黏土蠕變非線性特性及其分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型

任 鵬，王 鵬，張 華，唐 印

(1. 四川省建筑科學(xué)研究院有限公司，成都 610081；2. 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室(成都理工大學(xué))，成都 610059；3. 成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106)

黏土的蠕變具有顯著的非線性，尤其是在中-高應(yīng)力條件下[1]。元件模型因為具有理論基礎(chǔ)完善、形式簡單、規(guī)律明確、概念清晰等優(yōu)點，成為研究非線性蠕變的重要基礎(chǔ)。目前非線性蠕變研究主要有以下幾方面：1)傳統(tǒng)元件與經(jīng)驗?zāi)Ｐ停瑢O均[1]提出采用傳統(tǒng)元件模型描述低應(yīng)力條件下的蠕變，非線性經(jīng)驗?zāi)Ｐ兔枋龈邞?yīng)力條件下的蠕變，以此建立非線性蠕變模型；2)傳統(tǒng)元件與新型非線性元件，李晶晶等[2]通過在Burgers 模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)一個非線性黏塑性元件來描述加速蠕變，建立了膨脹土的非線性蠕變模型；劉開云等[3]通過構(gòu)建應(yīng)變觸發(fā)式非線性黏滯元件來描述加速蠕變，并與Bingham 模型串聯(lián)，建立了三維非線性蠕變模型；韓陽等[4]通過構(gòu)建一種非線性黏滯元件，分別替換Burgers 模型中的兩個黏滯元件，建立了非定常Burgers 蠕變模型；3)傳統(tǒng)元件與損傷非線性元件，蒲成志等[5]基于損傷理論分別構(gòu)建了彈性損傷元件和黏性損傷元件，并以此與其他經(jīng)典元件組合建立了五元件非線性蠕變損傷模型；謝星等[6]采用Maxwell 模型和滑塊元件并聯(lián)描述線性蠕變，構(gòu)建的損傷元件描述非線性蠕變，以此建立了統(tǒng)計損傷蠕變模型；4)傳統(tǒng)元件與分數(shù)階黏滯元件，郭佳奇等[7]通過分數(shù)階微積分理論，構(gòu)建了分數(shù)階黏滯元件，并利用新元件代替Kelvin-Voigt 模型中的傳統(tǒng)黏滯元件，建立了分數(shù)階微積分Kelvin-Voigt 模型；肖世武等[8]通過采用Koeller 彈滯元件代替標準線性固體模型中的傳統(tǒng)黏滯元件，建立了分數(shù)階非線性流變模型；蘇騰等[9]在Scott-Blair 分數(shù)階元件和變系數(shù)分數(shù)階元件的基礎(chǔ)上，建立了變階分數(shù)階非線性黏彈塑性蠕變模型。國外對非線性蠕變也有大量的研究，Chunlin[10]通過Bingham 模型和Kelvin 模型，結(jié)合損傷理論，建立了非線性黏彈塑性損傷蠕變模型；Zhu 等[11]根據(jù)試驗擬合，構(gòu)建非線性化蠕變系數(shù)，并建立了非線性蠕變模型；Cao 等[12]基于損傷理論構(gòu)建了一個損傷黏滯元件和損傷彈性元件，分別替換Burgers 模型中的傳統(tǒng)黏滯元件和彈性元件，建立了非線性損傷蠕變模型；Li 等[13]基于分數(shù)階微積分理論構(gòu)建了分數(shù)階黏滯元件，并將其替換了西元模型中的兩個傳統(tǒng)黏滯元件，同時還基于指數(shù)函數(shù)構(gòu)建了非線性黏塑性元件，將其與改進西元模型串聯(lián)，建立了非線性蠕變模型；Zhao 等[14]認為在蠕變過程中，彈性模量隨應(yīng)力或時間的變化非線性軟化，而黏滯系數(shù)隨應(yīng)力或時間的變化非線性硬化，并基于損傷理論、硬化理論和Burgers 模型，建立了損傷硬化非線性蠕變模型。Yang 等[15]基于損傷理論和分數(shù)階微積分理論，構(gòu)建了分數(shù)階黏滯元件，建立了五元件非線性損傷蠕變模型。非線性蠕變的研究已經(jīng)碩果累累，但是也存在以下問題：經(jīng)驗?zāi)Ｐ屠碚摶A(chǔ)不足、地域性限制大；基于新型非線性元件、損傷理論和分數(shù)階微積分理論的蠕變模型常常因為建模元件數(shù)量較多，而引起模型參數(shù)多、形式復(fù)雜，不利于使用和推廣。因此建立一個理論基礎(chǔ)完善、形式簡單、概念清晰的非線性蠕變模型是非常有必要的。

