布朗馬達在周期余弦勢能與線性耦合作用下的隨機共振現象研究

譚康艷，晏 娟，聶 霞

(紅河學院 數學學院，云南 蒙自 661100)

0 引言

振動動力學問題具有其復雜性，許多問題的徹底解決在數學和力學上仍存在一定的難度，因而直到現在仍然有許多問題亟待進行深入研究和解決，這些問題主要包括復雜非線性振動系統的建模、非線性振動問題的精確求解方法、復雜非線性結構的解耦和數值計算及優化方法研究等[1]。

隨機共振的概念首先是在1981年由Angelo Vulpoiani、Alfonso Sutera和Roberto Benzi等人研究古氣象冰川問題時提出的[2]，他們把由隨機力和弱周期力激勵而引起地球古氣象大幅度變動的現象稱為“隨機共振”[3]。后期，Nicolis[4]在Benzi等人研究的基礎上，通過模擬第四紀冰期和暖氣候期，建立了描述氣候長期變化的隨機微分方程。隨機共振概念提出之后不久，Benzi等關于隨機共振的猜想在實驗中得到了驗證。1983年，Fauve和Hesot在Schmitt觸發器的實驗中，研究噪聲誘導躍遷過程的同步性時首次觀察到了隨機共振現象[5]。在國內，關于振動共振的一個最新研究進展是Yang和Zhu在文獻[6]中首次將分數階阻尼項引入了過阻尼和欠阻尼的Duffing振子中，并研究了分數階阻尼項的分數階數對振動共振現象的影響。

本研究在Yang等人的基礎上，將分數階加速度項引入傳統的Duffing振子中，討論了由雙頻周期信號引發的具有分數階加速度項和分數階阻尼項的分數階Duffing動力系統的振動共振現象。

1 周期余弦勢能中的布朗馬達模型

1.1 周期余弦勢能線性耦合系統模型

由Langevin方程，在研究黏性介質中Brown粒子受到的阻尼力時，將其運動狀態用廣義Langevin方程描述[7]：

其中，xi(t)為第i個粒子的位移，γ(t)為阻尼核函數，V(xi)為勢函數，k為耦合系數，F(t)=A(sinwt+0.5coswt)為粒子所受外力，D為噪聲強度，ξi(t)為零均值高斯白噪聲，滿足漲落耗散定理，即：

〈ξi(t)〉=0,〈ξi(t)ξj(s)〉=δij(t-s)

很多研究表明，粒子運動[8]不具有馬氏性，且距當前時刻越近，歷史速度影響越大，據當前時刻越遠，記憶性越差。因此，本研究在廣義Langevin方程中將阻尼核函數建模為如下的冪律函數：

圖1 阻尼核函數γ(t)Fig.1 Damping kernel function γ(t)

圖1顯示了α取不同值時的阻尼核函數γ(t)。從圖中可觀察到，γ(t)隨著時間t的推移，冪次逐漸衰減；指數α越小，γ(t)衰減得越慢，即對歷史速度的記憶性越強；指數α越大，γ(t)衰減得越快，即對歷史速度的記憶性越弱。可見，指數α描繪了阻尼記憶的力量。

根據Caputo的分數演算定義[9]有：

另一方面，根據Caputo分數階微積分定義[10]有：

其中，F(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

1.2 模型說明

這里，為了研究漲落存在時布朗粒子的運輸特性，可通過耦合系統粒子鏈的平均流速來描述粒子的定向輸運。平均流速[9]的表達式如下所示：

在該公式中，V是一個物理量，反映了布朗粒子的運動趨勢，T為時間，N表示系統中粒子的數量。

此研究用V(x)來描述勢能，V′(x)是布朗粒子外部勢場所產生的勢場力。本研究采用的棘輪勢為：

V(xi)=d(1-cosxi)

其中，d為勢壘高度。棘輪勢函數圖像如下：

圖2 棘輪勢函數V(x)示意圖Fig.2 Schematic diagram of ratchet potential function V(x)

本研究考慮的外力F(t)為周期余弦勢能：

F(t)=A(sinwt+0.5coswt)

其中，A為周期力的幅度，w為周期力的角頻率。

2 數值仿真與結果分析

因為本研究的系統模型比較復雜[9]，在后面數值模擬時，以兩個粒子組成的耦合系統為例，也就是取粒子數N=2：

(0<α<1)

(1)

