仿貓腿部跳躍機構設計與仿真分析

趙鐵軍， 袁振宇

（沈陽工業大學 機械工程學院，沈陽110870）

0 引 言

在當下的機器人運動中，輪式驅動、爬行運動及履帶式運動為機器人運動的主要方式。而隨著時代發展和科技進步，機器人被應用到更加復雜的環境當中，尤其是復雜的地形條件對機器人運動提出了更高的要求。為了適應這種環境，跳躍運動隨之被應用到機器人運動形式中。機器人在運動過程中，常受到地形地勢的限制，尤其是在障礙較大甚至遠超出機器人自身的大小時，機器人如果采用輪式驅動等運動形式，就會導致運動失效。而跳躍機器人的跳躍運動則能夠很有效地避開地形障礙的限制，從而實現其運動的功能。由于跳躍機器人的跳躍運動形式帶來的優良越障功能，使跳躍機器人具備較為可觀的研究應用前景。

國內外對于機器人的研究已有很長的歷史，而對于跳躍機器人的研究工作更為豐富。瑞士洛桑聯邦理工大學曾經研究開發出仿蚱蜢跳躍機器人，該機構采用并聯彈性驅動設計，從而能夠實現連續跳躍[1]。加州大學伯克利分校利用平面八桿機構來模仿夜猴腿部，開發出跳躍機器人[2]。哈爾濱工業大學的余杭杞等[3]設計研究出仿蝗蟲跳躍機器人，并在試驗成功后最終制造出基于電磁鐵驅動的實物樣機。

貓作為生活中常見的貓科動物之一，跳躍能力很強，其跳躍高度可達到自身的5 倍。本文將貓作為所研究的對象。通過查閱資料來分析貓的生理結構，觀察貓的生物運動習性，總結其跳躍運動機理，模擬貓跳躍運動，建立貓跳躍運動模型，從而在運動學和動力學兩方面進行研究，并且對研究結果進行分析。結合仿生設計的基本原理及參考仿生設計成功典例的經驗，模仿貓的后腿，根據家貓的后腿結構，設計出一種仿貓腿部跳躍機構。在機構設計之后，對該機構分別在運動學和動力學兩方面開展仿真分析。

1 貓骨骼結構及跳躍機理分析

貓科動物作為動物界四足動物中的高等類群，它們具備一些共同的生物特征，如盆骨與脊椎骨的連接可以使貓能夠更好地承受身體重力；脊椎和腰帶的連接能夠使貓的后肢可以承受較大跳躍力及更好地承受身體重力負擔[4]。通過對貓的運動研究，分析其后腿的結構特征（如貓的后腿腿骨結構、腿部的肌肉肌腱分布等），分析其生理運動特性（如骨骼支撐、肌肉伸縮及關節連接和轉動等）。同時分析貓在起跳時其軀干和腿部的運動特點（如脊柱彎曲、腰部肌肉收縮及后腿蹬地實現跳躍等特性），解析貓跳躍時跳躍運動和生理組織分布的關系，從而使仿貓腿部跳躍機構在設計時，提供了充分的生物學支持。

1.1 貓腿部結構分析

通過對貓的運動習性進行觀察，研究貓的跳躍運動規律，總結出貓跳躍運動機理：與諸多具備良好跳躍能力的動物相似，貓在跳躍時，其腳掌施加給地面壓力，同時腰部肌肉收縮，通過地面的接觸反作用力，以及腰部的肌肉收縮后釋放出的能量來提供跳躍運動所需的動力。通過能量釋放，獲得跳起時所需能夠支持跳起的速度，同時獲得所需的起跳加速度。貓的后腿可劃分成3 個部分，這3 部分分別為大腿、小腿和腳掌。在貓的大腿部分中，主要組成部分為大腿骨和與之相連的股肌。貓的小腿部分主要組成部分包括脛腓骨和其上的腓腸肌，此外，腓腸肌可視為與脛骨和腓骨平行組成。貓的腳掌部分主要組成結構包括跗骨和趾骨等骨骼結構。在后腿結構中，后腿上各段骨骼之間為各個關節，通過關節連接各處骨骼。肌肉和肌腱的收縮產生拉力，拉力作用于各骨骼之上，從而使后腿中的各個骨骼能夠相對于其各自連接的關節進行旋轉運動。貓骨骼結構如圖1 所示。

