提升初中生數學學習深度的研究

榮慧英

[摘? 要] 文章對八年級上學期如何提升等腰三角形的深度學習提出見解，把折疊和分類討論的思想方法貫穿等腰三角形教學始終，通過改變圖形使分類討論水到渠成，采用多種教學手段與方法，加強對學生的點對點輔導，使學生享受成功體驗，利用思維導圖鞏固基礎知識，梳理思想方法，達到提升初中生數學學習深度的目的.

[關鍵詞] 初中數學;等腰三角形;折疊;分類討論;深度學習

等腰三角形的知識概述

1. 等腰三角形的地位

（1）教材中

“等腰三角形的性質”是浙教版初中八年級上冊的內容，是全等三角形的續篇. 等腰三角形這種常見的圖形之一，由于具有一些特殊性質，在生活中被廣泛應用. 等腰三角形的性質，特別是它的兩個底角相等的性質，可以實現一個三角形中邊相等與角相等之間的轉化，這也是今后論證兩角相等的重要依據之一. 等腰三角形沿底邊上的高折疊后能完全重合，這是今后論證兩條線段相等及線段垂直的重要依據.

（2）中考

等腰三角形在杭州中考中直接考查的情況不多，偶爾出現在客觀題中，但與等腰三角形或其探究方法相關的內容會出現在主觀題中. 以2018年杭州中考數學試卷第16題（填空題）為例，題目雖然沒有明確指出是等腰三角形，但考查了與等腰三角形相關的折疊圖形的內容，這與課本上等腰三角形的學習從折疊問題開始相吻合.

2. 等腰三角形知識總結

等腰三角形的重點內容是其性質與判定定理的運用，并結合其他方法進行相關題目的證明，主要內容包括：

（1）定義：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

（2）性質：①等邊對等角;②三線合一;③軸對稱圖形.

（3）判定：等角對等邊.

初中數學等腰三角形教學存在

問題分析

1. 沒有把折疊貫穿等腰三角形知識始終

如果把折疊的題目貫穿等腰三角形的定義、性質、判定、復習始終，學生會對等腰三角形的知識理解得更有深度.

2. 教師在教學或命題時無意中會出現固定模式

畫等腰三角形ABC時，始終把頂角頂點畫在上面，底邊畫在下面，或常用字母A表示頂角頂點，這對學生認識等腰三角形非常不利，所以我們可以換個位置、換個字母來畫圖，這樣能讓分類討論思想的形成起到水到渠成的效果.

3. 教師講解等腰三角形知識時，方式不夠引人入勝

（1）筆者在教學中把一些典型例題編成微課

為了吸引學生的注意力，筆者會在教學中把一些經典例題編成微課. 由于是精心準備過的，所以教學時往往會比即興講解效果好. 而且可以在播放微課的過程中更加清楚地觀察學生的神情，以便更好地修改自己的微課來適應教學.

（2）在微課中使用吸引學生的動畫

比如，在微課中使用學生熟悉的喜洋洋代替他們說出自己的心聲;出現錯誤解答時，使用蘋果智能手機中的Siri講出錯誤原因，讓學生達到極其專注的狀態.

（3）在良好的狀態下仔細講解

用規范頓挫的數學語言、醒目清楚的板書把每一類情況講透徹.

提升初中生學習等腰三角形效

率的有效途徑

1. 首先讓學生精準掌握等腰三角形的定義

等腰三角形不僅兩邊相等，還是三角形，而且只要涉及三角形中邊的長就要考慮：三邊分別大于0，且任意兩邊之和大于第三邊. 在這里，可進一步突出此重點. （講新課時用例1，期末復習課時用例2）

例1? 如果一個等腰三角形的邊的長為整數，周長為5，求三條邊的長.

解答? 若腰為1，則底為3. 因為1+1<3，所以不能構成三角形. 若腰為2，則底為1. 因為1+2>2，所以可以構成三角形. 綜上可知，所求三條邊的長為2，2，1.

例2? 已知一個等腰三角形的周長為8，腰長為x，底邊長為y. 試寫出y關于x的函數表達式，并求自變量x的取值范圍.

