有效追問：讓數學教學深度前行

江蘇南京市長城小學 丁維虎 黃德俊

“問題是數學的心臟”，以問題驅動的項目學習是深度學習的有效路徑。追問是指追根究底地查問，多次地問。有效的追問能開啟心智，拓展思維，激發潛能，讓學生收獲不一樣的精彩。在何處追問？怎樣追問？追問的目的為何？提高追問的有效性，是促進數學教學深度前行的必由之路。現結合教學實踐，提出相關實施策略。

一、追“正確答案”，問“其所以然”

數學課堂既要“放得開”，更要“收得攏”。當下，自主探究、合作交流、生生互動成為教學常態。但教師不能被學生課上“滔滔不絕”的表象遮蔽，而要通過對學生“正確答案”的追問，如：你為什么這么做？你思考的理由是什么？等等。通過類似的追問，引導學生再次回憶、反思和分享自己的思路，進而促進學生“知其然”更“知其所以然”，在探“本”求“源”中提升思維的嚴謹性和深刻性。

例如，在蘇教版數學三年級下冊“兩位數乘兩位數的口算”一課中，教師在教授口算20×30時，常用的方式是學生獨立嘗試，然后全班分享：

生：因為2×3＝6，所以20×30=600。

師：你是怎樣想的？

生：因為 20有一個零，30有一個零，一共有兩個零，所以6后面要添兩個零。

師：你真棒！

（教室里響起有節奏的掌聲，教學轉入下一個環節）

分析上述教學片段不難發現，學生的兩次回答，實際上是憑借經驗和直覺做出了合情推理，是值得肯定的。問題是，此結論雖正確，也是教師所要的結果，但學生的回答僅停留在“知其然”的水平上，更為重要的是一人知道結論并不代表全班都能理解結論。因而，在學生說出“正確答案”后，教師不要急著進入下一環節，而要追問：“為什么兩個乘數末尾共有兩個零，積的末尾也是兩個零？”這樣的不“教”而 “問”就能直擊知識結構的核心。為了讓所有學生都能理解算理，教師還要分層追問：（1）20×3，你是怎樣口算的？（2）20×30，你又是怎樣想的？理由是什么？（3）20×50，積的末尾為什么會有三個零？通過連續的追問，指引教學不斷走向深入，進而促進學生推理能力和運算素養的提升。

二、追“錯誤說法”，問“癥結所在”

學習就是不斷嘗試、糾錯、建構的過程。在數學教學中，學生出現這樣或那樣的錯誤是極其正常的。這就要求教師不應以一個“錯”字堵住學生的嘴巴或親自把正確答案“雙手奉上”，而是要善待錯誤，用心解讀錯誤，通過對學生的錯誤的有效追問，引發學生深度思考和相互辯論，找到錯誤癥結之所在，實現錯誤“增值”、課堂“增效”的目的。

例如，在教學蘇教版數學五年級上冊“用字母表示數”時，練習中有這樣的一題，如圖1。學生有兩種不同的說法：一種是有a個正方形，有b根小棒。理由是，因為不知道有多少個正方形，所以正方形的個數要用未知數表示；正方形個數不知道，小棒的個數更不知道，也要用未知數表示。另一種是有a個正方形，有4a根小棒，理由是，小棒的根數是正方形個數的4倍。并且前一種說法的學生認為后一種說法不簡潔，兩者爭得不可開交。這時，教師肯定雙方的想法。進而追問：你們能否繼續用自己的想法解決老師的問題？出示課件：把正方形換成正三角形和正五邊形，把問題直接改成求各自小棒的根數。這時，通過對比，持有前一種說法的學生終于意識到用字母表示數并不是隨意用個字母表示未知數那么簡單，而是要準確反映出數量間的關系，體現數學思考的價值。接著，教師指出：按照第一種說法，以后遇到不會的題目都可用未知數表示，這種方法看來真是個萬能的好方法呀！在一片笑聲中，學生對用字母表示數有了更深的理解，從而促進學生批判性和系統性思維的發展。

圖1

三、追“結論發現”，問“豁然開朗”

數學是研究數量關系和空間形式的科學，無論是它自身的產生與發展，還是對于它的認識與應用，推理無不伴隨于始終。推理一般包括合情推理和演繹推理。在小學數學教學中，合情推理所占的比重較大，為學生在探索思路、發現結論中提供了強有力的支撐。但在探究新知、發現結論的過程中，僅經歷“合乎情理”的推理還不夠，還需要通過教師的有效追問，經歷“合乎邏輯”的演繹推理的過程，才能讓學生達到豁然開朗的認知高度。這樣，才能有效提升學生的思維水平，培養學生善于發現問題、分析問題、解決問題的能力。

例如，在教學蘇教版數學四年級下冊“多邊形的內角和”時，學生通過對三角形、四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的邊數、分成三角形的個數及內角和度數的研究，可以發現：邊數越多，內角和度數越大；多一條邊，就多一個180°；多邊形的內角和都可以轉化成若干個三角形的內角和等。學生能嘗試用自己的方式表示出求多邊形內角和的式子，形如：（n-2）×180°，n≥3。學生得出結論后，許多教師的教學就進入練習環節。如果再過一段時間，讓學生說一說、算一算多邊形的內角和，大多數學生就忘得一干二凈。為何會出現這種窘態？學生在歸納總結時，教師沒有引導學生深入思考為什么會是這種結論，沒有對結論進行“合乎邏輯”的演繹推理。因此，當教學到上述環節時，教師要進行如下追問：如圖2①公式中的“n-2”是什么意思？你能結合圖①說一說嗎？讓學生感悟到：從一個點出發連線分割，一定只能連出“邊數-2”條邊，減去的兩條邊就是與這個點相鄰的兩邊。（2）如果是像圖②這樣連線，你又能說出“n-2”表示的意義嗎？從中心一點出發連線，分割出三角形的個數與邊數相同，但要減去中間不是“內角和”的一個周角，也就是2個180°，這里的“-2”與上問不同。（3）如果是像圖③這樣連線，你能解釋自己得出的結論嗎？通過上述的追問和不同方法之間的相互闡釋、印證，學生對公式中“-2”的理解會更深刻、更到位，驚訝、感嘆與震撼之情也隨之而來，學生會被數學的神奇魅力所感染，會有豁然開朗、意猶未盡的感覺，無形之中學生的數學思維獲得質的飛躍。

