我國國債利率期限結構的影響因素與投資組合策略的應用
——基于主成分分析法和因子分析法

毛 魁

(河北地質大學 河北 石家莊 050031)

文獻綜述：

國內：王春風(2014)使用赫米爾特插值法，研究了中國債券市場的利率期限結構，量化了風險因素，得到債券組合管理的策略與風險對沖的原則，并進行實證分析，檢驗了模型的有效性。

吳迪(2019)驗證了目標久期策略不隨到期收益率的變動而變動，使用了中債全價指數創建模擬組合進行了策略的驗證和推演，得到比較好的結果。

國外：Nawallcha和Soto(2009)將債券組合的利率風險對沖模型分為四類：

1.M絕對值模型/M平方模型

2.久期向量模型/M向量模型

3.關鍵利率久期模型

4.主成分(Litterman和Scheinkman,1991)模型(后面我們會涉及到該方法的應用)

上述的四個模型是在傳統模型的基礎上進行擴展得以研究。

一、債券組合投資管理策略

一般認為，債券投資組合管理策略會實時根據投資者對利率的預期和投資者對市場的態度分為消極和積極的投資組合管理策略，之所以會形成兩個截然不桶的策略，是由于投資者或者金融機構對于市場的態度。如果投資者認為市場不是什么時候都有效的，一定存在盈利空間，那么就會選擇積極的管路策略；反之，會選擇消極的管理策略。

(一)積極的債券組合投資管理

此策略主要是由于金融機構認為可以對利率進行相應的預期，以此來戰勝金融市場，通過不斷地調整金融資產投資的比例，以此達到獲利的目的。除了對利率可以進行預期還需要幾個相應的前提條件：

1.債券市場弱勢有效或無效。從具體來講就是說，只要市場是弱勢有效的，那么在市場中總能找到活力的機會，也就是存在被低估的債券，或被高估的債券。此時就會出現低買高賣的情形，出現獲得利潤的時機。

2.超額收益的來源：對利率進行預測是最主要的來源之一，另外的一種就是找出定價錯誤的固定收益證券。和第一個條件相吻合。

積極的債券組合管理策略要求金融機構和投資者準確地把握利率走勢，加上積極、合理地調整相應債券地投資比例。積極的債券組合管理策略策略的要求的條件比較多，而且需要身后的專業知識來達到這種策略，所以會比較的繁雜，也只有金融機構如銀行，保險，基金等才能大致的對市場利率進行預測，因為他們的得到的信息比一般投資者更有效和更充分。

(二)消極的債券組合投資管理

消極的債券組合管理策略的金融機構認為無法戰勝市場，我認為可以把它成為比較穩妥的債券組合管理策略。之所以這樣認為是因為這種組合管理策略對利率的變動并不是很敏感，而且負債和未來的現金流會相互的產生抵消，盈利或者虧損的限度低。凈價格效應，和凈利息效性產生的總效應的差值并不是很大基本可以相互抵消。

該策略主要的分類：一是負債管理策略，主要包括免疫策略和現金流匹配策略。免疫策略分為目標期免疫策略、多起免疫策略，和凈資產免疫策略。現金流匹配有一個重要的特點是不考慮利率再投資的風險。免疫策略的利率會進行再投資，所以會有一定的利率風險，考慮的是將來某個負債到期是，所投資的債券組合能否應付將來時間點的負債。通過一定的計算和觀察，要求兩個條件。一是債券未來現金流的折現等于負債現值；二是債券組合的久期和負債的久期相等。這兩個條件是實現目標期免疫的充分條件。而多期免疫和凈資產免疫同樣部分適用。總的來講目標期免疫就是利用未來時間點的負債和未來時間點的資產相匹配，盡可能使資產大于或等于負債的情況。二是指數策略。顧名思義就是使債券組合和某個市場指數相掛鉤，那個這個市場的跌漲起伏將直接影響該債券組合的投資比例。且如果該指數包含太多的券種，那么對金融機構來會更加難以管理，有時會失去投資的意義，達不到免疫的目的。

所以不管是積極的管理策略還是消極的管理策略，都會出現不理想的情況，消極的管理策略主要是掛鉤某個基準，使它與基準之間的誤差最小。積極管理策略則是在基準之外，積極主動地繞開基準，從而選擇相對于基準更多的利率風險暴露，但到期收益率更高的債券來提高組合的相對收益，也就是我們說的高風險，高收益。