解答? y=8-2x. 由x>0，y=8-2x>0，2x>y，解得2

2. 貫穿折疊，利用探究活動提高學生的學習興趣

興趣是學生學習的動力，只有在興趣的驅使下，學生的學習才能達到良好的效果. 下面使用小組合作的學習方式，以“通過折疊鞏固等腰三角形的判定”進行探究學習為例.

（1）探究思路

教學完等腰三角形的判定之后，教師在課堂上準備一張矩形硬紙片，演示沿其中一條對角線進行折疊，借此研究在該折疊圖中是否存在等腰三角形，并對結論進行證明.

從圖1中，學生通過仔細研究找出了等腰三角形ACF——利用“兩直線平行，內錯角相等”，推出∠1=∠2，利用翻折得到∠2=∠3，進而得到∠1=∠3，所以△ACF為等腰三角形. 上述教學過程既鞏固了等腰三角形的判定，又為今后認識“雙平基本圖形”做了鋪墊.

實際上，折疊問題是學習等腰三角形過程中經常出現的問題，學生通過折疊，能感知“軸對稱”這一抽象概念，且折疊后會出現特殊的三角形，這樣可以培養學生對等腰三角形直觀的印象，建立自己的抽象思維. 與此同時，可以培養學生的數學建模思想，促進學生數學素養的提升.

為了拓展學生的思維，可以以小組討論的形式研究課題，收集在矩形紙片中折疊出等腰三角形的其他方法. 總結學生的方法后，發現主要有以下兩種.

方法一，改變折痕的位置. 如圖2，仍然運用“雙平基本圖形”得出等腰三角形CMN.

方法二，如圖3，沿EF對折，取EF上任意一點H，再取BE上任意一點G，展開后得到等腰三角形GHG′——運用定義直接判定即可.

可見，在學習過程中，利用折疊可以把“等角對等邊”和“兩邊相等”這兩個判定等腰三角形的方法學習得全面而透徹.

（2）解題應用

像這樣把等腰三角形和折疊進行整合教學，學生再次遇到折疊的題目時就不會感覺陌生，可以很快地找到相等的線段和相等的角，這能為今后中考的重要考點——折疊問題的學習埋下伏筆. 比如2018年杭州中考數學試卷第16題——折疊矩形紙片ABCD時，發現可以進行如下操作（如圖4）：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上;②把紙片展開并鋪平;③把△CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上. 若AB=AD+2，EH=1，則AD=______.

又如2019年杭州中考數學試卷第16題——如圖5，把矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A′，D點的對稱點為D′. 若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積為______.

這樣教學，學生遇到線段的垂直平分線題目時，可以自然而然地把線段的垂直平分線看作對稱軸，從而更快地找到解題思路. 比如2019年杭州中考數學試卷第19題——在△ABC中，AC

3. 在等腰三角形的教學中貫穿分類討論思想方法

對于由于存在一些不確定因素而無法解答或者結論不能統一表述的數學問題，我們往往將問題劃分為若干個局部問題來解決，這就是分類. 分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同類的思想方法. 分類的原則有：分類中的每一部分是相互獨立的;一次分類按一個標準;分類討論應逐級進行.

我們已經知道，等腰三角形的邊有可能是底邊也有可能是腰，角有可能是底角也有可能是頂角，高有可能在三角形邊上或內部或外部，所以遇到這些情況時常常需要分類討論，不過還需要注意以下方面.

（1）分類應從畫圖開始

如果把圖畫錯了，那就沒辦法把題做對，例如下面的例3.

例3? 在等腰三角形ABC中，∠A為頂角，腰AB上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，求△ABC三個內角的度數.

分析? 與高類似，對于鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形來說，邊的中垂線的位置也有很大不同，而直角三角形往往因為其特殊性直接可以識別，所以所有涉及三角形邊的垂線的問題，至少要考慮鈍角三角形和銳角三角形這兩種情況.

答案? 當∠A為銳角時，如圖8，由于腰AB上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，所以∠A=90°-50°=40°，∠B =∠C=70°. 當∠A為鈍角時，如圖9，∠A=90°+50°=140°，∠B =∠C=20°.

（2）逐級分類

講解題目時必須把分類討論講解透徹，否則相當于沒講;遇到不確定的條件時需要分類，分類后還有不確定的需要再分類，也就是逐級分類.