圖1 貓骨骼結構圖

根據對貓的觀察及解剖資料分析，得到貓后腿骨骼結構參數如表1 所示。

表1 貓后腿結構參數表

1.2 機器人腿部機構建模

貓在跳起時，貓的跳躍能量主要由后腿上的肌肉收縮所產生的拉力提供。股肌及其彈性肌腱組織可以等效為彈簧處理，從而可視為股肌等肌肉組織共同構成了串聯彈性驅動器。股肌收縮時牽引脛骨和腓骨繞膝關節旋轉，將力傳遞給小腿、腳掌和腳趾，最后傳到地面，通過反作用力起跳。在貓的后腿結構中，其髖關節、膝關節、踝關節及趾關節均可視為轉動副。在起跳過程中，股肌只做收縮運動，對骨骼施加拉力作用，因此可將股肌等效為拉簧。此外，在起跳時，貓的脊椎彎曲并配合前肢的支撐作用，調整起跳角度和起跳方向。同時腰部肌肉收縮儲能，在跳躍瞬間釋放能量，因此可視為彈性驅動器。應用三維建模軟件SolidWorks 建立仿生模型，如圖2所示。

在此機構中，后腿部分包括大腿、小腿、腳掌和腳趾等4 個部分。其中，大腿末端與軀干部分通過髖關節軸相連，由髖關節的電動機驅動；大腿和小腿部分之間為膝關節軸及膝關節驅動電動機，同時，膝關節驅動電動機負責為跳躍提供驅動力矩及跳躍能量；機構中小腿部分和腳掌部分之間安裝有踝關節軸及電動機；腳掌和小腿之間安裝有趾關節軸。軀干部分通過彈簧對地面施加作用力；膝關節驅動電動機在膝關節處施加轉矩，使大腿相對小腿產生轉動，從而帶動拉簧伸長，對腳掌施加拉力作用；腳掌與腳趾之間存在扭簧，從而使腳趾部分對地面施加作用力；最后通過地面的反作用力，使機構實現跳躍功能。

由于所設計的跳躍機構中，各關節軸均與地面平行，因此實現的跳躍運動在豎直平面內完成，并且在起跳時，兩只后腿運動形式相同且保持同步，因此取單腿作為研究對象。趾尖在起跳前與地面剛性接觸并以壓力形式給地面施加作用力；趾尖末端與地面剛性接觸，即可將腳趾視為繞著趾尖末端與地面接觸點作旋轉運動，因此，本文所述的仿貓跳躍機構模型可以簡化為一種在二維平面中的連桿機構，從而模擬跳躍機構的運動。通過分析貓腿部各部分的結構，以及跳躍時各部分組織的運動特征，將所建立的模型抽象化處理。通過分析研究抽象化之后的結果，建立貓做跳躍運動時貓后腿的生物結構模型，如圖3 所示。

從圖3 可以看出，機器人腿部可抽象為四連桿機構。圖中，l1、l2、l3、l4分別代表機器人腿部的腳趾、腳掌、小腿、大腿的長度。各構件之間為鉸接轉動副，桿件1 與桿件2 之間為趾關節，桿件2 與桿件3 之間為踝關節，桿件3 與桿件4 之間為膝關節，桿件4 與機架之間為髖關節。

圖2 仿貓跳躍機構三維模型圖

圖3 貓后腿結構抽象模型

2 跳躍機構運動學建模與分析

2.1 腿部跳躍機構工作空間

采用機器人運動分析中常用到的D－H 矩陣來分析機器人腿部運動。本文通過D－H 法在機構的大腿、小腿、腳掌和腳趾分別建立其各自的一個運動坐標系。在相鄰兩個部件之間，進行齊次變換矩陣。通過矩陣的演算和變換，描述相鄰兩個構件之間坐標系的變化關系，從而得出位置關系的變化。此外，將每個坐標系變換矩陣逐個相乘，所得到的結果即為機器人的總坐標變換矩陣。通過研究機器人的總坐標變換矩陣，從而推導出機構在基坐標系下的位姿和機構末端在基坐標系下的空間位置，進而建立機器人的運動學方程。

其中，Px、Py代表趾尖的空間坐標位置。

生物身體質量與其特征尺寸的立方成正比的前提下，相對于尺寸較大的動物來說，動物的整體尺寸越小，其肌肉輸出力相對于自身質量的倍數越高[5]。即越小的動物跳躍效率越高。根據這一生物學現象，結合貓的骨骼結構及其腿部各骨骼的長度和比例，給定結構參數為：l1=30 mm，l2=55 mm，l3=75 mm，l4=105 mm。設定約束條件為：105°≤θ1≤235°，35°≤θ2≤180°，0°≤θ3≤180°，-90°≤θ4≤180°。給定初始位姿的關節角度為：θ1=180°，θ2=75°，θ3=65°，θ4=-35°。根據位置方程的描述，結合約束條件的限制，運行MATLAB仿真程序，通過程序繪制腿部機構的工作空間，所得結果如圖4所示。