二、利率期限結構與相關理論介紹

(一)利率期限結構

利率是借貸資金的成本，利率期限結構是在某一個具體的的時間點上，利率隨著債券期限變化的曲線關系。

上圖是我國國債在2020年4月30日，以及一個月之前和一年之前的國債利率趨勢圖，橫向來在不同時點上，不管是一年，一個月還是當下國債利率都隨著到期期限的時長而增加；縱向來看，也是如此。符合我們國家國債的特點。

圖2 數據來源：中國債券信息網

上圖是選取了四個時間點上我國中債國債收益率曲線圖，反映了不同時間點上國債利率的變化趨勢。也能得出隨著到期期限的延長，收益率增長的結論，同樣符合我國國債收益率的特點。利率曲線結構有三種主要的變化趨勢，上升、下降和水平，也可以兩種或者兩種以上相結合，反映了即期收益率與到期收益率之間的關系。

(二)利率期限結構的相關理論

1.市場預期理論。該理論由一些完美的假設，比如投資者沒有投資期限的偏好，市場中不存在完全替代品，而相反，投資者一般偏好中短期債券，對利率的預期依據也比較簡單，根據短期來不斷的預期之后的利率，有一種慣性的思維方式。

2.流動性偏好理論。該理論是在利率預期理論的基礎上提出來的，與預期理論的差別之一在于加了一個風險溢酬，由于持有期限過長存在利率波動的風險，為了補償這個風險，需要加上一部分風險溢酬。

3.市場分割理論。該理論的缺點是把不同期限的債券市場看成各不相關的多個不同的債券市場，不同的債券市場有不同的利率期限結構。可以解釋利率期限結構向上的趨勢。

(三)利率期限結構的形狀的影響因素

1.對利率的預期，是否向上或者向下或者趨于平緩的變動趨勢。

2.債券收益中包含的風險溢酬，風險溢酬越大，則利率的越高，利率期限結構有向上的運動趨勢。

3.市場的效率。根據有效市場假說理論，市場處于半強勢、強勢有效市場則技術分析與基本分析不會再發揮作用，那么就不存在套利機會，投資者對投資就會持有消極的債券組合投資。

三、國債收益率的期限結構分析

(一)模型分析

之所以選擇國債收益率，主要是因為國債屬于無風險利率。

用模型進行分析。Nelson 和 Siegle(1987)使用四個參數來描述整體收益率曲線形態，如式(1)所示：

(1)

其中，M 表示期限，r(M)為對應期限的債券收益。β0、β1、β2和 λ 為收益率曲線形態的參數，除了參數 λ 之外，其他三個參數都是線性形式。β0反映水平因素、β1反映斜率因素、β2反映曲率因素。這三個因素就是收益率曲線的三個主要的影響因素。

Diebold 和 Li(2006)對式(1)進行簡化，將 λ設定為常數。將期限結構的變動 Δr(M)表達為 Δβ0、Δβ1和Δβ2 的線性組合。如式(2)所示：

(2)

接下來設定Δrt(M)=rt(M)-rt-1(M)，其中向量Δrt反映了不同期限國債收益率的變動。

從數據中摘選10種不同的期限(最短為 6 個月，最長為 30 年)。使用因子分析方法，可以將利率的變動表達為 Δrt=Lft，其中 L∈Rn×n為正交因子載荷，ft為n個因子向量。如果基于簡化的N-S期限結構方程，利率的變動表達式為Δr(M)=HΔβt。H表示n*3的矩陣，n表示所選區的不同的期限，向量Δβt包括三個參數的變動即、Δβ1t、和Δβ2t。后來Memmel(2014)將Δrt=Lft(基于因子方法)和Δr(M)=HΔβt兩個算式合并：證明得到下式：

Δβt=(L(1)’H)- 1ft,(1)

(3)

式(3)將基于因子方法得到三個重要因子轉換成為期限結構方程的三個參數。就能夠發現三個因子ft,(1)和三個參數的變動Δβt包含同樣的信息，這樣就可以用因子分析方法較好的擬合國債收益率曲線結構。基于上述分析，本文應用因子分析方法，對中國國債收益率的期限結構進行分析。因子分析將多個變量之間的相互關系，通過更少的幾個公因子來描述。因子模型的矩陣形式為：