例4? 在等腰三角形ABC中，D為線段BC上一點，AD⊥BC. 若AB=10，AD=8，則CD=______.

背景：這是江干區八上期末學業水平測試的第15題，得分率為0.61. 雖然題目不是很簡單，但是我們在期末復習時安排了相當長的時間研究分類討論問題. 分析原因，應該是講解題目時不夠細致，沒有把逐級分類的具體細節講解透徹，使得相當一部分學生少了一個答案.

實際情況：學生的分類方法可以歸納為兩種，但是大多數學生沒有進行逐級分類，所以少了1個解. 把學生的思路整理完整之后就是下列思路.

◎一級分類：點A為頂角頂點，點A為底角頂點;

二級分類：ABC是順時針順序，ABC是逆時針順序.

◎一級分類：點A為頂角頂點，點B為頂角頂點，點C為頂角頂點;

二級分類：ABC是順時針順序，ABC是逆時針順序.

然后應該畫出4個不同的圖形，如圖10～圖13. 最后得出CD的長為6或4或 .

按照以上思路進行試卷講評后，可以通過下面兩道練習題來加以鞏固.

練習1? 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點D，且AD= BC，則△ABC的底角為______°.

練習2? 已知一個等腰三角形的兩個內角分別為（2x-2）°和（3x-5）°，則這個等腰三角形的頂角為______°.

點評? 對于練習1，先分點A為頂角頂點和底角頂點兩類. 當點A為底角頂點時，根據高在三角形內部和外部又可以分為兩類. 因為點B和點C的位置不影響各角度，不影響答案，所以可以不標. 所以共有圖14～圖16三個圖，答案為45°或75°或15°.

對于練習2，先分（2x-2）°為頂角和底角兩類. 當（2x-2）°為頂角時，（3x-5）°一定為底角;但當（2x-2）°為底角時，（3x-5）°可能為底角也可能為頂角. 所以應該得出以下三個方程：（2x-2）+2（3x-5）=180，2x-2=3x-5，2（2x-2）+ （3x-5）=180. 答案為46°或172°或76°.

（3）在等腰三角形的習題中，動點問題是經常出現的一類綜合題. 這類題也被學生一度認為是最有難度的試題. 實際上，這類題大多進行一次分類就夠了，也就是“兩圓一線”問題. 比如下面的例5.

例5? 在平面直角坐標系中，已知A（1，1），點P為x軸上的一個動點，則滿足△AOP是等腰三角形的點P的坐標為______.

分析? 由于沒有明確指出點P是等腰三角形的哪個頂點，所以必須分類討論.

答案? （如圖17）當A為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（2，0）;當O為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（ ，0），（- ，0）;當P為頂角頂點時，滿足條件的點P的坐標為（1，0）. 所以答案為（2，0），（ ，0），（- ，0）或（1，0）.

如果是在學習了函數之后的期末復習，還可以用下面的題目進行鞏固.

練習3? 在平面直角坐標系中，已知A（2，0），O（0，0），點P在正比例函數y=x的圖像上運動，則滿足△AOP是等腰三角形的點P的坐標為______.

答案? （如圖18）滿足條件的點P的坐標為（1，1），（2，2），（ ， ）或（- ，- ）.

在復雜的圖形中，教師應引導學生善于捕捉并提取信息，化復雜為簡單. 運用分類討論，其實是把一個復雜問題分解成一個個小的簡單問題來解決，體現了化歸的思想方法. 在此，將分類討論的一般步驟總結為：①分類的原因：條件或結論的不確定;②分類的標準：對不確定的條件或結論進行合理分類;③逐步討論：對各類問題進行詳細討論，逐步解決;④檢查總結：總結、歸納各類情況.

從上述例題可以看出，對于與等腰三角形有關的試題，依靠簡單想象是無法完成的，需要運用分類討論思想，才能將多種情況考慮在內，從而解決關于等腰三角形的綜合問題. 運用數學思想的意識，并不是一朝一夕養成的，這是一個長期培養、逐步滲透的過程. 在平時的教學中，教師應鼓勵學生多想想、多畫畫，逐漸養成有預見、多角度思考問題的能力.