本文以成都黏土為研究背景，首先展開蠕變試驗，通過分析黏土長期彈性模量和黏滯系數(shù)隨應(yīng)力和時間變化的規(guī)律，明確黏土蠕變的非線性規(guī)律；其次，基于分數(shù)階微積分理論構(gòu)建了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)元件，基于Harris 衰減函數(shù)分別構(gòu)建了非線性軟化彈性元件和非線性硬化黏滯元件，并建立了非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型；最后通過非線性蠕變模型的擬合驗證分析，明確了本文蠕變模型的科學(xué)合理性。

1 蠕變試驗

1.1 試驗儀器

以成都黏土作為研究對象，進行三軸蠕變試驗，其主要物理性質(zhì)參數(shù)如表1 所示。由該黏土的液塑限及含水率計算可知，天然狀態(tài)下的成都黏土處于硬塑狀態(tài)，其黏聚力和內(nèi)摩擦角相對較大，表明土體力學(xué)性質(zhì)相對較好。但根據(jù)成都黏土地區(qū)的實際工程經(jīng)驗，成都黏土一般具有較強的水敏性及弱-中膨脹勢，其綜合力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變，其土體力學(xué)性質(zhì)特殊性較強，具有一定的代表性。試驗儀器采用CSS-2901TS 土體三軸流變試驗機，如圖1 所示，該試驗儀器可通過應(yīng)力控制的方式完成蠕變試驗。

圖1 CSS-2901TS 土體三軸流變試驗機Fig. 1 CSS-2901TS soil triaxial rheological testing machine

表1 成都黏土的基本物理性質(zhì)Table 1 Basic properties of Chengdu clay

1.2 試驗方法

1)制樣，試樣尺寸為：高78 mm，直徑39.1 mm，并采用抽真空注水的方法飽和試樣。

2)裝樣及固結(jié)，對試樣施加200 kPa 的圍壓，加壓速率為0.1 kPa/min。當(dāng)圍壓加壓完畢后，先關(guān)閉孔隙水壓力排水閥門，待孔隙水壓力上升至圍壓的98%以后，打開孔隙水壓力排水閥門，孔隙水壓力逐漸降低，直至孔隙水壓力消散達到95%以上，再次關(guān)閉孔隙水壓力閥門，若穩(wěn)定的孔隙水壓力消散仍在95%以上，即認為試樣固結(jié)完成。

3)蠕變加載方案，蠕變試驗采用分級加載進行，加載總應(yīng)力qf為333.98 kPa(qf根據(jù)《土工試驗方法標準》(GB/T 50123?2019)，由同等條件下的常規(guī)固結(jié)不排水三軸剪切試驗確定)。每級軸向加載偏應(yīng)力?q=qf/x，x為加載級數(shù)(x=4)；綜上，本次蠕變試驗的加載方案為：83.49 kPa→166.98 kPa→250.47 kPa→333.96 kPa。

4)蠕變試驗每級荷載下的試樣穩(wěn)定標準為變形量小于0.01 mm/2d。

2 試驗結(jié)果及分析

2.1 蠕變試驗曲線

成都黏土的蠕變時程曲線如圖2 所示。由圖2可知，成都黏土蠕變有以下特點：前三級加載時，軸向應(yīng)變隨時間逐漸衰減，表現(xiàn)出衰減蠕變性質(zhì)；第四級加載后，軸向應(yīng)變先以穩(wěn)定的速率變形，隨后應(yīng)變速率迅速增大，直至試樣破壞，蠕變表現(xiàn)出一定的穩(wěn)態(tài)蠕變和顯著的加速蠕變性質(zhì)。

圖2 軸向應(yīng)變時程曲線Fig. 2 Time history curves of the axial strain

2.2 長期強度

成都黏土的等時應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。由圖3 可知：應(yīng)力應(yīng)變等時曲線出現(xiàn)分離，隨著時間的發(fā)展，加載瞬時的黏土應(yīng)變遠小于其他時刻的應(yīng)變，表現(xiàn)出顯著的蠕變變形。