(4)

上式表示p個多元回歸方程。Y1,y2,...,yp為可觀測的變量，所對應的期望為υ1，υ2，...υp。矩陣表示因子載荷，F1,F2,...,Fm為不可關測的因子，ε表示未被因子解釋的部分，即測量誤差。

(二)利率期限結構的三個主成分影響因子

國外包括國內的一些研究普遍接受國債收益率的波動來源于兩個或者三個因素的影響。Litterman和 Scheinkman(1991)將這三個因素歸納為水平因素、斜率因素和曲率因素。

1.水平因素也叫平移因子，顧名思義就是利率期限結構發生向上或者向下相同基點的平移，類似于數學中的平移，不改變利率期限結構的曲線形狀。而且各個期限的因子的系數也就是(1)式中的β0。一般情況下，該因子可以解釋利率期限結構變動的60%以上，我們從下表4就可以看出該因子78.93%的解釋程度。

2.斜率因素，斜率因素是使利率期限結構變得平坦或者變得傾斜程度更大的主要因素，具體是曲線長的一端和短的一段變動不一致，短的一段上升則長的一段下降，此時出現變得變得平坦的情況。如果短的一端下降，而長的一段上升則利率期限結構會出現更大的傾斜程度。解釋程度在5%-30%之間。表4的解釋程度在15.23%，符合這個范圍。

3.曲率因素亦叫凹凸因子，是使利率期限結構凹凸不一致的主要因子，該因子可以解釋利率期限結構變動的1%-10%。表4的解釋程度在3.1%同樣也符合這個范圍的解釋程度。

水平因素對應于最大的特征根，如表4所示水平因素的特征根為10.26045，該數值反映出利率期限結構變動最主要的因素是水平因素，我們從圖6的因子載荷圖可以看出：水平因素影響下的收益率與到期期限的長短無關，水平因素對各期期限的利率影響程度相似。因此投資者可以在這種情況下進行套期保值，主要是利用久期/凸性使債券組合的價值不至于大幅度的變動。

傾斜因素對應于表4的第大二特征根，數值為1.979445，顯然與水平因子差別很大，該因素的出現使短期和長期的利率發生不同程度和方向的傾斜。

曲度因素對應于表4的第三大特征值，數值為0.4026，該數值說明利率期限結構相比于第一、二大因子對利率的敏感性變得更低。

(三)主成分分析的原理與實證分析

原理：計量中的原理是說在被解釋變量做回歸分析時，各個解釋變量對該回歸的解釋程度如何。比如有p個解釋變量，我們做主成分分析，發現前三個解釋變量就可以解釋該被解釋變量，此時我們就說，這三個解釋變量就可以很好的解釋被解釋變量，還有一個條件，就是這三個解釋變量的不存在相關性，以避免多重共線的情況。

下面所使用的數據來自中國債券信息網，從2002年實時發布日國債收益率數據，所使用的數據從2002年1月4日至2018年12月31日。選取的利率期限為1個月，2個月，3個月，6個月，9個月，1年，3年，5年，7年，10年，15年，20年和30年的國債即期收益率，樣本包括了短期，中期和長期，包含了3746天的樣本，國債收益率數據52444個，保證了數據的可靠性。下面我們逐一進行分析：

表1

上表顯示了不同期限國債的的相關數據，均值，最大值，最小值，標準差，樣本規模3736個。

圖3

如圖3所示，不同期限的國債收益率債券呈現上升的趨勢，即期限越長收益率越高的趨勢。

圖4

如上圖所示，不同期限的國債收益率的方差也就是波動性呈現遞減的趨勢，即短期國債收益率波動性強，中長期國債收益率波動性弱的特點。這說明除了第一因子水平因素外，還存在其他影響收益率波動的因子。