4. 加強學生動手能力，避免眼高手低

在此需要強調學生動手能力的培養. 在實際教學過程中，筆者發現部分學生讀完題目之后沒有動手畫圖，而是思考. 思考5分鐘左右，學生認為自己不會做. 這樣的學習習慣是造成學生在解決與等腰三角形有關的問題時失分的主要原因. 實際上，學生腦海中并沒有形成邏輯思考，欠缺轉化數學語言的意識. 當然，我們必須考慮現實情況，在課堂僅有的45分鐘內，教師不可能對每一位學生的解題過程進行觀察，所以為了加強學生在此方面的意識，筆者認為教師可以在每節課針對3～5位學生的思考進行重點輔導，下節課再換另外3～5位學生，這樣一定會讓這幾位學生大膽講出自己的解題思路.

學生的“畫圖能力”，指的并不是畫得多么好看、多么標準，但是要畫出題目中的重點. 這是一個漫長的艱難的過程. 作為教師，最有效的辦法是對學生進行鼓勵. 在學生做題時，教師進行一對一的輔導，鼓勵學生敢于下筆，先在草稿紙上畫，有眉目后再正式畫，圖不要畫得太小，要邊畫圖邊思考，至于思考能力的培養，則可以利用思維導圖.

5. 利用學習后測，使學生體驗成功的喜悅

測試題最好只選一道，避免學生的心理負擔過重. 測試題最好包括所有的重點知識和難點，可以試試例題改編，比如下面這道測試題.

測試題? 如圖19，在正方形網格中，網格線的交點稱為格點. 已知A，B為格點，如果C也是圖中的格點，則使△ABC為等腰三角形的點C的個數為（? ? ? ）

A. 6? ? ? B. 13? ? ? C.10? ? ?D.7

評價? 正確答案是C. 選A的問題是：沒有把分類方法學透徹，只考慮了C為頂角頂點的情況. 選B的問題是：沒有掌握三角形這個前提. 選D的問題是：既沒有掌握三角形這個前提，又沒有把分類方法學透徹.

根據以上結果可以個別輔導出錯的同學. 教師也可以進一步完善自己的教學方法.

6. 善于利用思維導圖進行知識或題型的整合

思維導圖是一種近幾年迅猛發展的一種思維方式，被廣泛用于各種領域. 在初中數學課堂上，思維導圖是一種非常實用的學習輔助工具. 學生可以利用不同的顏色、不同粗細的線條使思維導圖制作美觀，從色彩上抓住自己的注意力. 學生可以根據自己的興趣選擇不同的方式進行思維導圖的繪制——筆畫或電腦軟件制作. 在實際教學過程中，思維導圖是學習的一種輔助形式，所以鼓勵學生利用畫筆進行思維導圖的繪制，在自己動手的過程中，由于有大腦的參與，所以可以有效地解決學生眼高手低的問題，可以培養學生獨立解決問題的能力，使學生的知覺、思維、情感、意志、價值觀全面參與，全身心地投入.

構建思維導圖時，可以利用多種數學思維方法，比如類比思想、歸納思想、比較思想等，這樣可以有效地提升思維導圖的應用效果，從而彌補傳統復習的不足，提高復習的質量，促進學生發散思維的養成.

（1）預習是一種良好的學習習慣，認真做好預習工作是課前的一項重要作業，但是考慮到平時大部分學生的課業負擔，所以可以把繪制思維導圖的任務安排得極其簡單——只需要畫出一個單元的每一節標題與單元標題的關系圖（比如圖20）.

（2）復習時根據腦海中的知識內容，完善預習過程中繪制的思維導圖，著重數學思想方法的內容. 或標記出對以往知識的新見解，把知識充分整合在一起（比如圖21）.

結束語

綜上所述，應讓學生認識到等腰三角形的前提是三角形，然后通過折疊的活動與體驗，使學生不但親身經歷發現等腰三角形的過程，而且不拘泥于頂角頂點總在上方的思維定式，從而自然而然地融入分類討論數學思想方法，將其活化為學生的精神力量，轉化為學生認識世界的方式，使得學習等腰三角形的過程成為學生成長、發展的過程.