為S的外點，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）∩S＝?，所以U（x；δ）?Sc，而U（x；δ）是開集，所以U（x；δ）中的點均不是S的界點，即U（x；δ）?（?S）c.由開集定義知（?S）c為開集，則?S為閉集.

證二：設x∈（?S）d（?S的導集，即?S的所有聚點的集合），由聚點的等價定義，存在相異點列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x，則對任意的δ＞0，?N，當n＞N時，xn∈U（x；δ），取n0＞N，由于xn0∈?S，則由界點的定義知U（xn0；δ－｜xn0－x｜）?U（x；δ）中有屬于S的點，也有不屬于S的點，所以x∈?S，則?S為閉集.

證三：設x∈?（?S），則?δ＞0，在中有?S的點y.又由界點定義，在內既有S中的點，也有不在S中的點.由于因此U（x；δ）中既有屬于S的點，也有不屬于S的點，于是x∈?S，則?S為閉集.

這幾種證明方法從不同的角度對問題進行了解析，但前提都是先假設邊界存在聚點，再證聚點屬于邊界，從而證明邊界是閉集.我們知道，一個平面點集不存在聚點也稱為閉集，那么問題來了，邊界是否一定存在聚點呢？ 對于該題目的結論及其證明過程有以下幾點思考：

（1）若S為無界點集，?S是否一定有聚點，是否恒為閉集；

（2）若S為有界點集，?S是否一定有聚點，是否恒為閉集；

（3）S和?S聚點的存在性關系如何，S的聚點是不是一定為?S的聚點.

例題中對?S的聚點的存在性沒有做具體的討論，本文對此進行了分析，并給出相應的結論：

〈主定理〉若有界平面點集S有聚點，則其邊界?S必有聚點.

應用閉集套定理和聚點定理給出了證明.需要注意的是，若無界平面點集S有聚點，則其邊界?S不一定有聚點，見〈注 2〉.

預備知識

為讀者閱讀方便，我們給出一些預備知識.

〈平面點集〉 二維坐標平面上所有滿足某性質P的點的集合稱為平面點集，記為S.

〈界點〉 若在點M的任何鄰域U（M）內都既含有S中的點，又含有不是S中的點，則稱M為S的界點，全體界點的集合稱為的S邊界，記為?S.

〈內點〉設點M∈S，若存在點M的某個鄰域U（M），使得U（M）?S，則稱M為點S的內點.

〈有界點集和無界點集〉對于某平面點集E，如果存在一個正常數r，使得E?U（O；r），則稱E為有界點集，否則，稱為無界點集.

〈聚點〉關于聚點的定義，在拓撲學、實分析和復分析中都有各自的描述：

拓撲學中，設拓撲空間（X，τ），A?X，x∈X，若x的每一個鄰域U（x）都含有A＼｛x｝的點，即U（x）∩A≠?，則稱x為A＼｛x｝的聚點.

在實空間Rn中，關于聚點的定義有三個等價描述：

（1） 點M為點集S的聚點；

（2）點M的任何空心鄰域內都含有S中的點；

（3）存在相異點列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x.

在復分析中，若在復平面上的一點M的任意鄰域都有點集S的無窮多個點，則稱M為S的聚點.

〈開集〉若屬于平面點集S的所有點都是內點，則稱S為開集.

〈閉集〉若平面點集S的所有聚點都屬于S或者S無聚點，則稱S為閉集.

〈閉集套定理〉設｛En｝為R2中的閉集列，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；

（2）設dn＝d（En），則

則存在唯一的點P?∈En，n＝1，2，….

〈聚點定理〉有界無限點集至少有一個聚點.

三、結論及其證明

首先我們分析一維的情形，如在數軸上的開區間（a，b），其導集（所有聚點的集合）為［a，b］，邊界只有a，b兩個點，且為孤立點，所以邊界不存在聚點.又如點列1，2，3，…，其邊界集為顯然二者存在共同的聚點0.對于一維的無界點集，如（a，＋∞），｛n｝，n＝1，2，3，…等，有類似的結論.所以，對于一維數軸上的點集，集合本身和其邊界聚點的存在性之間沒有必然的聯系.

接下來，對于二維的情形，我們假設S為有界平面點集，以定理的形式給出結論，并利用閉集套定理和聚點定理給出證明.另外，對于S為無界平面點集的情形，我們以注解的形式結合反例給予說明.

〈定理〉若有界平面點集S有聚點，則其邊界?S必有聚點.

證明若S＝?S，結論顯然成立.若?S≠S，則S中必含有內點，記為P0，由內點的定義，?δ＞0，s.t.U（P0；δ）?S.又因為S有界，所以?r＞0，s.t.S?U（P0；r），且對于任意的M∈S，ρ（P0，M）＜r.從P0出發向外作射線交U（P0；r）于點P，記E0為上（包含端點，下同）所有點的集合，則E0既含有S中的點也含有Sc中的點.取的中點記為P1，則中至少有一段滿足既含有S中的點又含有Sc中的點，不妨設滿足條件，記為E1，顯然E1?E0，且取的中點記為P2，則至少有一段滿足既含有S中的點又含有Sc中的點，不妨設滿足條件，記為E2，且滿足依此類推，我們可以得到一個閉集列｛En｝，n＝1，2，…，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；（2）ρ（En）＝即｛En｝，n＝1，2，…構成了一個閉集套.由閉集套定理，存在唯一的點則對任意的中含有｛En｝，n＝1，2，…中無限多個元素，即的任何鄰域都既含有S中的點又含有Sc中的點，故為S的界點.

進一步，從P0出發可以作無限條射線，按照上述方法可以得到無限個點集S的界點，又由點集S的有界性，我們可以得到一個有界無限點集｛｝∈?S，n＝ 1，2，…，應用聚點定理，得到｛｝存在聚點P?，定理得證.

對于該定理的結論，我們有如下幾點補充說明：

〈注 1〉?S有聚點，則聚點一定屬于?S，進而?S一定為閉集；

〈注2〉S為無界點集的情形，分兩種情況：

（1）S＝?S.若S有聚點，則?S也有聚點，且相同，反之亦然.

舉例 1S＝｛（x，y） ｜x，y∈Z｝，顯然S＝?S無界且元素均為孤立點，無聚點；

舉例 2S＝｛（x，y） ｜y＝kx＋b，k，b∈R｝，S＝?S無界且其元素均為聚點.

（2）S≠?S.若S有聚點，?S未必有聚點.

舉例 設S＝ R2＼｛P0｝，P0為 R2中任一點，顯然?S＝｛P0｝.點集S的聚點集為 R2，而?S為孤立點集，因此沒有聚點.

事實上，如果平面點集S為R2除去一個孤立點集而得到的，其邊界都無聚點.

＜注3＞該結論可以推廣到Rn（n＞2）的空間點集的情形.

舉例 設S＝ Rn＼｛P0｝，P0為 Rn中任一點，顯然?S＝｛P0｝.點集S的聚點集為 Rn，而?S為孤立點集，因此沒有聚點.