一種絲驅連續體手術機械臂的設計及其運動學分析*

盧佳佳，馮顯英*，杜付鑫，岳明君，屈梁成

(1.山東大學 機械工程學院，山東 濟南 250061；2.山東大學 高效潔凈機械制造教育部重點試驗室，山東 濟南 250061)

0 引 言

因具有減少患者創傷和出血量、縮短住院時間、術后恢復快等優點，微創手術、單孔手術和自然孔口手術受到廣泛應用[1]，這類手術通常是在體內相對密閉的空間中來完成夾持、剪切、消融等任務。

由于缺乏足夠數量的自由度，傳統離散機械臂無法適用于狹窄擁擠的體內環境[2]，由此推動部分學者們開始研究多冗余自由度、高靈活性和安全性的柔性機械臂。

柔性機械臂一般可分為兩種：軟體與連續體。(1)軟體機械臂大多是利用仿生技術，從行為或功能上模仿自然界中的生物，如章魚觸手、大象鼻子等，一般多由硅膠、橡膠等彈性材料制成[3-5]，其理論上具有無限自由度。(2)連續體機械臂通常是將若干個相同或相似單元兩兩串聯[6]，或者是在管狀材質側壁切割出切槽[7]，與軟體機械臂相比，其具有有限個自由度，但承受負載能力、可操縱性優于軟體機械臂。

連續體機械臂的多冗余度特征使其較傳統離散機械臂獲得了優良靈活性，但同時也導致其正逆運動學求解變得困難。因此，許多學者采用不同方法對連續體機械臂的運動學問題進行了深入研究。HANNAN和WALKER[8]提出了分段常曲率假設，并基于這個假設建立了驅動絲長度到機械臂末端位姿的正運動學映射；TANG等[9]同樣基于分段常曲率假設建立了驅動空間到工作空間的正運動學模型；文獻[10-11]針對所設計的切口式連續體機械臂基于懸臂梁理論建立了驅動力與機械臂末端位置之間的正逆運動學模型；GREIGARN等[12]使用了基于雅可比矩陣求解連續體機械臂逆運動學的方法；XU等[13]利用橢圓積分給出了多骨干連續體機械臂瞬時正運動學解析公式，建立了配置空間到工作空間的映射關系；文獻[14]提出了一種準靜態條件下基于有限元方法的變曲率連續體機械臂正逆運動學求解方法，建立了驅動絲張力與末端位置的相互映射；文獻[15]利用Pythagorean Hodograph曲線建立了連續體機械臂末端位置到連續體機械臂長度的逆映射模型。

上述方法雖然在連續體運動學方面解決了部分問題，但均沒有推導出連續體機械臂末端位置到驅動絲長度的逆運動學解析解，使得運動學求解效率較低，不能滿足絲驅連續體機械臂實時控制的要求。

針對上述問題，筆者設計一種新型連續體機械臂。

1 連續體機械臂結構設計

連續體機械臂設計如圖1所示。

圖1 連續體機械臂設計

圖1中，機械臂主體是由若干個中間單元、基座、末端單元和橡膠軟管組成，橡膠軟管作為骨架將所有單元依次串聯起來，每兩個單元之間通過球面接觸形成一個關節，關節的偏轉由驅動絲收放變化來控制。機械臂由兩組驅動絲控制其運動，驅動絲均勻分布在同一圓周上，一組驅動絲收放可控制機械臂在平面內的正向和反向彎曲，兩組驅動絲同時收放可實現機械臂在XY平面內任意一個方向的彎曲運動。

機械臂最大直徑為20 mm，末端可固定小型手術器械，通過控制機械臂運動能夠實現手術器械在擁擠復雜人體環境下的安全定位。

2 運動學模型

運動學模型旨在建立起驅動絲長度與連續體機械臂末端位置之間的相互映射關系。首先，筆者建立了驅動空間、形態空間和工作空間，驅動空間包含驅動絲長度，形態空間包含機械臂彎曲角度和彎曲方向，工作空間包含機械臂末端位置。

正逆運動學映射建立過程均分兩步進行，正運動學映射建立順序為“驅動空間—形態空間—工作空間”，逆運動學映射建立順序則與此相反。

2.1 正運動學模型

連續體機械臂關節是由兩個相鄰單元通過球面接觸構成，連續體機械臂關節參數如圖2所示。

圖2 連續體機械臂關節參數

由相似原理可知：

(1)

(2)

式中：D—單元的最大直徑；d—驅動絲均勻分布的圓周直徑；H，H0—單元內驅動絲長度和單元高度；Hb，db—單元的倒角尺寸；h，h0—關節無偏轉時兩個單元之間的驅動絲長度和間距。

當關節在驅動絲平面內偏轉θ角度時，根據幾何關系可推出：

(3)

式中：hl，hr—兩個單元間成中心對稱的兩根驅動絲長度。

假設連續體機械臂具有N個關節的，根據分段常曲率假設，每個關節偏轉角度相等，均為θ，則可得到：

(4)

式中：Ll，Lr—機械臂內一組驅動絲長度；HB，HE—機械臂基座和末端單元高度；C—簡化變量，C=NH0+HB+HE。

由式(3，4)可推出：

(5)

關節的偏轉導致機械臂的彎曲運動，機械臂彎曲角度Θ可由下式得到：

Θ=Nθ

(6)

關節彎曲角度存在最大值，該值由關節的單元自身參數決定，可通過下式進行計算：

(7)