表2 各變量之間的相關系數表

由表二的數據顯示，國債之間的期限越是相鄰，那么他們之間的相關系數就越大，也就是說相關性越強。總體來說各期限的相關性都比較強，可以做主成分分析。

表3 單位根檢驗

該檢驗說明02年到18年國債收益率是平穩的，Breitung t-stat等于0，下面檢驗三個值都小于0.05，表明各期限國債收益率是平穩的。

圖5

如上圖所示，橫坐標表示主成分，從坐標表示特征值，從上圖可以看出，第一個特征值位于最高點，反映了國債利率期限結構大部分的變化，第二個特征值接近2，次之。而第三個主成分已經位于坐標軸下方為負，就很難在某些程度上反應利率期限結構的的變化。因此選區前兩個主成分就可以較為完整的反應利率期限結構的整體變動。

表4 各個主成分的方差貢獻率

80.0061460.000512.9850399.88%90.0042920.000312.9893399.92%100.004080.000312.9934199.95%110.0030860.000212.9964999.97%120.0023550.000212.9988599.99%130.0011530.000113100.00%

上表反映了各個主成分對收益率總體方差的解釋能力，第一個主成分解釋收益率變動的78.93%，第二個主成分解釋收益率變動的15.23%，第三個為3.1%，合計解釋程度97.25%，可見我國國債收益率的三個主成分的累計解釋力度接近發達國家水平。

表5 因子載荷量

圖6 各期限的因子載荷圖

從表5和圖6中可以看出，前三個主成分基本上對所有原始變量的方差變動的解釋程度，都有較大的貢獻。第一個因子，對所有期限債券的影響程度解釋相似且顯著，如上圖藍色的線條，基本上是一條直線，也就是我們說的水平因子；第二個主成分對1年以內的國債影響為負，對中長期國債影響為正，表示第二個斜度因子；第三個主成分對中短期的國債的影響為負，對長期國債的影響為正，表示取度因子。表示利率期限結構的三個主要影響因子主要就是上述的三個。

四、利率期限結構對債券組合管理策略的影響

關于債券組合管理策略，很多文章都涉及到一些比較好的免疫策略，一提到免疫當然就是消極的組合策略，比如利率風險管理的久期免疫策略，信用風險與利率風險的對沖策略，直接預測債券風險溢價的積極投資策略等等多種策略。我們來研究其中一種策略利率風險管理的久期免疫策略。

利率風險是債券投資面臨的最主要的市場風險，簡要的說就是債券投資者由于利率的變化，債券的價值升高或者降低的可能性。我們上面已經提到，免疫策略的相關內容，比如凈價格效用與凈利息效應的方向相反，相互抵消，以此來鎖定一定的利潤。我們就來實際應用這個策略看是否可以得到理想的結果。

久期是使用最廣泛的利率風險的測量工具，與債券價格的變動與直接的關系。久期又是價格利率曲線的斜率，也就是一次函數，因此利率的變動直接影響價格的變動。久期越大，在某一時點變動時債券的價格波動越明顯。

麥考利久期的計算公式:

n表示第n個付息期，Ct表示第n個付息的現金流，r表示市場中的折現率，現在把r調整為連續復利時：令r*=ln(1+r),帶入久期的公式得到：

(5)

一個資產組合的久期就是組合內各項資產的久期的加權平均和，權重可以理解為各項投資占總投資的比例。

假設債券的投資者投資期限為N年，目標累計價值為Vn,那么該現值為:

(6)

同時我們把它轉換為連續復利的形式：

V0=VN*e-rl*N

(7)

假設現在投資者把資金投資于一項資產組合，每年年末提供固定的現金流C1，C2,...,CN。

(8)

購買債券組合后，連續復利變化為Δr*。因為利率期限結構是平行移動的，所以目標累積現值和債券組合的現值利率變化是一致的。

目標價值的變動ΔV0:

Δv0=(dv0/dr*)*Δr*=[-N*VN*e^(-r*l*N)]*Δr*

(9)

同理債券組合價值的變動ΔVP：

(10)

如果V0=ΔVP,說明市場利率變化對投資者投資活動的效益不產生影響，也就是說是利率風險免疫的。和目標久期策略有一定差別。而且上述利率只變化了一次，顯然這是不可能的情況。實際情況是市場利率每時每刻都在發生改變，所以就要在市場利率變化時，重新調整債券組合比重，使債券組合的久期等于剩余的投資期限，使債券組合對利率風險免疫。從中也可以看出，消極的債券組合投資策略同樣需要不斷地應對市場利率的變化，積極的調整債券投資組合的相關債券的比重才能達到保值增值，規避利率風險的作用。