由仿貓跳躍機構腿部機構跳躍姿態分布及工作空間可以看出，此腿部機構的工作空間范圍符合仿貓腿部機構模擬貓在實際跳躍時其腿部因不同姿態所需的運動空間及不同跳躍方式時所需的不同運動范圍。

圖4 腿部機構工作空間圖

2.2 機器人腿部運動學仿真分析

對機器人腿部進行運動學分析之前，先對機構建立空間運動方程，即建立機構的質心運動方程。機器人機構以拋物線軌跡形式進行跳躍，因此可得到機構的質心運動方程為：

式中(x0,y0)為趾尖位置。

由前文可知，機器人在起跳時，可將機器人趾尖與地面的約束視為鉸接轉動副約束。將機器人運動的絕對運動姿態以qs表示，qs={q1,q2,q3,q4}。其中：q1為構件1與基坐標系之間的絕對位姿角度；q2為構件2相對構件1的運動位姿角度；q3為構件3相對構件2的運動位姿角度；q4為構件4相對構件3的運動位姿角度。第i個桿件質心位置為(Xci,Yci)。在機構起跳時，此時的質心位置方程為：

對式（2）求導，得到x方向速度為：

對式（3）求導，得到y方向速度為：

機構各部件相對于趾尖的速度為：

式中：mi(i=1,2,3,4)為各部件的質量；Ji(i=1,2,3,4)為各部件的質心轉動慣量。由式（6）得到機器人腿部機構運動雅克比矩陣：

則各關節角速度通解為

將前文給定的腿部關節角度初始值代入式（1）～式（8），同時將空間位姿分布中的各位姿關節角度，通過MATLAB仿真得到機構各關節角速度變化曲線，如圖5 所示。同時得到機構的時間-位移曲線，如圖6 所示。

圖5 關節角速度變化曲線

圖6 時間-位移曲線

由機構各關節與質心速度變化曲線和時間位移關系曲線可以看出，機器人腿部機構在運動過程中，角速度變化平穩，同時部件及質心位移的范圍均處于工作空間中。通過仿真結果可知，在仿真過程中無速度突變及奇異點位置出現，驗證了腿部機構的運動合理性。

3 仿生跳躍機構設計與仿真

根據前文分析驗證，對機器人腿部建立簡化模型并將模型導入ADAMS 中，各關節均添加轉動副，膝關節添加驅動力矩為100 N·mm，給定拉簧剛度系數為3，趾關節處扭簧剛度系數為0.5，阻尼系數為0.02；同時由于軀干與地面接觸，因此給定沿軀干向上的彈簧釋放瞬間作用力為70 N；仿真跳躍過程截圖如圖7 所示。

圖7 跳躍機構運動過程仿真

通過仿真分析，對趾尖與平臺之間的接觸力，以及趾尖在豎直方向上的位移進行后處理，得到趾尖與平臺之間的接觸力在豎直方向上的變化曲線如圖8 所示。

圖8 趾尖接觸力變化曲線圖

同時得到趾尖坐標在Y方向上的分布曲線如圖9所示。

圖9 趾尖坐標分布曲線圖

從圖8 可知，腿部機構在0.01 s 時實現起跳，趾尖與平臺作用力變化平穩，先經歷儲能過程中的壓力增大，再逐漸釋放能量壓力逐漸減小直至起跳后作用力變化為零。由圖9 仿真結果可知，趾尖在豎直方向上實現最大跳躍高度為15 cm。

機器人跳躍仿真過程中，總結并近似歸納其多次仿真模擬跳躍過程質心在空間中的運動路徑，得出整體近似跳躍路徑曲線，如圖10 所示。從圖10 中曲線可知，機構在空間跳躍過程中以拋物線形式完成跳躍過程。

圖10 跳躍仿真運動路徑圖

4 結 論

通過對貓的腿部及軀干部分的生理結構和運動機理進行分析，建立生物運動模型。通過MATLAB 進行運動學分析，得到起跳階段各關節的速度變化曲線。通過ADAMS 在虛擬樣機中進行仿真，得到起跳階段所需的驅動力矩及起跳能量，同時驗證初始起跳姿態的可行性。通過對各仿真結果分析，對比貓實際運動的姿態、運動方式，對比目前現有的貓跳躍資料中貓實際起跳高度與貓自身的比例，可知該機構模型設計符合實際跳躍要求，為整體仿生機構提供設計理論依據，從而仿生設計一種柔性跳躍機構。通過虛擬樣機仿真分析，證明該機構能夠模仿貓的跳躍特性，為進一步研究仿貓機器人運動機構和未來研究跳躍機構跳躍穩定性奠定基礎。