圖3 應(yīng)力-應(yīng)變等時曲線Fig. 3 Isochronous stress-strain curves

其原因可能為：黏土加載的瞬時速率遠大于蠕變速率，土體力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)出遠大于長期彈性模量和長期強度的瞬時彈性模量和瞬時強度，因此加載瞬時的黏土變形較小；但在恒定荷載下，隨著時間的增加，黏土力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)出長期彈性模量和長期強度，其變形迅速增加，因此加載瞬時和加載后的應(yīng)力應(yīng)變曲線分離。第三級加載后，曲線出現(xiàn)拐點，根據(jù)沈明榮等[16]提出確定長期強度的等時曲線法，可將第三級軸向應(yīng)力作為黏土的長期強度 σL；由于第四級軸向應(yīng)力為常規(guī)三軸固結(jié)不排水確定的應(yīng)力，其剪切應(yīng)變速率遠大于蠕變速率，可認為黏土是“瞬時”剪切破壞的，可將第四級軸向應(yīng)力作為黏土的瞬時強度。

2.3 長期彈性模量

成都黏土彈性模量EL的時程曲線如圖4 所示。由圖4 可知：在前三級加載時，EL隨著時間的增加先以較大的速率迅速衰減，隨后逐漸收斂，保持不變；最后一級加載后，EL先以某一速率穩(wěn)定衰減，隨后衰減速率突增，直至土體破壞；并且EL隨著應(yīng)力的增加而減小；綜上所述，EL是時間和應(yīng)力的函數(shù)，隨時間和應(yīng)力的增加非線性軟化。

圖4 長期彈性模量時程曲線Fig. 4 Time history curves of the long-term modulus

2.4 黏滯系數(shù)

成都黏土黏滯系數(shù) η的時程曲線如圖5 所示。由圖5 可知： η隨著時間的增加而增加，隨著加載應(yīng)力的增大而減小；在最后一級加載時， η先隨時間的增加而增加，但隨后急劇減小，直至土樣破壞。綜上所述， η是時間和應(yīng)力的函數(shù)，隨時間的增加非線性硬化，隨應(yīng)力的增加非線性軟化。

圖5 黏滯系數(shù)時程曲線Fig. 5 Time history curves of the viscous coefficient

3 非線性蠕變模型

3.1 分數(shù)階黏滯元件

元件模型雖然具有諸多優(yōu)點，但其對非線性性質(zhì)的描述還存在不足，而分數(shù)階算子因為對材料的歷史具有記憶性，在描述黏塑性和黏彈性時具有顯著的優(yōu)勢，可很好地彌補元件模型的不足[17 ? 18]。

分數(shù)階微積分定義最常用的理論是Riemann-Liouville[19 ? 20]理論：設(shè)函數(shù)f在(0，+∞)上連續(xù)可積，對t>0 ， Re(n)≥0，分數(shù)階積分有：

式中： Γ(n)為Gamma 函數(shù)；n為分數(shù)階階數(shù)。

圖6 分數(shù)階黏滯元件Fig. 6 Fractional viscous element

3.2 非線性元件

由于Harris 函數(shù)是一種形式簡單，曲線靈活的衰減型函數(shù)[21?22]，有利于描述非線性衰減蠕變性質(zhì)，因此采用該函數(shù)描述非線性衰減蠕變，其公式如下：

由式(7)建立非線性彈性元件，如圖7 所示，其本構(gòu)如下：

圖7 非線性彈性元件Fig. 7 Nonlinear elastic element

2)非線性黏滯元件

由圖5 可知：黏滯系數(shù)是應(yīng)力的衰減函數(shù)，是時間的增函數(shù)。因此，提出 η的非線性公式如下：

圖8 非線性黏滯元件Fig. 8 Nonlinear viscous element

3.3 非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型

本文擬采用1 個非線性彈簧元件E、1 個非線性黏滯元件 η1、1 個分數(shù)階黏滯元件 η2和1 個塑性元件V構(gòu)建蠕變模型，如圖9 所示。在圖9 中，彈簧元件描述瞬時彈性變形；當(dāng) 0

圖9 非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型Fig. 9 Nonlinear fractional derivative creep model

