黑洞能量提取率極限的初步探討

趙利軍,周史薇

(山西師范大學 物理與信息工程學院,山西 臨汾 041004)

0 引言

黑洞是自然界最神秘的天體,是廣義相對論的合理預言。當星體質量超過奧本海默極限(3個太陽質量)時,其演化末期將變成黑洞。包括光在內的任何物體一旦進入黑洞的事件視界,則無法再逃逸出來[1-4]。1974年霍金發現,考慮量子效應黑洞存在著熱輻射,可以有物質從黑洞中輻射出來,稱為霍金輻射?；艚疠椛涞陌l現是20世紀物理學最偉大的發現之一,它標志著黑洞熱力學的建立,揭示了量子力學、熱力學與引力之間的內在聯系[5-7],對霍金輻射的研究可以參考文獻[8-10]。黑洞蘊含著巨大的能量,如何從黑洞中提取盡可能多的能量是幾代黑洞物理工作者一直深深思考的問題。從黑洞中進行能量提取,一般存在以下兩種機制。

其一,早在1969年,彭若斯(Penrose)考慮旋轉的克爾(Kerr)黑洞外的一個試探粒子,進入能層后一分為二,其中負能粒子被黑洞吸收;而正能粒子穿出能層,飛向無限遠處,克爾黑洞的旋轉能量被提取出來,經計算發現效率僅為29.0%[11]。彭若斯過程給人類探索從黑洞中提取能量帶來了重要啟示。對彭若斯過程的研究可以分為從力學角度研究的力學彭若斯過程(mechanical Penrose processes)和從熱力學角度研究的熱力學彭若斯過程(thermodyna-mic Penrose process)。力學彭若斯過程是考慮單個粒子落入黑洞的動力學行為,其能量提取率定義為出射粒子的能量與入射粒子能量的比值。力學彭若斯過程較有代表性的工作有:文獻[12-13]考慮兩個粒子的碰撞及在視界附近的湮滅和散射,提出了碰撞彭若斯過程(collision Penrose process),可以提取更高比例的能量。在文獻[14]中,Banados, Silk 和West (BSW) 經過嚴格限制碰撞條件,可獲得高達130%的效率,從而指出被冷暗物質包圍的黑洞可作為粒子加速器[15-16]。而后，Schnitteam將提取效率上升到了新的高度1300%[17]。熱力學彭若斯過程是從黑洞熱力學出發,其效率定義為從黑洞提取的能量可與轉化為有用功的比率。從熱力學的角度探索抽取旋轉黑洞中能量的彭若斯過程代表性的工作有:1983年Unruh和Wald 利用黑洞的熱力學性質探討加速視界附近的輻射,可以抽取很高的能量,被稱為熱力學彭若斯過程[18]。文獻[19-20]從熱力學第一定律出發,推導出了幾種類型黑洞的熱效率的上限。文獻[21]利用有限時間熱力學理論中的horse-carrot定理,從熱力學幾何[22]的角度引入了熱力學過程長度的概念,計算了熱力學彭若斯過程中可能抽取的最大能量和效率。

其二,在黑洞演化過程中,由于吸積作用黑洞可以將周圍物質吞噬,因此相互靠近的黑洞可以并合成新的更大的黑洞。在兩個黑洞并合成新的黑洞的過程中,部分黑洞中的能量可以釋放出來,提供了一種對黑洞能量提取的機制[1-3]。

本文將對利用彭若斯過程提取黑洞旋轉能量和黑洞并合輻射的能量進行探討,提出兩種提高能量提取率的方案，其中能量提取率定義為彭若斯過程中黑洞能量的變化量與初始時黑洞總能量的比率。

1 從黑洞中提取能量的基本機制

1.1 彭若斯過程

1969年,彭若斯發現,在能層區附近,一個具有能量E1的物體能夠分裂成兩部分,其中帶有能量E2的一部分逃離到無窮遠,帶有負能量E3的一部分進入視界,由于E3<0,考慮能量守恒,則E2>E1,故逃離到無窮遠部分的能量大于物體本身擁有的能量。對于黑洞而言,由于進入黑洞那部分物體帶有負的角動量,將使黑洞的角動量變小,轉速會變慢,能層逐漸縮小,可見提取出來的能量來源于黑洞的旋轉能量,從而實現了從旋轉黑洞中提取能量。下面介紹兩種經典的從黑洞中提取能量的方法。