其中,k為耦合強度，V(xi)=d(1-cosx)，F(t)=A(sinwt+0.5coswt)。

為了解釋方程(1)式中所刻畫的分數階非線性耦合粒子的運動，可采用分數階差分法進行數值模擬仿真。取步長Δt=0.005s，時間Ts=50s，角頻率w=1。

當k=0時，在系統為外力作用下單粒子是在棘輪勢中運動；當k→∞時，所有粒子都剛性地結合在一起，系統的動力學行為與粒子之間的相互作用是不同的，相當于在有效勢中單個粒子的運動：

(2)

本研究不討論上面的這種極端情況，重點是討論耦合強度k取某些值和粒子間相互作用時發生的復雜定向輸運動。

粒子時刻t受到的阻尼力為：

(3)

系統階數α越大，即系統的記憶性惡化，核函數γ(t)衰減越快，這說明以前速度對此刻阻尼力的助力減少，使得阻尼力減弱，此時阻尼力不強，才導致粒子定向輸運速度越快；當系統階數α降低時，歷史速度有助于當前的阻尼力增強，導致粒子定向輸運減速。當這種記憶在一定程度上達到提升時，會使粒子逆轉勢壘，形成定向輸運逆流。

2.1 粒子鏈的平均流速v與勢壘高度d的關系

圖3給出了當系統的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強度為D=0.5時，系統的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖3 當系統的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9， 系統的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.3 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of A=1， A=3，A=5，A=7，A=9 external force intensity

從圖3可以看出，當勢壘高度d≠0時，粒子鏈發生了定向輸運行為，并且伴隨著負向流。當外力強度A<2時，粒子鏈的平均流速v隨著外力F的增大而增加。當外力強度A>2時，粒子產生了負向流，并且粒子鏈平均流速在數值上隨著外力F的增加而增大。從圖中可以看出，勢壘高度d的增大對粒子鏈的運動有細微的影響。具體來講，當勢壘高度d增加時，粒子鏈的平均流速緩慢增大。當外力強度A>2時，粒子鏈平均流速的振幅呈現先增加后減小的趨勢，即產生廣義隨機共振現象。具體來講，平均流速的振幅在A=7時達到最大，在37時逐漸減少。

究其原因，由于阻尼力的影響，使粒子鏈運動產生負向流。阻尼力在很多系統里是方向不定的。在此系統里，外力F的增加促使阻尼力增加，當外力增加到一定程度時，阻尼力的作用促使粒子鏈向相反方向運動，從而產生負向流。一般來講，在沒有外力與耦合力的作用時，粒子鏈是不會產生定向輸運的，這是因為在勢阱內，粒子鏈受到阻尼力與重力勢能的作用，使得粒子鏈不能突破勢阱的束縛，產生輸運。當外力或者耦合力大到一定程度時，粒子鏈克服了勢阱高度與阻尼力的束縛，產生輸運。從圖中可以看到噪聲強度對粒子鏈的運動趨勢沒有起到決定作用，但是它可以加快或減慢粒子鏈的平均流速v。當外力強度A>2時，粒子鏈產生廣義隨機共振現象的根本原因是阻尼力，阻尼力大小，方向不定。當外力較小時，它對粒子鏈運動影響不大，但是當外力增大到一定程度，阻尼力對粒子鏈的運動就有顯著地影響。

圖4給出當粒子鏈的系統階數α=0.1、α=0.3、α=0.5、α=0.7、α=0.9噪聲強度D=0.5，外力強度A=0.5時，系統的勢壘高度d與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖4 當粒子鏈的系統階數分別為α=0.1、α=0.3、 α=0.5、α=0.7、α=0.9，系統的勢壘高度d 與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.4 Relationship diagram of barrier height d and mean flow rate v of particle chain under the system of α=0.1，α=0.3， α=0.5，α=0.7，α=0.9 system order of particle chain

從圖4可以看出，粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有定向輸運現象發生，并且粒子鏈的平均流速隨著系統階數α的增大而增加。縱觀粒子鏈的走勢圖，發現粒子鏈的平均流速整體走勢是在-0.045～0.035來回振蕩，且粒子鏈平均流速在0.37

總體來說，在不同的系統階數下，粒子鏈的在勢阱里面來回震蕩，沒有輸運現象產生，這是因為系統受到的阻尼力大且方向不確定，耦合力、外力對系統的作用無法超過阻尼力對系統的影響，從而使粒子鏈一直在勢阱中來回振動，無法穿過勢阱產生定向輸運行為。由于耦合力、外力、噪聲的作用，粒子鏈沒有靜止在勢阱中，而是在勢阱里面上下震動，產生廣義隨機共振現象。