當(dāng)t=0 時，在模型上施加應(yīng)力 σ，黏土變形有：

4 蠕變模型辨識及性質(zhì)分析

4.1 蠕變模型辨識

本文非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型與經(jīng)典Burgers模型類似，后者具有能較好反映瞬時應(yīng)變、初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變、卸載后產(chǎn)生塑性變形等優(yōu)點[24]。因此，分別利用本文蠕變數(shù)據(jù)和文獻[25]中的蠕變數(shù)據(jù)對本文蠕變模型和經(jīng)典Burgers 模型進行擬合分析。結(jié)果分別見圖10、圖11 及表2。

圖10 本文蠕變試驗擬合曲線Fig. 10 Fitting curves of creep test in this paper

由表2 可知，非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型在兩個蠕變試驗第一級加載時，擬合參數(shù)ab<0，c>1 表明EL(σ,t) 、 η(σ,t)均是時間和應(yīng)力的增函數(shù)，可以理解為在加載較小應(yīng)力時，土體力學(xué)性質(zhì)整體增強；但隨后ab>0 ， 0

各參數(shù)的建議取值區(qū)間為：在低應(yīng)力條件下，a的取值區(qū)間為(0.102, 0.439)，b的取值區(qū)間為(?1.001, ?1.465)，c的取值區(qū)間為(1.599, 1.817)；在中-高級應(yīng)力條件下(第二級加載以后)，a的取值區(qū)間為(?0.019, ?0.362)，b的取值區(qū)間為(?2.496,?5.629),c的取值區(qū)間為(0.271, 0.969)；n的取值區(qū)間為(7.662, 8.066)。以上各參數(shù)取值區(qū)間僅為本文對成都黏土的建議取值區(qū)間。

由圖10、圖11 可知，在低應(yīng)力階段，兩個蠕變模型與蠕變試驗值的擬合度均較好，但隨著應(yīng)力和時間的發(fā)展，非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型與蠕變試驗值的擬合度明顯優(yōu)于Burgers 模型，尤其是在加速蠕變階段。綜上所述，本文非線性蠕變模型是科學(xué)合理的，可更準確地反映黏土蠕變?nèi)^程。

圖11 文獻[25]蠕變試驗的擬合曲線Fig. 11 Fitting curves of creep tests in Reference [25]

表2 兩種蠕變模型的擬合參數(shù)Table 2 The fitting parameters of two creep models

5 結(jié)論

針對黏土蠕變的非線性性質(zhì)，以成都黏土為研究背景展開了蠕變試驗；并根據(jù)試驗結(jié)果、分數(shù)階微積分理論及Harris 衰減函數(shù)，建立了非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型，主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)成都黏土蠕變試驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)成都黏土的變形主要包括瞬時彈性變形、衰減蠕變變形、穩(wěn)態(tài)蠕變變形和加速蠕變變形；長期彈性模量隨時間和應(yīng)力的增加非線性軟化，黏滯系數(shù)隨應(yīng)力的增加非線性軟化，隨時間的增加非線性硬化。

(2)基于分數(shù)階微積分理論和Harris 函數(shù)，分別提出了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)黏滯元件、非線性彈性模量和非線性黏滯系數(shù)，并建立了模型簡單、參數(shù)少和概念清晰的非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型。

(3)通過兩組蠕變試驗數(shù)據(jù)，對非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型及Burgers 蠕變模型進行擬合分析，發(fā)現(xiàn)前者各階段的擬合系數(shù)均大于后者并大于0.99，各擬合參數(shù)的規(guī)律更明顯，對黏土非線性蠕變規(guī)律的描述更為合理，綜上所述本文建立的非線性蠕變模型是科學(xué)合理的，可更準確地反映黏土蠕變?nèi)^程。并給出了本文非線性蠕變模型各參數(shù)的建議取值區(qū)間。

應(yīng)當(dāng)指出，通過黏土蠕變試驗，確定彈性模量和黏滯系數(shù)的非線性特性；在流變學(xué)理論和分數(shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上，構(gòu)建分數(shù)階黏滯元件，非線性彈性模量和非線性黏滯系數(shù)，建立的非線性分數(shù)階導(dǎo)數(shù)蠕變模型，是對黏土非線性蠕變規(guī)律研究的一種嘗試和探討，但是文中只通過兩個蠕變試驗對非線性分數(shù)階蠕變模型進行辨識分析，所以蠕變模型的普適性還需要進一步驗證。