素數遞推式
——素運式

◎張國平 （福建省南平市福州大學，福建 南平 353416）

為了述說的方便，明了，現做以下規定：

PN：P表示素數，N表示素數P在素數序列中的排列位置.如素數序列：2，3，5，7，11，13，17，19，….

則PN表示 21，32，53，74，115，136，177，198，…，PN－1，PN，PN＋1，….

PN＝21推式：

［2，0］?2N＋0，由于在自然數中，其最小值為 0，2 是最小的素數，且是唯一的偶素數，所以在后面［2，0］不再參與推算.

PN＝32推式：［2，1］，

在PN＝ 74推式中，由于＝ 49，而 74的下一個素數P5＝115，故在74推式中，除1 外其最小數為其下一個素數115，即74推式中的數除1 外的最小數為74的下一個素數115，而其最大的數為 74！ －1＝209（74！ ＝2×3×5×7 ＝210）.而在74推式中，其數值小于115的平方的數必是素數，而不小于115的平方的數則有可能不是素數，但其參與下一推式的推算是必要的，否則，素數將會缺失！

由于 74的后續素數是115，136，177，198，239，….而在 74推式中且 209÷11 ＝19，故而，在74推式中：

11×11＝121；11×13＝143；11×17＝187；11×19＝209；

13×13＝169；13×17＝221＞209（舍）；

17×17＝289＞209（舍）.

一般地，當PN為第N個推式時，其最小數除1 外為PN的下一個素數PN＋1，其最大的數為PN！ －1，在中，其值若小于(PN＋1)2的數必是素數，且其個數是可統計確定的.

已知方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0，當a，b，P為正整數時，求a，b，P的解集.

說明：在方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 中，若其解（a，b，P）為整數，則稱（a，b，P）為方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式.當（a，b，P）為正整數時，也稱（a，b，P）為方程a2＋b2－P（1＋ab）的解形式，或方程的正解形式.所以，上述之意也是在求方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的正解形式.

解：設方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式為｛a，J（［a，m］，［a，n］）｝（J為正整數）.（為什么會這樣去假設，只是在解二元一次方程的解形式與三元一次方程的解形式中有所感悟而為之）.

所以原方程變為：a2＋（aJ＋m）2－（aJ＋n）［1＋a（aJ＋m）］＝0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－（aJ＋n）（1＋a2J＋am）＝ 0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－［（aJ＋a3J2＋a2Jm）＋n＋na2J＋nam］＝0，

推出a2＋a2J2＋2maJ＋m2－aJ－a3J2－a2Jm－n－na2J－nam＝0，

整理，得－a3J2＋a2（1＋J2－Jm－nJ）－a（nm－2mJ＋J）＋m2－n＝0，

由于－a3J2是獨立項，故J2＝0，得J＝0.

當J＝0 時，則a2－anm＋m2－n＝0，

所以，a（a－nm）＝ 0，m2－n＝0，得a＝m3，n＝m2，

所以，方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 的解形式為（a，b，P）＝｛m3，0（［a，m］，［a，m2］）｝.

由于a2與b2項系數相同，故（a，b，P）＝ （b，a，P）＝ ｛m3，m，m2｝ ＝｛m，m3，m2｝.

由于a2與b2是二次函數，所以，當a＝m3，P＝m2時（當a＝m，P＝m2時，b＝m3（m為正整數）），

則方程a2＋b2－P（1＋ab）＝ 0 變為（m3）2＋b2－m2（1 ＋m3b）＝ 0，

推出m6＋b2－m2－m5b＝0，

推出b2－m5b＋m6－m2＝0，

因式分解，得（b－m）［b－（m5－m）］＝ 0，得b＝m，或b＝m5－m＝m（m4－1）.

當b＝m時，已有正解形式，當b＝m（m4－1）時，方程的解形式為（a，b，P）＝ （b，a，P）＝ ｛m3，m（m4－1），m2｝ ＝ ｛m（m4－1），m3，m2｝.

由于a，b，P為正整數，故在正解形式｛m3，m，m2｝中，m為大于0 的正整數.

在正解形式｛m3，m（m4－1），m2｝中，m為大于 1 的正整數.

綜上，正解形式中，P＝m2始終成立，即P總是某正數的平方.

如果沒要求a，b，P是正整數的話，那么，以上兩個正解形式也是其解形式，卻不完全，在此就不多做說明.