2.2 粒子的平均流速v與耦合系數k的關系

圖5給出了系統的噪聲強度為D=1、D=3、D=5、D=7、D=9，外力強度為F=0.5時，耦合系數k與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖5 當粒子鏈的噪聲強度為D=1、D=3、D=5、D=7、 D=9，耦合系數k與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.5 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of D=1，D=3，D=5， D=7，D=9 noise intensity of particle chain

從圖5可以看出，當耦合系數00.2時，粒子鏈的平均流速v在-0.06～0.4來回震蕩，且隨著耦合系數k的增大振幅逐漸減小，沒有發生輸運行為。從圖中可以看出，噪聲的存在對粒子鏈的運動影響不大。

綜上所述，當耦合系數00.2時，耦合力的增大使得粒子黏合到一起，再加上阻尼力與勢阱的作用，使得粒子鏈在勢阱周圍上下震蕩，粒子鏈無法突破勢阱與阻尼力的束縛，從而不會發生輸運現象。噪聲的作用很微弱，對粒子鏈的運動幾乎沒有影響。

圖6給出了當粒子鏈的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9，噪聲強度D=1時，耦合系數k與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖6當粒子鏈的外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時， 耦合系數k與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.6 Relationship diagram of coupling coefficient k and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖6可以看出，粒子鏈發生定向輸運行為，并伴隨著負向流的產生。當外力強度A<2時，粒子鏈發生正向輸運現象。當外力強度A>2時，粒子鏈產生負向流。粒子鏈的輸運速度隨著耦合強度k的增大而減小。當外力強度A=7時，粒子鏈的運動行為出現了先負向再正向的現象，從而發生廣義隨機共振現象。噪聲強度對粒子鏈的運動走勢沒多大影響，但隨著噪聲強度的增加，粒子鏈平均流速的振幅增大。

究其原因，這是因為當外力為0時，粒子鏈受阻尼力與勢阱的作用，耦合力突破不了勢阱的束縛，所以剛開始沒有產生輸運現象。當由于噪聲強度與耦合力不為0，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩。噪聲越大，粒子鏈的能量越大，從而震蕩速度越大。當外力不為0時，且小于2時，粒子鏈突破勢阱與阻尼力束縛，產生輸運現象。當外力大于2時，由于阻尼力的作用，粒子鏈發生反向輸運，產生反向流。當耦合強度增大時，粒子黏合在一起，故使得粒子鏈運動速度減慢。

2.3 粒子的平均流速v與噪聲強度D的關系

從圖7給出了當耦合強度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時，噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖7 當粒子鏈的耦合強度為k=1、k=3、k=5、k=7、k=9時, 噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.7 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of k=1，k=3，k=5，k=7， k=9 coupling intensity of particle chain

從圖7可以看出，當噪聲強度D=0時，粒子鏈沒有發生輸運。當噪聲強度D≠0且k>1時，粒子鏈出現正向輸運行為但隨著噪聲強度的增大振幅逐漸減小。出現這種現象是因為，噪聲在驅動粒子進行運動時，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當粒子鏈只受噪聲驅動時，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發生定向輸運。當耦合系數k=1時，粒子鏈的振幅最大，但未發生定向運輸行為。同時我們也可以看到不同的噪聲強度對粒子鏈的運動走勢并沒有很大的影響。產生這種行為的主要原因是當耦合系數k>1時，噪聲強度和外力會突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產生定向輸運，此時噪聲強度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，因此粒子鏈未發生隨機共振現象。

圖8給出了當系統的外力強度A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時，噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關系。

圖8 當粒子鏈外力強度為A=1、A=3、A=5、A=7、A=9時, 噪聲強度D與粒子鏈的平均流速v的關系圖Fig.8 Relationship diagram of noise intensity D and mean flow rate v under the system of A=1，A=3，A=5，A=7， A=9 external force intensity of particle chain