連續體機械臂通過兩組驅動絲控制其彎曲運動，其截面如圖3所示。

圖3 連續體機械臂截面P1，P2，P3，P4—兩組驅動絲位置；在虛軸X′上的等效點

假設機械臂沿與X軸夾角為Φ的方向彎曲，則機械臂內兩組驅動絲的長度可由下式計算得到：

(8)

由公式(8)可推出Φ和Θ的計算公式：

(9)

(10)

至此，驅動空間到形態空間映射關系求解完畢。形態空間到工作空間的映射可通過D-H法建立。

連續體機械臂D-H坐標系如圖4所示。

圖4 連續體機械臂D-H坐標系

D-H坐標系包含基座坐標系{B}、末端坐標系{E}和0～N號關節坐標系。

假設每個關節的偏轉角度為θ，彎曲方向為Φ，第i個關節的D-H參數如表1所示。

表1 第i個關節的D-H參數

根據所建立的D-H坐標系，可列出第i-1號關節坐標系變換到第i號關節坐標系的D-H參數。將以上運動序列的齊次變換矩陣依次相乘，可得到兩個相鄰關節坐標系的齊次變換矩陣：

i-1Ti=

(11)

式中：Sθ，Cθ，SΦ，CΦ—簡化變量，Sθ=sinθ，Cθ=cosθ，SΦ=sinΦ，CΦ=cosΦ。

對連續體機械臂N+3個坐標系變換運用鏈式法則，即可得到{B}與{E}之間的齊次變換矩陣：

(12)

(13)

機械臂末端位置可用P=(x,y,z)T表示，其中：x,y,z—表征末端位置的笛卡爾坐標系三維坐標，并且有：

(14)

至此，形態空間到工作空間的映射關系求解完畢，連續體機械臂正運動學模型建立完成，得到了機械臂末端位置的解析解；給定驅動絲長度，即可求解出連續體機械臂末端位置。

2.2 逆運動學模型

逆運動學映射旨在求解機械臂末端位置到驅動絲長度的映射關系，逆運動學映射建立過程與正運動學映射相反，因此，首先要求解工作空間到形態空間逆運動學映射關系。

工作空間到形態空間映射如圖5所示。

圖5 工作空間到形態空間映射

(15)

(16)

(17)

把式(16)代入式(17)，經化簡可得到：

(18)

式中：C0—簡化變量,C0=HE-HB-H。

式(18)共有一個實數解和兩個非實數解，舍去其非實數解，即可得到連續體機械臂彎曲角度Θ的逆運動學計算公式：

(19)

至此，工作空間到形態空間的映射關系求解完畢，形態空間到驅動空間的映射關系已由式(8)建立。連續體機械臂逆運動學模型建立完成，得到了如式(8，15，19)的逆運動學解析解；給定末端位置，即可求解所需驅動絲長度。

3 實驗及結果分析

實驗系統組成如圖6所示。

圖6 實驗系統組成

該實驗系統主要由連續體機械臂、舵機、控制器、上位機和Hikvision相機組成。

圖6中，右下角為實驗所采用的連續體機械臂；材料為DSM樹脂，主體長度為85 mm。

連續體機械臂設計參數如表2所示。

表2 連續體機械臂設計參數

為方便測量機械臂末端位置坐標，機械臂末端固定了一個直徑10 mm的白色透光小球。驅動絲采用超軟鋼絲，直徑為0.5 mm，一端固定在機械臂末端，另一端固定在繞線盤上，每個繞線盤上固定一根驅動絲，實驗中由舵機帶動繞線盤轉動定量改變驅動絲長度。利用Hikvision相機測量機械臂末端位置坐標，實驗前已對相機進行標定，精度為±0.1 mm。

為使連續體機械臂運動更符合分段常曲率假設，實驗中使用潤滑脂對機械臂關節進行了潤滑。實驗過程中，依次改變驅動絲長度，使末端小球球心到達理論點附近，然后利用相機測量末端位置坐標。

實驗誤差絕對值如圖7所示。

圖7 實驗誤差絕對值

圖7中，方形標記、星形標記、圓形標記和菱形標記分別表示距離誤差、X軸方向誤差、Y軸方向誤差、Z軸方向誤差。實驗結果表明，位置平均誤差小于2.56 mm，并且均方根誤差最大不超過1.18 mm，分別占機械臂總長度2.57%和1.18%。

實驗誤差主要來自于以下原因：(1)由于機械臂的制造誤差使得機械臂的實際運動不滿足分段常曲率假設；(2)實驗裝置剛度不足導致驅動絲實際變化長度與理論計算值不符；(3)相機測量誤差。

4 結束語

筆者提出了一種絲驅動連續體機械臂，該連續體機械臂具有兩個彎曲自由度，能實現較大的彎曲變形；基于分段常曲率假設，通過將正逆運動學映射過程分別分成兩步進行，建立了驅動絲長度、機械臂彎曲方向和彎曲角度與機械臂末端位置三者之間的相互映射關系；并結合D-H法和幾何分析法，建立了連續體機械臂正逆運動學模型，推導出了正逆運動學解析公式。

實驗結果表明，平均實驗誤差不超過2.56 mm，約為機械臂總長度的2.57%。實驗結果表明，所提出運動學模型具有有效性，并可應用于類似的連續體機械臂運動學求解。但由于樹脂材料加工的局限性，導致機械臂結構尺寸和關節間摩擦力較大，降低了機械臂運動精度。

下一步筆者將通過更換金屬材料以減小機械臂尺寸和關節間摩擦力，并尋求建立更加精確的運動估計模型，以提高機械臂的運動控制精度。