自由來流中展向速度對流動穩定性的影響

李 佳

(唐山學院 基礎教學部，河北 唐山 063000)

為了解決工程實踐問題，學者們對二維平板邊界層擾動的問題進行了研究，但對自由來流的速度不垂直于平板前緣時的三維邊界層問題，如后掠翼和偏航翼等研究較少。三維邊界層在自然界中是普遍存在的，因此研究三維邊界層的流動穩定性特征具有重要的理論和實際意義。

流動穩定性是指流動對作用在其上的小擾動的響應問題，主要有兩種解決方法：能量法和小擾動法。從1883年Reynolds在圓管流動中發現層流和湍流開始，穩定性理論逐步發展，并不斷完善。19世紀有了無粘流的穩定性理論，但是無法解釋邊界層、槽道流中的轉捩問題。20世紀初，Orr和Sommerfeld建立了粘性流體的小擾動O-S方程，Tollmien和Schlichting計算出了邊界層中小擾動的T-S波。Brown[1]，Mack[2]，Malik等[3]先后采用數值方法求解O-S方程。目前二維邊界層的研究比較成熟，Rist等[4]采用直接數值模擬的方法研究了平板邊界層的控制轉捩，結果與實驗模擬的轉捩過程一致；Markus[5]采用空間模式模擬了有壓力梯度下的邊界層轉捩過程；Fasel[6]等對不可壓邊界層空間模式的轉捩過程研究作出了很多貢獻。在國內，唐洪濤等[7]基于時間模式，李寧[8]、李佳等[9-10]基于空間模式數值模擬了平板邊界層的穩定性及轉捩問題；趙耕夫等[11-12]針對三維邊界層問題研究了旋轉圓錐超音速三維邊界層的橫流不穩定性和壁面冷卻對穩定性的影響，以及點源產生的孤立波包在后掠翼平板邊界層中的演化特征，并計算了波包的增長路徑；劉坤坤等[13]以NLF(2)-0415翼型為研究對象，計算了展向無限長后掠機翼的基本流場，對復雜構型進行了橫流不穩定性轉捩預測；沈露予等[14]研究了三維邊界層內定常橫流渦、無限長后掠平板邊界層的感受性問題。本文將采用線性穩定性理論研究三維平板邊界層的計算問題。

1 計算模型

平板邊界層的計算域和坐標系如圖1所示。自由來流的方向與平板是平行的，與平板前緣有一定的夾角，將速度分解為兩個方向的速度，與平板前緣方向垂直的來流速度分量記為U∞，與平板前緣方向平行的來流速度分量記為W∞。流向x沿著平板的長度方向且與平板前緣垂直，法向y垂直于平板，展向z沿著平板的寬度方向且與平板前緣平行，流向、展向和法向的計算域長度分別為Lx，Ly，Lz，在x，y，z三個方向的速度分量分別用u，v，w來表示，x0為計算域的入口距離平板前緣的位置。

圖1 平板邊界層的計算域和坐標系

2 基本流

因來流的方向不垂直于平板的緣故，所以這是三維邊界層問題。在這個問題中，對三維納維斯托克斯方程(N-S方程)進行量級估計，可以得到如下結論[15]：關于y方向的動量方程中，得到的?p/?y很小，可以略去，壓力只是依賴于x和z。關于x和z方向動量方程的各個摩擦項對流向x和展向z的導數與對法向y的導數相比，前二者可以略去不計。因此，三維定常不可壓縮邊界層方程為：

(1)

壁面和無窮遠的邊界條件是：

(2)

自由來流U∞=const；W∞=const，且自由流動不依賴于x和z，此時方程(1)可以進一步簡化為：

(3)

16從方程(3)的形式上來看，將第二個式子中的w換成u后與第一個式子相同，且第三個式子中不含有w，因此在求解方程(3)時可以先聯立方程的第一個和第三個式子，這兩個式子為二維定常不可壓縮邊界層方程，可由布拉休斯相似性解(Blasius similarity solution)求解出基本流u和v，再由u(x，y)和w(x，y)的關系式w/u=W∞/U∞得到w(x，y)，就可以求解出三維的平板層流解。

采用FORTRAN編寫程序，應用Tecplot數據軟件進行后處理，針對自由來流速度W∞和U∞存在不同的比例關系計算了4種情況，分別為W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0。圖2給出了4種情況下入口處的基本流分布及其相應的一階、二階導數，以邊界層的外緣速度U∞作為速度的尺度因子。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

3 穩定性分析

針對W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0這4種情況下的擾動進行流動穩定性分析。4種情況的計算參數見表1。

表1 4種情況的計算參數

圖3和圖4分別顯示了4種情況下流向波數和增長率隨著流向位置的變化，并與二維邊界層相同參數擾動波的結果進行比較。圖3中的αr為流向波數，三維邊界層的αr均小于二維邊界層，并隨著W∞/U∞的增大，αr是逐漸減小的。圖4中的-αi為擾動波的增長率，可以看出，在入口處二維邊界層的增長率大于三維邊界層的增長率，隨著W∞/U∞的增大，增長率是逐漸減小的，在擾動演化的后期，后邊的流向位置處三維邊界層的增長率均大于二維邊界層的增長率，并且隨著W∞/U∞的增大，增長率是逐漸增大的。在整個流向位置，W∞/U∞越大，增長率變化的梯度越大，流動越不穩定。

圖3 流向波數

圖4 增長率

圖5給出了4種情況的特征函數。可以看出，特征函數|u′|和|v′|的形狀基本保持不變，而|w′|的變化比較顯著，|w′|的形狀基本沒變，但是大小變化很大，隨著W∞/U∞的增大，|w′|越來越大，當W∞/U∞=0.8和W∞/U∞=1.0時，|w′|超過了|u′|。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

圖6顯示了4種情況下擾動波幅值隨著流向位置的變化，并與二維邊界層相同參數擾動波的幅值進行比較。擾動波的初始幅值均為1×10-4，隨著擾動的演化，不穩定擾動波的幅值都增長起來，在所有流向位置，三維邊界層擾動波的幅值均大于二維邊界層擾動波的幅值；并且可以得到，隨著W∞/U∞的增大，幅值增長得越快，在計算區域內，W∞/U∞=1.0時幅值增長得最快，最終增長為4×10-3，增大了40倍。

圖6 擾動波的幅值比較

4 結論

本文采用線性穩定性理論研究了三維平板邊界層中展向來流速度對流動穩定性的影響，基本流中給出了展向速度的大小，從特征值、特征函數和擾動波的增長幅值上顯示不同展向來流速度的計算結果，并和無展向來流速度的二維邊界層進行比較，得到了以下結論：①展向來流速度不同，流向波數不同，展向速度越大，流向波數越小；②展向來流速度不同，增長率不同，入口處的增長率隨著展向速度增大而減小，但在演化后期，增長率隨著展向速度增大而增大，均大于二維邊界層增長率，即展向速度越大，增長的梯度越大，流動越不穩定；③展向來流速度不同，擾動波的幅值增長不同，展向速度越大，幅值增長的越大，流動穩定性越差。