從圖8可以看出，當噪聲強度D=0時，粒子鏈沒有發生輸運。當噪聲強度D≠0且A>1時，粒子鏈出現負向輸運行為，但隨著噪聲強度的增大振幅逐漸增大。出現這種現象是因為，噪聲在驅動粒子進行運動時，無法控制粒子的方向使得粒子鏈速度存在振幅。當粒子鏈只受噪聲驅動時，布朗粒子突破勢壘的束縛，所以粒子在勢壘中發生負向輸運。當耦合系數k=1時，粒子鏈的振幅最大，但未發生定向運輸行為，同時也可以看到不同的噪聲強度對粒子鏈的運動走勢并沒有很大的影響。產生這種行為的主要原因是當耦合系數k>1時，噪聲強度和外力會突破勢阱和阻尼力的束縛，使得粒子鏈產生定向輸運，此時噪聲強度的變化僅僅是增加了粒子鏈的總能量，致使粒子鏈以一定的振幅來回震蕩，由此可得，粒子鏈未發生隨機共振現象。

當噪聲強度過小或者過大時，噪聲強度的增加對粒子鏈的輸運影響不大，但外力強度的變化可以使粒子鏈改變輸運方向。具體來說，當外力強度A=1時，耦合力與外力無法突破勢阱與阻尼力的束縛，所以粒子鏈在勢阱中來回震蕩，沒有產生輸運現象。當外力強度A>1時，此時阻尼力較大，但是方向不定。比如A=3時，阻尼力促進粒子鏈的輸運，即阻尼力與外力，耦合力的合力突破勢阱束縛，使粒子鏈發生輸運行為。這時由于阻尼力方向是負向，所以粒子鏈產生負向流。

2.4 結論

為了讓隨機共振更好地造福人類，鑒于目前的理論研究與實驗依據，將分數階微積分理論引入布朗馬達的研究，探討了由分數階Langevin方程刻畫的分數階布朗馬達。結合分數階微積分的“記憶性”，探討了布朗粒子在過阻尼分數階布朗馬達中的運動特性。將系統建模為分數階線性過阻尼Langevin系統模型，利用分數階差分法模擬模型，研究在周期余弦勢能系統中勢阱高度d、耦合系數k、噪聲強度D對粒子鏈的平均流速v的影響發現，在某些階數下，分數階Brown馬達會出現反向運輸。周期勢場中勢阱高度、耦合力、噪聲強度都能影響粒子的運輸。具體來說，粒子鏈的平均流速會隨著周期外力與勢阱高度的變化而產生廣義隨機共振現象，周期外力和耦合力的改變都可以使粒子鏈產生定向輸運的現象。在系統外力與耦合力不夠大的情況下，噪聲強度的改變對粒子鏈如何運動的影響微乎其微。如果耦合力和系統外力足夠大，那么這兩個因素對粒子鏈的輸運起到的是阻礙作用，在系統階數適中的情況下，促使粒子鏈定向輸運，耦合力在系統階數充分大時，才能對粒子鏈的運動行為有顯著的影響。

3 總結與展望

系統地研究了布朗粒子在周期余弦勢能與線性耦合下布朗粒子的運輸問題及隨機共振現象的發生。隨機共振理論提出，部分噪聲能量會轉化為有用信號的能量，從而使系統輸出信噪比大大提高，即給特定系統加入一定強度的噪聲，不但不會阻礙反而會提高信號檢測的性能，這種“反常效應”在微弱信號檢測中具有很大的潛力。隨機共振是一種信號，噪聲和非線性系統之間出現的協同現象，顛覆了以往人們對噪聲的看法，隨機共振理論為人們在強噪聲背景下微弱信號的檢測方法研究中開創了新的思路。

目前，人們更多的是從物理現象和工程應用中去研究隨機共振現象。研究的數學模型大體可分為兩類：線性模型和非線性模型。本研究引入分數階微積分來刻畫系統的冪律記憶性，建立了由色噪聲參激和周期調制噪聲外激聯合驅動的分數階線性振子的數學模型，即分數階Langevin方程。利用隨機平均法和Laplace變換并結合Shapiro-Loginov公式，推導得到系統響應的一階矩及穩態響應振幅的解析式，并在此基礎上進一步討論了系統階數、摩擦系數、周期驅動力頻率、色噪聲強度和相關率等參數對系統穩態響應的影響。研究發現，系統穩態響應振幅具有非單調變化的特點，也即出現廣義隨機共振現象。

對于已研究過的整數階非線性耦合系統，不管有無外力影響，粒子鏈的定向輸運行為都會受到噪聲和耦合力的影響，而且發現在周期余弦勢能與線性耦合系統中，在周期外力作用下，系統會對噪聲強度和耦合強度發生免疫，還能看到更多其他耦合系統不能解釋的動態現象，這進一步說明研究的周期余弦勢能與線性耦合系統接近現實，更能將其應用于現實生活。