1.2 從極端克爾黑洞中提取能量

假設極端克爾黑洞的質量為M0,能量為E0=M0c2,其內外視界重合,視界面積為

(1)

到最終態,黑洞失去所有轉動能量退化為史瓦西黑洞,其質量為M1,對應能量為E1=M1c2,其視界面積為

(2)

由黑洞面積不減定理,可知A1≥A0,即有

(3)

整個過程從黑洞提取的總能量為

ΔE=M0c2-M1c2。

(4)

由(3)和(4)式可得

(5)

可見,由于極端克爾黑洞具有最大的旋轉角動量,在其退化為史瓦西黑洞的過程中,可提取的旋轉能量達到最大值,提取率為29.0%。

1.3 兩個史瓦西黑洞的并合過程提取的能量

(6)

在碰撞過程中輻射出來的能量為

ΔE=M1c2+M2c2-M3c2≤

(7)

由(6)及(7)式,可得輻射能量的極限值為

(8)

當M1=M2=M時,這個極限值達到最大,為

(9)

可見,兩個史瓦西黑洞并合成一個史瓦西黑洞的過程中,可提取能量的極大值也是初始能量的29.0%。

2 對提高黑洞能量提取率的探討

上一部分回顧了利用彭若斯過程從極端克爾黑洞提取能量及兩個史瓦西黑洞并合過程中釋放的能量的極限,最大提取率都是29.0%。本部分,我們從兩個角度探討提高能量提取率的辦法。

2.1 兩個克爾黑洞碰撞能量提取分析

(10)

則碰撞前后黑洞的質量參數滿足

(11)

當兩個克爾黑洞質量相等時,(11)式取等號,即M1=M2=M0時,釋放出最大能量,并合后黑洞的質量為

(12)

因此,兩個克爾黑洞碰撞形成一個史瓦西黑洞的過程中,可提取的最大能量

ΔE=M0c2+M0c2-Mc2=

(13)

其能量提取率為:

(14)

討論:

(1)當a=0時,等效于兩個史瓦西黑洞并合過程,其提取率為29.0%,與1.2小節結果符合。

(15)

由此可知,其能量提取率高于傳統的29.0%。

(3)當a與M0相等時,即兩個極端克爾黑洞并合最終成為一個史瓦西黑洞時,能量提取達到最大。根據(14)式,提取率為50.0%。

2.2 3個史瓦西黑洞并合過程的能量提取分析

(16)

兩次碰撞過程釋放的總能量為

ΔE=(M1+M2+M4-M合)c2，

(17)

故能量提取率為:

(18)

討論:

(19)

表1 質量比M4/M3取幾種特殊值時的能量提取率

圖1 能量提取率β與黑洞質量比M4/M3關系圖Fig.1 Diagram of the relationship between energy extraction rate β and black hole mass ratio M4/M3

3 結論

如今能源緊缺,在人類尋找和研發各種各樣新型能源的同時,物理學家把焦點聚集于黑洞,黑洞蘊含著大量的能量,若能提取出來為人類所用則可以緩解能源危機。彭若斯過程提供了一種從旋轉黑洞中提取能量的機制。傳統的彭若斯過程能量提取率的極限是29.0%,本文從傳統的彭若斯過程出發,探求更高的能量提取率,提出了如下兩種新途徑:

(2)考慮3個史瓦西黑洞的并合過程,我們發現,當3個史瓦西黑洞質量相同時,能量提取率達極大值42.3%,同樣高于傳統的29.0%。由此可以設想多次碰撞可以實現更多能量的提取。

本工作進一步探索了黑洞能量提取率的極限問題,提出了從黑洞中提取能量的兩種理論上可行的思路,雖然理論性較強,但隨著科技的發展進步,人類正漸漸揭開“黑洞的神秘面紗”?？梢詴诚朐诓贿h的將來,從黑洞中提取能量會具有一定的可實踐性,我們可以充分的發掘和利用黑洞中的能量,使其成為源源不斷的能量源,供給人類利用。

致謝：感謝山西師范大學物理與信息學院周祥楠副教授的討論。