圖2

四、追“各執一詞”，問“去偽存真”

數學教學應發展學生的核心素養。課堂上，由于學生的看問題視角、已有經驗、知識儲備、思考方式的不同，學生對同一問題的探究結果也會各執一詞。這恰恰是學生真正自主學習的表現，教師要抱著賞識的態度予以接納，并通過有效的追問，延伸學生的思維，彌補思維的空缺，去偽存真，從而使課堂情理共生。

例如，在教學蘇教版數學四年級下冊“三角形三邊關系”時，當學生用改造后的折疊尺（一邊長15厘米，另一邊長10厘米）分別和3厘米、5厘米、7厘米、18厘米和22厘米的小棒圍三角形后，一般學生會得出如下結論：一種是兩短邊之和大于最長邊，另一種是任意兩邊之和大于第三邊。在爭論的過程中，結合實例，持有“兩短邊之和大于第三邊”觀點的學生氣勢愈發高漲，認為自己結論更簡潔；而持有“任意兩邊之和大于第三邊”觀點的學生也毫不相讓，說自己的觀點與參考資料相同。他們都用期待的目光看著老師，希望老師能站在自己的陣營。此時，教師要充分表揚學生，稱贊他們會探究、有發現、能例證。但哪種結論更好，要引導學生到解決問題中驗證各自的結論。于是，教師可追問：能用自己的結論解決問題嗎？如圖3。通過后兩小題的解決，你有什么發現？沒有了長短邊之分，你認為三角形三邊關系該怎樣表述更全面？通過對第一小題的解決，你有什么想強調的？通過教師追問，學生體會到“任意兩邊之和大于第三邊”的表述更全面，“兩短邊之和大于第三邊”更易于判斷。兩種說法都正確的，只是表述的側重點不同而已，要根據具體情況運用恰當的結論。這樣的追問，既保護了學生的探究欲望，又提高了學生的認識水平。不僅如此，教師還可繼續追問：能和15厘米、10厘米圍成三角形的小棒還可能是幾厘米？從而把邊的長度從整數拓展到小數，把“任意兩邊之和大于第三邊”拓展到“任意兩邊之差小于第三邊”，進一步拓寬學生的視野，感受數學探究的魅力。

圖3

五、追“思維定式”，問“觸類旁通”

法國教育家第斯多惠說：“一個不好的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理。”在數學教學中，教師要針對學生的思維盲點巧妙追問，用不著痕跡的點撥打破學生的思維定式，讓知識“活”起來，從而更好地提升學生的數學素養。如在梳理“多邊形面積”之間的關系時，學生一般都是從長方形面積講到平行四邊形、三角形和梯形的面積，基本上是把書上的面積推導過程的再現，很少有其他方式的梳理。在教學時，教師可以話鋒一轉，追問：“若以梯形為基礎，你能試著把梯形分別轉成平行四邊形、三角形嗎？你又會有什么新的發現？” 此時的追問“吹皺一池春水”，學生思維的漣漪由此泛開。他們會從全新的視角審視幾種基本圖形在形狀、面積之間的內在聯系，通過不斷地轉化、分析、概括，合“三”為“一”，從而觸類旁通，建立更加完整的知識結構，進一步激活學生的思維。

六、追“意外生成”，問“別樣精彩”

課堂是生命的旅程。課堂不是“過教案”，而是朝著預定目標前行的一段旅程，在旅途中隨時都有意外的風景出現。此時，教師要打破原有的流程，對學生的意外回答給予積極回應，通過教師的有效追問拓展學生思維，讓課堂中的“節外生枝”演繹出“別樣精彩”。如在教學“退位減法”時，在計算100-67時，大多數學生都用“退1作10”的方法計算，但有一位學生卻說他不用這種方法也可以很快算出結果，當時筆者很意外，就追問他：“你是怎樣算的，能把你的想法說給大家聽嗎？”他說：“我先用99-67算出得數是32，然后用32加1就可以得到33了。”此時，筆者又把目光投向其他學生并問道：“你們聽明白了嗎？有沒有什么疑問要問這位同學的？”在教師的啟發下，學生提出了自己的疑問：這樣計算對嗎？有什么好處？是不是所有退位減法都可以這樣算？什么時候用這種方法比較好？用這種方法時要注意什么？……此時，追問已不是教師的專屬，一位學生的意外發現使課堂成為生生質疑、辯論、驗證的“思維場”，這才是生命的課堂，精彩的課堂。

綜上所述，有效追問是教師教學智慧的集中體現。有效追問要在把握追問時機的基礎上，讓學生感受到數學思考的樂趣，其關鍵是要“問得其所”，要促進學生深刻性、靈活性、批判性、獨創性或系統性等思維品質的發展。有效追問的最高境界是從學生的“被追問”走向“主動追問”，這是教師教學的共同追求。也只有這樣，深度教學、主動學習、發展學生的核心素養才會落地生根。