Sweedler 代數(shù)上的 Rota?Baxter 代數(shù)

◎郝午牛 劉春麟 解瑞明 陳全國 （曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 曲阜 273165）

一、引言

為了解決分析和組合問題，Rota?Baxter 算子被引入［1－3］，其在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用.文［4］給出了二維復(fù)預(yù)李代數(shù)上的所有 Rota?Baxter 算子； 文［5］幾乎給出了三維復(fù)結(jié)合代數(shù)上所有Rota?Baxter 算子.

設(shè)A為域F上的結(jié)合代數(shù)，R：A→A是線性算子 如果

R（x）R（y）＋λR（xy）＝R（R（x）y）＋R（xR（y）），x，y∈A，

其中λ∈F是任意給定純量，那么稱R是A的一個(gè)權(quán)λ的 Rota－Bxter 算子.顯然，對(duì)任意λ≠0，λ－1R是權(quán)為 1 的Rota?Baxter 算子.

文中，我們欲討論四維 Sweedler 代數(shù)上的 Rota?Baxter算子，采用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 進(jìn)行編程，計(jì)算出Sweedler代數(shù)上的所有 Rota?Baxter 算子，區(qū)別于以往文獻(xiàn)［6－7］的算法，提供了利用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算有限維代數(shù)上所有Rota?Baxter 的新方法.

二、主要結(jié)論

本節(jié)，我們主要討論以x，g為生成元，且滿足條件：x·x＝0 ，g·g＝1 ，x·g＝－g·x的 Sweedler 代數(shù)（A，·）.令α，β∈A，且α，β在基 1，x，g，x·g下的坐標(biāo)分別為（α1α2α3α4）′和（β1β2β3β4）′，則αβ可用“擬二次型”來表示，即

以下固定生成元“基底”1，x，g，x·g，把α在生成元“基底”下坐標(biāo)與α等同看待，并記B（i）＝ （δji）4×1（i＝ 1，…，4）為第i個(gè)生成元在基下的坐標(biāo)，特別地，記B（5）＝ （0）4×1為（A，·）中零元在“基底”下的坐標(biāo).在 Mathematica 中，為方便編碼及計(jì)算機(jī)識(shí)別，在代碼中，用ε，?，φ，ψ依次代替1，x，g，x·g，用θ代指（A，·）中的零元.

對(duì)應(yīng)Mathematica 代碼如下：

（?利用Mathematica 的符號(hào)化運(yùn)算計(jì)算擬二次型的運(yùn)算結(jié)果，并對(duì)無實(shí)際定義的符號(hào)進(jìn)行替換，對(duì)最終結(jié)果以延遲賦值的形式賦值給函數(shù)M作為乘法函數(shù)?）

設(shè)R∈End（A），令R在基 1，x，g，x·g下的表示矩陣

則R（α）在基 1，x，g，x·g下坐標(biāo)為：

對(duì)應(yīng)Mathematica 代碼如下：

（?定義R在生成元 1，x，g，x·g下的表示矩陣為RM?）

（?求以（s，t，u，v）為坐標(biāo)的元素在自同態(tài)R下作用所得到的像的坐標(biāo)，并把該坐標(biāo)以延遲賦值的形式賦值給函數(shù)R作為自同態(tài)R的表示函數(shù)?）.

定理 1 設(shè)α，β∈（A，·），R∈End（A），令α，β在基 1，x，g，x·g下的坐標(biāo)分別為(α1α2α3α4) ′和(β1β2β3β4)′，則元素

R（α）·R（β）＋λR（α·β）－R（R（α）·β）－R（α·R（β））

在基 1，x，g，x·g下的坐標(biāo)可通過 Mathematica 計(jì)算得出，Mathematica 代碼如下：

（?此為Rota?Baxter 條件的表示函數(shù)?）

（?此為當(dāng)α為第i個(gè)生成元、β為第j個(gè)生成元時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Rota?Baxter 條件的表示函數(shù)?）

我們針對(duì)λ＝ 0 的解進(jìn)行討論，設(shè)α，β∈（A，·），R∈End（A），則當(dāng)α，β遍歷生成元時(shí)，將對(duì)應(yīng) Rota?Baxter 條件的坐標(biāo)表達(dá)式合并，即可得到表達(dá)式集合，對(duì)表達(dá)式集合進(jìn)行修改即可得到約束條件方程組，使用Reduce 函數(shù)對(duì)方程組進(jìn)行約化，即可得到對(duì)應(yīng)解的所有情況，即滿足Rota?Baxter 條件的所有自同態(tài)解.

（?此為遍歷生成元所有組合后得到的所有的Rota?Baxter 條件表達(dá)式所構(gòu)成的集合?）

（?此為遍歷生成元所有組合后得到的所有的Rota?Baxter 條件所構(gòu)成的集合，即Rota?Baxter 約束條件的方程組?）

Reduce[AE].

（?通過Reduce 函數(shù)對(duì)方程組進(jìn)行約化，從而得出解的所有可能情況，即滿足Rota?Baxter 條件的所有自同態(tài)解?）

當(dāng)λ＝ 0 時(shí)，程序運(yùn)行后，得到所有滿足 Rota?Baxter 等式情況及其所對(duì)應(yīng)的矩陣.

為方便表示，下用字母來替代對(duì)應(yīng)ri，j并用字母矩陣進(jìn)行解的坐標(biāo)表示，替代規(guī)則如下：